(共18张PPT)
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1. 直接开平方法
在教材中虽没有明确给出这种方法名称，但它却是解一
元二次方程的一种常用解法，也是配方法的基础.
一般地，对于方程 x 2＝ p ，
（1）当 p ＞0时，根据平方根的意义，该方程有两个不
相等的实数根 x 1＝－ ， x 2＝ ；
（2）当 p ＝0时，该方程有两个相等的实数根 x 1＝ x 2
＝0；
（3）当 p ＜0时，因为对任意实数 x ，都有 x 2≥0，所以
该方程无实数根.
2. 常见的能用直接开平方法求解的方程形式
（1）若 x 2＝ p （ p ≥0），则 x ＝± ；
（2）若（ x ＋ n ）2＝ p （ p ≥0），则 x ＝－ n ± ；
（3）若（ mx ＋ n ）2＝ p （ m ≠0， p ≥0），则 x ＝
.
3. 直接开平方法的理论依据
直接开平方法的理论依据就是平方根的意义，利用平方
根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个
，然后分别 求出方程
的解.
注意：“降次”是解一元二次方程的基本思路.
一
元一次方程
解一元一次方程
题型一 解形如 x 2＝ p 或（ x ＋ n ）2＝ p 的一元二次
方程
例1 解下列方程：
（1）（ x －1）2＝27；
解：直接开平方，得 x －1＝±3 .
解得 x 1＝3 ＋1， x 2＝－3 ＋1.
（2）9（3 x －2）2＝64；
解：方程两边都除以9，得（3 x －2）2＝ .
直接开平方，得3 x －2＝± .
解得 x 1＝ ， x 2＝－ .
（3）（ x －4）2＝（5－2 x ）2；
解：∵（ x －4）2＝（5－2 x ）2，
直接开平方，得 x －4＝±（5－2 x ）.
∴ x －4＝5－2 x 或 x －4＝－（5－2 x ）.
解得 x 1＝3， x 2＝1.
（4）2（ x －1）2－8＝0.
解：移项，得2（ x －1）2＝8.
系数化为1，得（ x －1）2＝4.
直接开平方，得 x －1＝±2.
解得 x 1＝3， x 2＝－1.
1. 解下列方程：
（1）4 x 2－64＝0；
解：移项，得4 x 2＝64，
方程两边同时除以4，得 x 2＝16，
解得 x 1＝4， x 2＝－4.
（2） （ x －1）2＝ ；
解：方程两边同时除以 ，得（ x －1）2＝3.
直接开平方，得 x －1＝± .
∴ x 1＝ ＋1， x 2＝－ ＋1.
（3）4（ x －1）2＝（3 x ＋2）2；
解：直接开平方，得2（ x －1）＝±（3 x ＋2）.
∴2 x －2＝3 x ＋2或2 x －2＝－3 x －2，
解得 x 1＝－4， x 2＝0.
（4）（ x －1）2＋2 x －3＝0.
解：去括号，得 x 2－2 x ＋1＋2 x －3＝0，即 x 2－2＝0.
移项，得 x 2＝2.
∴ x 1＝ ， x 2＝－ .
题型二 解形如 x 2＋2 mx ＋ m 2＝ p 的一元二次方程
例2 解下列方程：
（1） x 2－4 x ＋4＝16；
解：（1）原方程可化为（ x －2）2＝16，
∴ x －2＝±4.解得 x 1＝6， x 2＝－2.
（2）原方程可化为（ x －3）2＝（5－2 x ）2，
∴ x －3＝5－2 x 或 x －3＝－（5－2 x ）.
解得 x 1＝ ， x 2＝2.
（2） x 2－6 x ＋9＝（5－2 x ）2.
2. 若关于 x 的方程25 x 2－（ k －1） x ＋1＝0的左边可以
写成一个完全平方式，则 k ＝（ A ）
A. －9或11 B. －7或8
C. －8或9 D. －6或7
A
3. （1）填空：
① x 2－10 x ＋ ＝（ x － ）2；
② x 2＋9 x ＋ ＝ ；
25
5
（2）若关于 x 的一元二次方程 x 2＋2 x ＋1＝ k －2有实数
根，则 k 的取值范围是 .
k ≥2
题型三 列方程解简单应用题
例3 一个底面是正方形的长方体盒子，它的高是4 dm，体积是25 dm3，求这个纸盒的底面边长.
解：设底面边长为 x dm.
根据题意，得4 x 2＝25，即 x 2＝ .
解得 x 1＝2.5， x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.
答：这个纸盒的底面边长为2.5 dm.
4. 已知一元二次方程（ x －3）2＝1的两个解恰好分别是
等腰三角形 ABC 的底边长和腰长，则△ ABC 的周长为
（ A ）
A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8
A
5. 一个正方形的每条边的边长均减少2 cm后，面积变为
20 cm2，求原正方形的边长.
解：设原正方形的边长为 x cm，根据题意，得
（ x －2）2＝20，即 x －2＝±2 .
解得 x 1＝2＋2 ， x 2＝2－2 （不合题意，舍去）.
答：原正方形的边长为（2＋2 ）cm.(共16张PPT)
第21章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
1. 几何图形面积问题
解决几何图形面积问题通常是设出合理的未知数，再根
据面积公式列出方程求解.
注意：与图形有关的列方程问题，一是通过画图分析寻
找等量关系；二是找出未知量应满足的不等关系.
2. 几何运动变化问题
几何运动变化问题，是用“静”的方法来处理“动”
的问题，即在静态图形中，找出已知量与未知量之间
的关系.
注意：图中有动点时，常构造直角三角形，利用勾股定
理建立方程.
题型一 列一元二次方程解简单几何图形的面积问题
例1 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简
易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用
的墙长为19 m），另外三边利用学校现有总长38 m
的铁栏围成.
（1）若围成的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长
和宽；
解：（1）设 AB ＝ x m，则 BC ＝（38－2 x ）m.根据题意，得 x （38－2 x ）＝180，
解得 x 1＝10， x 2＝9.当 x ＝10时，38－2 x ＝18；
当 x ＝9时，38－2 x ＝20＞19，不合题意，舍去.
答：若围成的面积为180 m2，自行车
车棚的长和宽分别为18 m，10 m.
（2）能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，
请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
解：（2）不能，理由如下：设 AB ＝ y m.
根据题意，得 y （38－2 y ）＝200，
整理，得 y 2－19 y ＋100＝0.
∵Δ＝ b 2－4 ac ＝361－400＝－39＜0，
∴此方程没有实数根.
因此，不能围成面积为200 m2的自行车车棚.
1. （2023·安徽）如图，长方形铁皮的长为10 cm，宽为
8 cm，现在它的四个角上剪去边长为 x cm的正方形，做
成底面积为24 cm2的无盖的长方体盒子，则 x 的值为
（ A ）
A. 2 B. 7 C. 2或7 D. 3或6
（第1题）
A
2. 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ AD ）16 m，宽（ AB ）9 m的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，一条与 AD 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
（第2题）
解：设小路的宽应为 x m，
根据题意，得（16－2 x ）（9－ x ）＝112，
解得 x 1＝1， x 2＝16.
∵16＞9，∴ x ＝16不符合题意，舍去，∴ x ＝1.
答：小路的宽应为1 m.
题型二 列一元二次方程解几何运动变化问题
例2 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝5 cm， BC
＝7 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移
动，同时点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以2 cm/s的速度
移动.试问：
（1）几秒后，△ PBQ 的面积等于4 cm2？
解：（1）设点 P 运动 x s后，△ PBQ 的面积
等于4 cm2，则 PB ＝5－ x ， BQ ＝2 x .
根据题意，得 S △ PBQ ＝ PB · BQ ＝ （5－ x ）×2 x ＝4，
即 x 2－5 x ＋4＝0，解得 x 1＝1， x 2＝4.
当 x ＝4 时，2 x ＝8＞7，不合题意，舍去.
∴1 s后，△ PBQ 的面积等于4 cm2.
（2）几秒后， PQ 的长度等于5 cm？
解：（2）设点 P 运动 t s后， PQ 的长度等于5 cm.
∵ PQ 的长度等于5 cm，∠ B ＝90°，
∴（5－ t ）2＋（2 t ）2＝52，解得 t 1＝0（舍
去）， t 2＝2.
∴2 s后， PQ 的长度等于5 cm.
12
3. 如图1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△ DAE ，△
DCF 分别沿 DE ， DF 向内折叠得到图2，此时 DA 与 DC 重合（ A ， C 都落在点 G ）.若 GF ＝4， EG ＝6，则 DG 的长为 .
（第3题）
4. 如图， A ， B ， C ， D 为矩形的四个顶点， AB ＝16
cm， AD ＝6 cm，动点 P ， Q 分别从点 A ， C 同时出
发，点 P 以3 cm/s的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为
止，点 Q 以2 cm/s的速度向点 D 移动.（当点 P 停止运动
时，点 Q 也随之停止）
（1） P ， Q 两点从出发开始到几秒时，
四边形 PBCQ 的面积为33 cm2？
（第4题）
解：（1）设 P ， Q 两点从出发开始到 x s时，
四边形 PBCQ 的面积为33 cm2，
则 PB ＝（16－3 x ）cm， QC ＝2 x cm.
根据梯形的面积公式，得
（2 x ＋16－3 x ）×6＝33，解得 x ＝5.
答： P ， Q 两点从出发开始到5 s时，四边形
PBCQ 的面积为33 cm2.
（第4题）
（2） P ， Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 之间
的距离是10 cm？
解：（2）设 P ， Q 两点从出发开始到 t s时，
点 P ， Q 之间的距离是10 cm.
如答案图，过点 Q 作 QE ⊥ AB 于点 E ，
（答案图）
则 QE ＝ AD ＝6 cm， PQ ＝10 cm.
∵ AP ＝3 t cm， BE ＝ CQ ＝2 t cm，
∴ PE ＝ ＝ cm.
由勾股定理，得 PE 2＋ QE 2＝ PQ 2，
即（16－5 t ）2＋62＝102.
解得 t 1＝1.6， t 2＝4.8.
答： P ， Q 两点从出发开始到1.6 s或4.8 s时，点 P 和点 Q
之间的距离是10 cm.
（答案图）(共17张PPT)
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
第2课时 一元二次方程的解法综合
1. 解一元二次方程的基本思路
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方
程，即降次.
2. 一元二次方程的基本解法
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；
（4）因式分解法.如下表：
方法 适合方程类型 注意事项
直接开 平方法 （ mx ＋ n ）2＝ p p ≥0时有解，
p ＜0时无解
配方法 x 2＋ px ＋ q ＝0 二次项系数不为1时，先把
系数化为1，再进行配方
方法 适合方程类型 注意事项
公式法 ax 2＋ bx ＋ c ＝0 （ a ≠0） ① b 2－4 ac ≥0时，方程有实
数解； b 2－4 ac ＜0时，方程
无实数解；
②先化为一般形式再运用公式
因式分 解法 方程的一边为0，
另一边分解成两
个一次因式的积 方程的一边必须是0，另一
边可用任何方法因式分解
注意：关于解一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0），
要依据方程的结构特点，灵活选用“直接开平方法、因
式分解法、配方法、公式法”.
（1）若 b ＝0，选直接开平方法；若 c ＝0，选因式分
解法.
（2）当 b ， c 都不为0，一般遵循“先因式分解法→后
配方法→再公式法”的顺序，具体来说：
①如果 ax 2＋ bx ＋ c 能在有理数范围内因式分解，用分
解因式法计算量小；
②当方程的二次项系数化为1时，一次项系数为偶数，
且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法；
③如果 ax 2＋ bx ＋ c 不能在有理数范围内因式分解，且
方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，
宜选用公式法来解.
题型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
（1）2（2 x －1）2－4＝0；
解：变形，得（2 x －1）2＝2，
即2 x －1＝± ，解得 x 1＝ ， x 2＝ .
（2） x 2－6 x ＋5＝0；
解：配方，得（ x －3）2＝4，即 x －3＝±2.
解得 x 1＝5， x 2＝1.
（3）2 x 2－2 x －1＝0；
解：∵ a ＝2， b ＝－2 ， c ＝－1，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝16.
∴ x ＝ ＝ .
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
（4）2（2 x －3）2＝3（2 x －3）.
解：移项，得2（2 x －3）2－3（2 x －3）＝0.
因式分解，得（4 x －9）（2 x －3）＝0.
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
1. 用适当的方法解下列方程：
（1）4（3 x －2）2＝36；
解： x 1＝ ，
x 2＝－ .
（2）3 x 2＋5（2 x ＋1）＝0；
解： x 1＝ ，
x 2＝ .
（3） x 2－4 x ＝7；
解： x 1＝2＋ ，
x 2＝2－ .
（4）2 x －6＝（ x －3）2.
解： x 1＝3， x 2＝5.
题型二 解一元二次方程的综合应用
例2 关于 x 的一元二次方程为（ m －1） x 2－2 mx ＋ m
＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
解：（1）根据题意，得 m ≠1.
∵Δ＝ b 2－4 ac
＝（－2 m ）2－4（ m －1）（ m ＋1）＝4＞0，
∴ x 1＝ ＝ ， x 2＝ ＝1.
（2） m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：（2）由（1）知， x 1＝ ＝1＋ .
∵方程的两个根都是正整数，且 m 为整数，
∴ 是正整数.
∴ m －1＝1或 m －1＝2，解得 m 1＝2， m 2＝3.
∴ m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数.
2. 对于实数 a ， b ，定义运算“*”：
a*b＝
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若 x 1， x 2是
一元二次方程 x 2－5 x ＋6＝0的两个根，则 x 1*x2＝
.
－3
或3
3. 若关于 x 的方程 x 2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数根，且其中
一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方
程”.例如，方程 x 2＋2 x ＝0的两个根是 x 1＝0， x 2＝
－2，则方程 x 2＋2 x ＝0是“隔根方程”.
（1）方程 x 2－ x －20＝0是“隔根方程”吗？判断并说
明理由；
解：（1）方程 x 2－ x －20＝0不是“隔根方程”.理
由如下：
方程可化为（ x －5）（ x ＋4）＝0.
解得 x 1＝5， x 2＝－4.
∵5－（－4）＝9≠2，
∴方程 x 2－ x －20＝0不是“隔根方程”.
（2）若关于 x 的方程 x 2＋（ m －1） x － m ＝0是“隔根
方程”，求 m 的值.
解：（2）方程可化为（ x ＋ m ）（ x －1）＝0.
解得 x 1＝－ m ， x 2＝1.
当－ m ＝1＋2时，解得 m ＝－3；
当1＝－ m ＋2时，解得 m ＝1.
综上所述， m 的值为－3或1.(共46张PPT)
第21章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程（1）
1. 传播问题
传染源＋第一轮传染的人数＋第二轮传染的人数＋…＝
总数.
例如：已知某种流感易传染，且每轮传染中平均一个人
传染给了 x 个人.若有一人患了此种流感，他第一轮传染
了 x 人，则第一轮传染后共有 人患了流
感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个
人，传染了 人，则第二轮传染后共
有 人患了流感.
（1＋ x ）
x （1＋ x ）
1＋ x ＋ x （1＋ x ）
2. 单、双循环问题
（1）单循环比赛（握手）问题：若有 n 支队伍参赛，
则共有 n （ n －1）场比赛；
（2）双循环比赛（互赠礼物）问题：若有 n 支队伍参
赛，则共有 n （ n －1）场比赛.
3. 数字问题
（1）一个两位数，十位数字为 a ，个位数字为 b ，则这
个两位数表示为 ；
（2）一个三位数，百位数字为 x ，十位数字为 y ，个位
数字为 z ，则这个三位数表示为 ；
（3）连续的三个整数，若中间一个数为 n ，则其余的
两个数分别为 .
10 a ＋ b
100 x ＋10 y ＋ z
n －1， n ＋1
4. 列一元二次方程解应用题的一般步骤
可归结为六个字：审、设、列、解、验、答.
（1）“审”是指审清题意，明确各量之间的关系；
（2）“设”是指设未知数；
（3）“列”就是列方程；
（4）“解”就是解方程；
（5）“验”就是检验方程的解是否符合实际意义；
（6）“答”是指写出答案并作答.
注意：实际问题中一定要检验方程的解是否符合实际
意义.
题型一 列一元二次方程解传播问题
例1 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感
染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染
中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控
制，按照这样的传播速度，经过三轮感染后，被感染的
电脑会不会超过700台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑.根据题
意，得
1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝81，即（1＋ x ）2＝81.
解得 x 1＝8， x 2＝－10（负值，不合题意，舍去）.
同理可得，经过三轮感染后，有（1＋ x ）3台电脑被感
染，则（1＋ x ）3＝93＝729＞700.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，经过三
轮感染后被感染的电脑会超过700台.
[规律总结]列方程解应用题的关键在于弄清题目中的数
量关系.“传播”问题、细胞分裂问题等此类问题一般
由基数往外分，审题的关键在于第二轮（次）是在第一
轮（次）的基础之上发生变化的，解出方程后，还要考
虑所解的根是否符合实际意义.
1. 某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植
物的生长规律，即植物的1个主干上长出 x 个枝干，每个
枝干又长出 x 个小分支.现在一株植物上有主干、枝干、
小分支的数量之和为73，根据题意，请列出方程为
.
2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流
感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则 x 的值
为 .
1
＋ x ＋ x 2＝73
6
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
C
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有 人.
4. 某次同学聚会，聚会的每两个同学都相互握一次手，经统计，一共握了66次手，那么参加聚会的同学有多少人？
15
解：设参加聚会的同学有 x 人.根据题意，
得 x （ x －1）＝66，
解得 x 1＝12， x 2＝－11（不合题意，舍去）.
答：参加聚会的同学有12人.
题型三 列一元二次方程解数字问题
例3 一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把
这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原
来的两位数之积为736，求这个两位数.
解：设原来的两位数个位数字为 x ，则十位数字为（5－
x ）.根据题意，得[10（5－ x ）＋ x ]（10 x ＋5－ x ）＝736，整理，得 x 2－5 x ＋6＝0，
解得 x 1＝2， x 2＝3.
答：这个两位数是23或32.
5. 若两个连续正奇数的积是143，则这两个奇数的和
是 .
6. （2023·山西）一个两位数，个位数字比十位数字大
4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的
两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于
新的两位数，求原来的两位数.
24
解：设原来的两位数的十位数字为 x ，则个位数字为
（ x ＋4）.根据题意，得
x （10 x ＋ x ＋4）＋10＝10（ x ＋4）＋ x ，
整理，得11 x 2－7 x －30＝0
解得 x 1＝2， x 2＝－ （不符合题意，舍去），
∴ x ＋4＝6，故原来的两位数为26.
答：原来的两位数为26.
第21章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
1. 平均增长率中的数量关系
若增长的基数为 a ，平均每次增长率为 x ，则第一次增
长后的数量为 a （1＋ x ），第二次增长是以 a （1＋ x ）
为基数的，增长率也为 x ，故第二次增长后的数量为 a
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为 元，11月份的售价为 元.若11月份的售价为1 210元，则可列方程为 .11月份至次年2月份的售价均保持1 210元，3、4月份商店举行换季活
动，对该羽绒服进行降价销售，3、4月份的平均降价率
为 y ，3月份的售价为 元，4月份的售价为 元.若4月份的售价为980.1元，则可列方为 .
1 000（1＋ x ）
1 000（1＋ x ）2
1 000（1＋ x ）2＝1 210
1 210（1－ y ）
1 210（1－ y ）2
1 210（1－ y ）2＝980.1
2. 销售问题中的公式
（1）利润＝售价－进价；
（2）利润率＝ ×100％；
（3）售价＝进价×（1＋利润率）；
（4）总利润＝每件利润×销售量＝总收入－总支出.
题型一 列一元二次方程解增长率问题
例1 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活
力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为
响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校
图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月
增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的
月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 x ，由题意，得
128＋128（1＋ x ）＋128（1＋ x ）2＝608，
化简，得4 x 2＋12 x －7＝0，
解得 x ＝0.5＝50％或 x ＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50％.
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500
人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图
书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
解：（2）第四个月的进馆人次为
128（1＋50％）3＝128× ＝432＜500.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
1. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高
速发展.我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成
投送的快递件数分别为10万件和12.1万件.如果按此平
均速度增长，该公司4月份投递的快递件数将达
到 万件.
13.31
2. 某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件
的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.
（1）求该商品每次降价的百分率；
解：（1）设该商品每次降价的百分率为 x .
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
题型二 列一元二次方程解商品销售问题
例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；
销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和
月销售利润；
解：（1）月销售量为
500－（55－50）×10＝450（千克）.
月销售利润为（55－40）×450＝6 750（元）.
（2）设销售单价为每千克 x （ x ≥50）元，试写出月销
售利润；（用含 x 的代数式表示）
解：（2）当销售单价为每千克 x 元时，
月销售量为500－10×（ x －50）＝（1 000－10 x ）千克，
∴月销售利润为
（ x －40）（1 000－10 x ）＝（－10 x 2＋1 400 x －
40 000）元（50≤ x ≤100）.
（3）商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，
使得月销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
解：（3）要使月销售量的利润达到8 000元，则有
－10 x 2＋1 400 x －40 000＝8 000，
即 x 2－140 x ＋4 800＝0，解得 x 1＝60， x 2＝80.
当 x ＝60时，月销售成本为40×（1 000－10×60）＝
16 000（元）＞10 000（元），舍去；
当 x ＝80时，月销售成本为40×（1 000－10×80）＝
8 000（元）＜10 000（元）.
∴销售单价应定为每千克80元.
3. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对
一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按
每件60元销售，那么每天可卖出20件.通过市场调查发
现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商
品，每件售价应定为多少元？
解：（1）设该小商品每件售价定为 x 元，则每件的销售
利润为（ x －40）元，每天可售出20＋10× ＝（140
－2 x ）件.
依题意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20.
解得 x 1＝50， x 2＝60.
又∵商家想尽快销售完该款小商品，∴ x ＝50.
答：该小商品每件售价应定为50元.
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为
每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决
定对该小商品进行打折销售，使其销售价格不超过
（1）中所求的售价，则该小商品至少需打几折销售？
解：（2）设该小商品打 y 折销售.依题意，得
62.5× ≤50，解得 y ≤8.
∴该小商品至少需打八折销售.
第21章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
1. 几何图形面积问题
解决几何图形面积问题通常是设出合理的未知数，再根
据面积公式列出方程求解.
注意：与图形有关的列方程问题，一是通过画图分析寻
找等量关系；二是找出未知量应满足的不等关系.
2. 几何运动变化问题
几何运动变化问题，是用“静”的方法来处理“动”
的问题，即在静态图形中，找出已知量与未知量之间
的关系.
注意：图中有动点时，常构造直角三角形，利用勾股定
理建立方程.
题型一 列一元二次方程解简单几何图形的面积问题
例1 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简
易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用
的墙长为19 m），另外三边利用学校现有总长38 m
的铁栏围成.
（1）若围成的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长
和宽；
解：（1）设 AB ＝ x m，则 BC ＝（38－2 x ）m.根据题意，得 x （38－2 x ）＝180，
解得 x 1＝10， x 2＝9.当 x ＝10时，38－2 x ＝18；
当 x ＝9时，38－2 x ＝20＞19，不合题意，舍去.
答：若围成的面积为180 m2，自行车
车棚的长和宽分别为18 m，10 m.
（2）能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，
请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
解：（2）不能，理由如下：设 AB ＝ y m.
根据题意，得 y （38－2 y ）＝200，
整理，得 y 2－19 y ＋100＝0.
∵Δ＝ b 2－4 ac ＝361－400＝－39＜0，
∴此方程没有实数根.
因此，不能围成面积为200 m2的自行车车棚.
1. （2023·安徽）如图，长方形铁皮的长为10 cm，宽为
8 cm，现在它的四个角上剪去边长为 x cm的正方形，做
成底面积为24 cm2的无盖的长方体盒子，则 x 的值为
（ A ）
A. 2 B. 7 C. 2或7 D. 3或6
（第1题）
A
2. 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ AD ）16 m，宽（ AB ）9 m的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，一条与 AD 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
（第2题）
解：设小路的宽应为 x m，
根据题意，得（16－2 x ）（9－ x ）＝112，
解得 x 1＝1， x 2＝16.
∵16＞9，∴ x ＝16不符合题意，舍去，∴ x ＝1.
答：小路的宽应为1 m.
题型二 列一元二次方程解几何运动变化问题
例2 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝5 cm， BC
＝7 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移
动，同时点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以2 cm/s的速度
移动.试问：
（1）几秒后，△ PBQ 的面积等于4 cm2？
解：（1）设点 P 运动 x s后，△ PBQ 的面积
等于4 cm2，则 PB ＝5－ x ， BQ ＝2 x .
根据题意，得 S △ PBQ ＝ PB · BQ ＝ （5－ x ）×2 x ＝4，
即 x 2－5 x ＋4＝0，解得 x 1＝1， x 2＝4.
当 x ＝4 时，2 x ＝8＞7，不合题意，舍去.
∴1 s后，△ PBQ 的面积等于4 cm2.
（2）几秒后， PQ 的长度等于5 cm？
解：（2）设点 P 运动 t s后， PQ 的长度等于5 cm.
∵ PQ 的长度等于5 cm，∠ B ＝90°，
∴（5－ t ）2＋（2 t ）2＝52，解得 t 1＝0（舍
去）， t 2＝2.
∴2 s后， PQ 的长度等于5 cm.
12
3. 如图1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△ DAE ，△
DCF 分别沿 DE ， DF 向内折叠得到图2，此时 DA 与 DC 重合（ A ， C 都落在点 G ）.若 GF ＝4， EG ＝6，则 DG 的长为 .
（第3题）
4. 如图， A ， B ， C ， D 为矩形的四个顶点， AB ＝16
cm， AD ＝6 cm，动点 P ， Q 分别从点 A ， C 同时出
发，点 P 以3 cm/s的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为
止，点 Q 以2 cm/s的速度向点 D 移动.（当点 P 停止运动
时，点 Q 也随之停止）
（1） P ， Q 两点从出发开始到几秒时，
四边形 PBCQ 的面积为33 cm2？
（第4题）
解：（1）设 P ， Q 两点从出发开始到 x s时，
四边形 PBCQ 的面积为33 cm2，
则 PB ＝（16－3 x ）cm， QC ＝2 x cm.
根据梯形的面积公式，得
（2 x ＋16－3 x ）×6＝33，解得 x ＝5.
答： P ， Q 两点从出发开始到5 s时，四边形
PBCQ 的面积为33 cm2.
（第4题）
（2） P ， Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 之间
的距离是10 cm？
解：（2）设 P ， Q 两点从出发开始到 t s时，
点 P ， Q 之间的距离是10 cm.
如答案图，过点 Q 作 QE ⊥ AB 于点 E ，
（答案图）
则 QE ＝ AD ＝6 cm， PQ ＝10 cm.
∵ AP ＝3 t cm， BE ＝ CQ ＝2 t cm，
∴ PE ＝ ＝ cm.
由勾股定理，得 PE 2＋ QE 2＝ PQ 2，
即（16－5 t ）2＋62＝102.
解得 t 1＝1.6， t 2＝4.8.
答： P ， Q 两点从出发开始到1.6 s或4.8 s时，点 P 和点 Q
之间的距离是10 cm.
（答案图）(共16张PPT)
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
1. 配方法
通过配成 形式来解一元二次方程的方法，
叫做配方法.可以看出，配方是为了降次，把一个一元
二次方程转化成两个一元一次方程来解.
完全平方
②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原
方程化为（ x ＋ n ）2＝ p 的形式；
③若 p ≥0，则用直接开平方法解出；若 p ＜0，则原方
程无实数根.
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤
（1）二次项系数为1时：
①移项：使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常
数项；
（2）二次项系数不为1时：
一般先将二次项系数化为1，即在方程两边同除以二次
项系数 ，然后按照“用配方法解二次项系数为1的一元
二次方程的步骤”进行求解.
题型一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例1 用配方法解下列方程：
（1） x 2＋6 x ＋5＝0；
解：（1）移项，得 x 2＋6 x ＝－5.
配方，得 x 2＋6 x ＋9＝－5＋9，即（ x ＋3）2＝4.
由此可得 x ＋3＝±2.解得 x 1＝－1， x 2＝－5.
（2）移项，得 x 2－3 x ＝2.
配方，得 x 2－3 x ＋ ＝2＋ ，即 ＝ .
由此可得 x － ＝± .
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
（2） x 2－3 x －2＝0.
1. 用配方法解方程 x 2＋6 x ＋7＝0，下列变形正确的是
（ C ）
A. （ x ＋3）2＝16 B. （ x －3）2＝16
C. （ x ＋3）2＝2 D. （ x ＋3）2＝－2
C
2. 用配方法解下列方程：
（1） x 2－4 x －2＝0；
（2）（ x ＋1）（ x ＋4）＝2.
解： x 1＝2 ＋ ，
x 2＝2 － .
解： x 1＝ ，
x 2＝ .
题型二 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
例2 用配方法解方程：
（1）2 x 2＋3 x －2＝0；
解：（1）移项，得2 x 2＋3 x ＝2.
二次项系数化为1，得 x 2＋ x ＝1.
配方，得 x 2＋ x ＋ ＝1＋ ，
即 ＝ .由此可得 x ＋ ＝± ，
解得 x 1＝ ， x 2＝－2.
（2）移项，得4 x 2－4 x ＝1.
二次项系数化为1，得 x 2－ x ＝ .
配方，得 x 2－ x ＋ ＝ ＋ .
即 ＝ ，由此可得 x － ＝± .
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
（2）4 x 2－2 x ＝2 x ＋1.
3. 用配方法解下列方程：
（1）2 x 2－4 x －3＝0；
解： x 1＝1＋ ，
x 2＝1－ .
（2） x 2＋ x －2＝0.
解： x 1＝ ，
x 2＝－2.
题型三 配方法的应用
例3 利用配方法证明：无论 x 取何实数值，代数式－ x 2－ x －1的值总是负数，并求它的最大值.
证明：－ x 2－ x －1＝－ ＋ －1
＝－ － .
∵－ ≤0，∴－ － ≤－ ＜0，
即无论 x 取何实数值，代数式－ x 2－ x －1的值总是负
数，当 x ＝－ 时，－ x 2－ x －1有最大值－ .
4. 若 P ＝ a －2， Q ＝ a 2＋3 a （ a 为实数），则 P ， Q 的
大小关系为 .
5. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
求代数式 y 2＋4 y ＋8的最小值.
解： y 2＋4 y ＋8＝ y 2＋4 y ＋4＋4＝（ y ＋2）2＋4.
∵（ y ＋2）2≥0，
∴（ y ＋2）2＋4≥4.
∴ y 2＋4 y ＋8的最小值是4.
P ＜ Q
（1）求代数式4－ x 2＋2 x 的最大值；
解：（1）4－ x 2＋2 x ＝－ x 2＋2 x －1＋5
＝－（ x －1）2 ＋5.
∵－（ x －1）2≤0，∴－（ x －1）2＋5≤5.
∴4－ x 2＋2 x 的最大值是5.
（2）说明代数式 a 2＋6 a ＋12的值一定是正数.
解：（2） a 2＋6 a ＋12＝ a 2＋6 a ＋9＋3
＝（ a ＋3）2＋3.
∵（ a ＋3）2≥0，∴（ a ＋3）2＋3≥3，
∴ a 2＋6 a ＋12的值一定是正数.(共15张PPT)
第21章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1. 一元二次方程的概念
等号两边都是 ，只含有 个未知数（一
元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方
程，叫做一元二次方程.
注意：判断一元二次方程的三个条件（首先要化简，使
方程的右边为0）：
①只含有 个未知数；
②未知数的最高次数是 ；
③ 方程.
整式
一
2
一
2
整式
2. 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是
（ a ）.其中， 是二次项， 是二次
项系数； 是一次项， 是一次项系
数； 是常数项.
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中， a ≠0是一
个非常重要的条件， b ， c 可以为0；
（2）在写各项及系数时，一定不要漏掉各项系数前面
的符号.
ax 2＋ bx ＋ c ＝0
≠0
ax 2
a
bx
b
c
3. 一元二次方程的解（根）
使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元
二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方
程的根.
相等
题型一 一元二次方程的概念及一般形式
例1（1）（2024·成都温江区）下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（ C ）
B. ax 2＋ bx ＋ c ＝0
D. y 2＋ x ＝1
（2）若关于 x 的方程（ k －1）· x ｜ k ｜＋1＋6 x －7＝0是
一元二次方程，则 k ＝ ；
C
－1
（3）一元二次方程3 x （ x －1）＝5（ x ＋2）的一般形
式是 ，二次项系数是 ，一次
项系数是 ，常数项是 .
[技巧点拨] 在判断一元二次方程的各项系数时，一定要
将方程化为一般形式，然后再判断，但要注意：（1）
判断各项及系数时，一定要包括前面的符号；（2）二
次项系数一定不能为零.
3 x 2－8 x －10＝0
3
－8
－10
1. 下列方程中，是一元二次方程的共有（ B ）
① x 2－2 x －1＝0； ② ax 2＋ bx ＋ c ＝0；
③ ＋3 x －5＝0； ④－ x 2＝0；
⑤（ x －1）2＋ y 2＝2； ⑥（ x －1）（ x －3）＝ x 2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
2. （2023·海南）将一元二次方程2（ x －3）＝ x 2＋ x －
1化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为
（ B ）
A. 1，－4 B. －1，5
C. －1，－5 D. 1，－6
B
3. 若关于 x 的一元二次方程（ m －1） x 2＋3 x ＋ m 2－1
＝0的常数项为0，则 m 的值为 .
－1
题型二 一元二次方程的解的意义
例2（1）已知关于 x 的一元二次方程 kx 2－（ k －2） x ＋4＝0的一个根是2，则 k 的值是（ D ）
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
（2）已知关于 x 的一元二次方程（ a －1） x 2－2 x ＋ a 2
－1＝0有一个根为 x ＝0，则 a ＝ ；
（3） a 是方程 x 2＋ x －1＝0的一个根，则代数式2 024－
2 a 2－2 a 的值为 .
D
－1
2 022
4. 已知 x ＝2是关于 x 的一元二次方程 x 2＋ bx － c ＝0的
解，则－4 b ＋2 c ＝（ A ）
A. 8 B. －8 C. 4 D. －4
5. 若 x ＝1是一元二次方程（ m ＋3） x 2－ mx ＋ m 2－12
＝0的其中一个解，则 m 的值为 .
A
3
题型三 根据实际问题建立一元二次方程
例3 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不
知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，
问户斜几何？
注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，
竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去.
求门对角线的长是多少尺？
画出如图所示的示意图，设门的对角线 BD 的长为 x 尺，根据题意列出方程并化成一般形式.
解：由题意，得
BC ＝ BE － CE ＝ x －4，
CD ＝ CF － DF ＝ x －2，
由勾股定理，得
BC 2＋ CD 2＝ BD 2，
∴（ x －4）2＋（ x －2）2＝ x 2，
整理，得 x 2－12 x ＋20＝0.
6. 将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出
300个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.
设这种商品的售价上涨 x 元时，获得的利润为2 300元，
则下列关系式正确的是（ D ）
A. （ x －38）（300－5 x ）＝2 300
B. （ x ＋7）（300＋5 x ）＝2 300
C. （ x －7）（300－5 x ）＝2 300
D. （ x ＋7）（300－5 x ）＝2 300
D
7. 如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同
样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条
边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77
m2.设道路的宽为 x m，则根据题意，可列方程为
.
（第7题）
（12
－ x ）（8－ x ）＝77 (共19张PPT)
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
第1课时 因式分解法
1. 因式分解法
先因式分解，使方程化为两个 的乘积等
于 的形式，再使这两个 分别等
于 ，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫
做因式分解法.
注意：（1）因式分解法的依据：若 ab ＝0，则 a ＝0或 b
＝0.
（2）如果 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两根为 x 1， x 2，
那么 ax 2＋ bx ＋ c ＝ a （ x － x 1）（ x － x 2）.
一次式
0
一次式
0
2. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的 ；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据“若 ab ＝0，则 a ＝0或 b ＝0”将一元二次方
程转化为两个一元一次方程来解.
注意：（1）观察方程的结构特点，决定使用何种因式
分解的方法，移项后能直接因式分解可直接因式分解，
也可以先化简后再因式分解；常见的因式分解方法有：
提公因式、平方差公式、完全平方公式；
右边为0
（2）切忌在方程两边都除以含有未知数的整式，这样
会使原方程丢根.
题型一 用因式分解法解一元二次方程
例1 用因式分解法解下列方程：
（1） x 2－2 x ＝0；
解：因式分解，得 x （ x －2）＝0.
于是得 x 1＝0， x 2＝2.
（2） x 2－2 x ＝－2；
解：移项并化二次项系数为1，得 x 2－4 x ＋4＝0.
因式分解，得（ x －2）2＝0.
于是得 x －2＝0，解得 x 1＝ x 2＝2.
（3）（ x －4）2＝（2－3 x ）2；
解：移项，得（ x －4）2－（2－3 x ）2＝0.
因式分解，得－4（ x ＋1）（2 x －3）＝0.
于是得 x ＋1＝0或2 x －3＝0，
解得 x 1＝－1， x 2＝ .
（4）2 x （3－ x ）＝ x －3.
解：移项，得2 x （3－ x ）＋（3－ x ）＝0.
因式分解，得（2 x ＋1）（3－ x ）＝0.
于是得2 x ＋1＝0或3－ x ＝0，
解得 x 1＝－ ， x 2＝3.
[误区点拨] 第（1）小题要注意不能通过移项，在方程
两边把 x 约去，这样会造成漏解；第（4）小题不能在方
程两边把 x －3约去，这样会造成漏解.
1. 用因式分解法解下列方程，变形正确的是（ B ）
A. （ x ＋3）（ x －1）＝1，可得 x ＋3＝1或 x －1＝1
B. （ x －3）（ x －4）＝0，可得 x －3＝0或 x －4＝0
C. （ x －2）（ x －3）＝6，可得 x －2＝2或 x －3＝3
D. x （ x ＋2）＝0，可得 x ＋2＝0
B
2. 用因式分解法解下列方程：
（1） x ＝ x ；
解： x 1＝0， x 2＝ .
（2） （ x －2）2＋2（ x －2）＝0；
解： x 1＝2， x 2＝－2.
（3）64（ x －1）2－9（3 x －2）2＝0.
解： x 1＝ ， x 2＝－2.
题型二 用因式分解法解 ax 2＋ bx ＋ c ＝0型的一元二次
方程（选学）
例2 我们知道（ x ＋ a ）（ x ＋ b ）＝ x 2＋（ a ＋ b ） x
＋ ab ，于是， x 2＋（ a ＋ b ） x ＋ ab ＝0就可转化为（ x
＋ a ）·（ x ＋ b ）＝0的形式，可得方程的解为 x 1＝－ a ， x 2＝－ b .比如：（ x －2）（ x ＋4）＝ x 2＋2 x －8，
则 x 2＋2 x －8＝0可以转化为（ x －2）（ x ＋4）＝0，解
得 x 1＝2， x 2＝－4.
请你仿照上面的方法解下列方程：
（1） x 2－3 x －4＝0；
解：（1）原方程可变形为
（ x －4）（ x ＋1）＝0.
于是得 x －4＝0或 x ＋1＝0，
解得 x 1＝4， x 2＝－1.
（2） x 2－7 x ＋6＝0；
（2）原方程可变形为（ x －6）（ x －1）＝0.
于是得 x －6＝0或 x －1＝0.
解得 x 1＝6， x 2＝1.
（3） x 2＋5 x －6＝0；
（3）原方程可变形为（ x ＋6）（ x －1）＝0.
于是得 x ＋6＝0或 x －1＝0，
解得 x 1＝－6， x 2＝1.
（4）2 x 2－3 x －2＝0.
（4）原方程可变形为（ x －2）（2 x ＋1）＝0.
于是得 x －2＝0或2 x ＋1＝0，
解得 x 1＝2， x 2＝－ .
3. 已知代数式3－ x 与－ x 2＋3 x 的值互为相反数，则 x 的
值是（ A ）
A. －1或3 B. 1或－3
C. 1或3 D. －1和－3
A
4. 用因式分解法解下列方程：
（1） x 2－2 x －8＝0；
（2） x 2＋8 x －20＝0；
解： x 1＝4， x 2＝－2.
解： x 1＝2， x 2＝－10.
（3）2 x 2－3 x ＋1＝0；
解：（2 x －1）（ x －1）＝0，
x 1＝1， x 2＝ .
（4）3 x 2－5 x ＋2＝0.
解：（3 x －2）（ x －1）＝0，
x 1＝ ， x 2＝1.(共14张PPT)
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
1. 一元二次方程根的判别式
一般地，式子 叫做一元二次方程 ax 2＋ bx
＋ c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即
Δ＝ .
b 2－4 ac
b 2－4 ac
2. 判别方法
（1）当Δ＞0时，方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有
的实数根；
（2）当Δ＝0时，方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有
的实数根；
（3）当Δ＜0时，方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）
实数根.
两
个不等
两
个相等
无
3. 求根公式与公式法
当Δ≥0时，方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的实数根可写
为 的形式，这个式子叫做一元二次
方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0的求根公式.
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程 ax 2＋
bx ＋ c ＝0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各
系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出
根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
x ＝
（1）方程要化为一般形式（确定 a ， b ， c ）；
（2）Δ≥0.
注意：使用公式法有两个条件：
题型一 用公式法解一元二次方程
例1 用公式法解下列方程：
（1） x 2＝5 x ＋1；
解：原方程可化为 x 2－5 x －1＝0.
∵ a ＝1， b ＝－5， c ＝－1，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝29＞0.
∴ x ＝ ＝ .
∴ x 1＝ ， x 2＝ .
（2）（ y ＋1）（ y －3）＝－ y （3－3 y ）；
解：原方程可化为2 y 2－ y ＋3＝0.
∵ a ＝2， b ＝－1， c ＝3，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝－23＜0.
∴原方程无实数根.
（3） x （3 x －2 ）＋1＝0.
解：原方程可化为3 x 2－2 x ＋1＝0.
∵ a ＝3， b ＝－2 ， c ＝1，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝0.
∴ x 1＝ x 2＝ .
1. 用公式法解下列方程：
（1） x 2－2 x ＋1＝0；
解： x 1＝ x 2＝1.
（2）2 x 2－3 x ＋1＝0；
解： x 1＝ ，
x 2＝1.
（3） x 2－ x － ＝0；
解： x 1＝ ，
x 2＝ .
（4） x （5 x －2）＝6－4 x .
解： x 1＝ ，
x 2＝ .
题型二 一元二次方程根的判别式的应用
例2 （1）关于 x 的一元二次方程 x 2＋（ m －2） x －3
＝0的根的情况为（ A ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定根的情况
（2）若关于 x 的方程 kx 2－2 x －3＝0有两个不相等的实
数根，则 k 的取值范围是 ；
A
k ＞－ 且 k ≠0
（3）已知关于 x 的一元二次方程 ax 2＋2 x ＋2－ c ＝0有
两个相等的实数根，则 ＋ c 的值等于 .
2
2. 若关于 x 的方程 kx 2－ x －1＝0有实数根，则 k 的取值
范围是（ A ）
A. k ≥－ B. k ≥－ 且 k ≠0
C. k ≤ D. k ≤ 且 k ≠0
3. 关于 x 的一元二次方程 x 2＋ mx －1＝0的根的个数是
（ C ）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无法确定
A
C
4. 已知 m ， n ，6分别是等腰三角形的三边长，且 m ， n
是关于 x 的一元二次方程 x 2－18 x ＋ k ＋80＝0的两根，
则 k 的值为 .
1 (共16张PPT)
第21章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
1. 平均增长率中的数量关系
若增长的基数为 a ，平均每次增长率为 x ，则第一次增
长后的数量为 a （1＋ x ），第二次增长是以 a （1＋ x ）
为基数的，增长率也为 x ，故第二次增长后的数量为 a
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为 元，11月份的售价为 元.若11月份的售价为1 210元，则可列方程为 .11月份至次年2月份的售价均保持1 210元，3、4月份商店举行换季活
动，对该羽绒服进行降价销售，3、4月份的平均降价率
为 y ，3月份的售价为 元，4月份的售价为 元.若4月份的售价为980.1元，则可列方为 .
1 000（1＋ x ）
1 000（1＋ x ）2
1 000（1＋ x ）2＝1 210
1 210（1－ y ）
1 210（1－ y ）2
1 210（1－ y ）2＝980.1
2. 销售问题中的公式
（1）利润＝售价－进价；
（2）利润率＝ ×100％；
（3）售价＝进价×（1＋利润率）；
（4）总利润＝每件利润×销售量＝总收入－总支出.
题型一 列一元二次方程解增长率问题
例1 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活
力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为
响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校
图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月
增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的
月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 x ，由题意，得
128＋128（1＋ x ）＋128（1＋ x ）2＝608，
化简，得4 x 2＋12 x －7＝0，
解得 x ＝0.5＝50％或 x ＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50％.
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500
人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图
书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
解：（2）第四个月的进馆人次为
128（1＋50％）3＝128× ＝432＜500.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
1. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高
速发展.我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成
投送的快递件数分别为10万件和12.1万件.如果按此平
均速度增长，该公司4月份投递的快递件数将达
到 万件.
13.31
2. 某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件
的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.
（1）求该商品每次降价的百分率；
解：（1）设该商品每次降价的百分率为 x .
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
题型二 列一元二次方程解商品销售问题
例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；
销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和
月销售利润；
解：（1）月销售量为
500－（55－50）×10＝450（千克）.
月销售利润为（55－40）×450＝6 750（元）.
（2）设销售单价为每千克 x （ x ≥50）元，试写出月销
售利润；（用含 x 的代数式表示）
解：（2）当销售单价为每千克 x 元时，
月销售量为500－10×（ x －50）＝（1 000－10 x ）千克，
∴月销售利润为
（ x －40）（1 000－10 x ）＝（－10 x 2＋1 400 x －
40 000）元（50≤ x ≤100）.
（3）商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，
使得月销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
解：（3）要使月销售量的利润达到8 000元，则有
－10 x 2＋1 400 x －40 000＝8 000，
即 x 2－140 x ＋4 800＝0，解得 x 1＝60， x 2＝80.
当 x ＝60时，月销售成本为40×（1 000－10×60）＝
16 000（元）＞10 000（元），舍去；
当 x ＝80时，月销售成本为40×（1 000－10×80）＝
8 000（元）＜10 000（元）.
∴销售单价应定为每千克80元.
3. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对
一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按
每件60元销售，那么每天可卖出20件.通过市场调查发
现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商
品，每件售价应定为多少元？
解：（1）设该小商品每件售价定为 x 元，则每件的销售
利润为（ x －40）元，每天可售出20＋10× ＝（140
－2 x ）件.
依题意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20.
解得 x 1＝50， x 2＝60.
又∵商家想尽快销售完该款小商品，∴ x ＝50.
答：该小商品每件售价应定为50元.
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为
每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决
定对该小商品进行打折销售，使其销售价格不超过
（1）中所求的售价，则该小商品至少需打几折销售？
解：（2）设该小商品打 y 折销售.依题意，得
62.5× ≤50，解得 y ≤8.
∴该小商品至少需打八折销售.(共13张PPT)
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根
与系数的关系
1. 一元二次方程的根与系数的关系
若 x 1， x 2是一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两
个根，则 x 1＋ x 2＝ － ， x 1 x 2＝ .
注意： b 2－4 ac ≥0时才有根与系数的关系.
－
2. 一些常见的关于两根代数式的变形
（1） x 12＋ x 22＝（ x 1＋ x 2）2－2 x 1 x 2.
（2）（ x 1＋ a ）（ x 2＋ a ）＝ x 1 x 2＋（ x 1＋ x 2） a ＋ a 2.
（3） ＋ ＝ .
（4） ＋ ＝ ＝ .
（5） x 12 x 2＋ x 1 x 22＝ x 1 x 2（ x 1＋ x 2）.
（6） ＝
＝ .
注意：根与系数的关系（韦达定理）成立的两个重要前
提：①一般式；②判别式Δ＝ b 2－4 ac ≥0.
题型一 根与系数的关系
例1 （1）方程 x 2＋（ k ＋1） x －6＝0的两根和是－
3，则 k 的值是（ A ）
A. 2 B. －4 C. 3 D. 4
（2）已知 x 1， x 2是一元二次方程3 x 2＝6－2 x 的两个
根，则 x 1－ x 1 x 2＋ x 2的值是（ D ）
A. － B. C. － D.
A
D
（3）一元二次方程 x 2－4 x ＋2＝0的两根为 x 1， x 2，则
－4 x 1＋2 x 1 x 2的值为 ；
2
（4）已知实数 m ， n 满足3 m 2＋6 m －5＝0，3 n 2＋6 n
－5＝0，且 m ≠ n ，则 ＋ ＝ － .
－
1. 已知 a ， b 是方程 x 2＋ x －3＝0的两个实数根，则 a 2－
b ＋2 024的值是（ B ）
A. 2 027 B. 2 028
C. 2 024 D. 2 023
B
2. 设 a ， b 是方程 x 2＋ x －2 024＝0的两个实数根，则
（ a －1）（ b －1）的值为 .
3. 已知2＋ 是关于 x 的一元二次方程 mx 2－ nx ＋ m ＝0
（ m 为常数且 m ≠0）的一根，则方程的另一根是
.
－2 022
2－
题型二 根与系数关系的应用
例2 （1）已知关于 x 的一元二次方程 x 2－4 x ＋ m －1
＝0的实数根 x 1， x 2满足3 x 1 x 2－ x 1－ x 2＞2，则 m 的取
值范围是 ；
3＜ m ≤5
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3 x ＋ k －2＝0有实
数根.
①求实数 k 的取值范围；
解：①∵关于 x 的一元二次方程 x 2＋3 x ＋ k －2＝0有实
数根，
∴Δ＝32－4（ k －2）≥0，解得 k ≤ .
②设方程的两个实数根分别为 x 1， x 2，
若（ x 1＋1）（ x 2＋1）＝－1，求 k 的值.
②∵方程 x 2＋3 x ＋ k －2＝0的两个实数根分别为 x
1， x 2，
∴ x 1＋ x 2＝－3， x 1 x 2＝ k －2.
∵（ x 1＋1）（ x 2＋1）＝－1，
即 x 1 x 2＋（ x 1＋ x 2）＋1＝－1.
∴ k －2＋（－3）＋1＝－1，解得 k ＝3.
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋2 mx ＋ m 2－ m ＋2＝0的两个实数根 x 1， x 2满足 x 1＋ x 2＋ x 1 x 2＝2，则实数 m 的值为
___ .
5. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋2 x － k ＝0有两个不相等的实数根.
（1）求 k 的取值范围；
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝4＋4 k ＞0，解得 k ＞－1.
∴ k 的取值范围为 k ＞－1.
3
（2）若方程的两个不相等的实数根是 a ， b （ a ， b ≠
－1），求 － 的值.
解：（2）∵方程的两个不相等的实数根是 a ， b ，由根
与系数的关系得 a ＋ b ＝－2， ab ＝－ k ，
∴ － ＝ ＝ ＝1.
