(共58张PPT)
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）
1. 求二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的最值
一般地，当 a ＞0（ a ＜0）时，抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
的顶点是最低（高）点，也就是说，当 x ＝－ 时，二
次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 有最小（大）值 .
2. 利用二次函数解决最值问题的思路
（1）理解题意，分析各量之间的关系；
（2）列函数关系式；
（3）利用函数性质求最大值或最小值；（注意实际问
题对自变量和函数的限制条件）
（4）检验结果是否符合题意.
3. 利用二次函数解几何图形的最值问题
利用二次函数解几何图形的最值问题一般是根据几何图
形建立二次函数求解图形中的面积或长度的最大（或最
小）值问题.
题型一 利用二次函数解几何图形的最值问题
例1 如图1，用一段长为33 m的篱笆围成一个一边靠
墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形 ABCD 菜园，墙长为
12 m.设 AB 的长为 x m，矩形 ABCD 菜园的面积为 S m2.
（1）分别用含 x 的代数式表示 BC 与 S ；
解：（1）由题意，得 BC ＝（33－3 x ） m，
∴ S ＝ AB · BC ＝ x （33－3 x ）＝－3 x 2＋33 x .
（2）若 S ＝54，求 x 的值；
解：（2）由题意，得－3 x 2＋33 x ＝54，
整理，得 x 2－11 x ＋18＝0，
解得 x 1＝2， x 2＝9.
∵墙长为12 m，∴0＜33－3 x ≤12，∴7≤ x ＜11，
∴ x 的值为9.
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个
1.5 m宽的门（无需篱笆），当 x 为何值时， S 取最大
值，最大值为多少？
解：（3） S ＝ x （33＋1.5×2－3 x ）＝－3 x 2＋36 x
＝－3（ x －6）2＋108，
∵墙长为12 m，
∴∴8≤ x ≤11.
∵ a ＝－3＜0，
∴当 x ≥6， S 随着 x 的增大而减小，
∴当 x ＝8时， S 有最大值，最大值为－3×（8－6）2＋
108＝96.
1. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝12 mm， BC
＝24 mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以2 mm/s的
速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以4 mm/s
的速度移动.如果 P ， Q 两点分别从 A ， B 两点同时出
发，设运动时间为 t s，那么△ PBQ 的面积 S 的最大值
为 mm2.
36
（第1题）
2. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝2， BC ＝4， E ， F ，
G ， H 四点依次是边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点（不与
各顶点重合），且 AE ＝ AH ＝ CG ＝ CF ，记四边形
EFGH 的面积为 S （图中阴影）， AE ＝ x .
（1）求 S 关于 x 的函数解析式，并直接写出自变量的取
值范围；
（第2题）
解：（1）在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝∠ C
＝∠ D ， AB ＝ CD ， AD ＝ BC .
∵ AE ＝ AH ＝ CG ＝ CF ，
∴ BE ＝ DG ， BF ＝ DH ，
∴△ AEH ≌△ CFG （SAS），
△ EBF ≌△ GDH （SAS），
∴ S ＝ S 矩形 ABCD －2 S △ AEH －2 S △ EFB ＝2×4－
2× x 2－2× （4－ x ）（2－ x ）＝－2 x 2＋6 x
（0＜ x ＜2）.
（第2题）
（2）当 x 为何值时， S 的值最大？并写出 S 的最大值.
解：（2） S ＝－2 x 2＋6 x ＝－2 ＋ .
∵－2＜0，0＜ x ＜2，
∴当 x ＝ 时， S 的值最大，最大值为 .
（第2题）
题型二 二次函数中的动态几何最值
例2 如图，抛物线 y ＝－ x 2＋ x ＋3与 x 轴交于 A ， B
两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，连接 BC .
点 P 为第一象限的抛物线上的一个动点，过点 P 作 PQ ∥
y 轴交 BC 于点 Q ，设点 P 的横坐标为 m .
图1
（1）如图1，当 m 为何值时， PQ 有最大值？
解：（1）易得 B （6，0）， C （0，3）.
∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ x ＋3.
∵点 P 的横坐标为 m ，
∴ P ， Q .
∴ PQ ＝－ m 2＋ m ＋3－
＝－ （ m －3）2＋ ，∴当 m ＝3时， PQ 有最大值.
图1
（2）如图1，请问当 m 为何值时，△ PCB 的面积最大，
求出最大面积；
解：（2）由（1），得 S △ PCB ＝ PQ ·（ xB － xC ）
＝－ （ m －3）2＋ .
∴当 m ＝3时，△ PCB 的面积最大，
最大面积为 .
图1
（3）如图2，过点 P 作 PM ⊥ BC 于点 M ，求 PM 的
最大值.
图2
解：（3）∵ S △ PCB ＝ BC · PM ，
BC ＝ ＝3 ，
∴ PM ＝ ＝－ （ m －3）2＋ .
∴当 m ＝3时， PM 的值最大，最大值是 .
3. 如图，抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）与 x 轴相交于
点 B ， C （点 B 在点 C 左侧），与 y 轴相交于点 A （0，
4）.已知点 C 的坐标为（4，0），△ ABC 的面积为6.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）∵点 A （0，4），∴ OA ＝4.
∵△ ABC 的面积为6，
∴ BC ×4＝6，∴ BC ＝3.
∵点 C （4，0），∴点 B （1，0）.
将点 A （0，4）， B （1，0）， C （4，0）
代入 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，得
解得
∴抛物线的解析式为 y ＝ x 2－5 x ＋4.
（第3题）
（2）连接 AC ， P 是直线 AC 下方抛物线上一点，过点 P
作直线 AC 的垂线，垂足为 H ，过点 P 作 PQ ∥ y 轴交 AC
于点 Q ，求△ PHQ 周长的最大值及此时点 P 的坐标.
解：（2）∵点 A （0，4）， C （4，0），
∴ OA ＝ CO ＝4，∴∠ OAC ＝45°.
∵ PQ ∥ OA ，∴∠ PQH ＝45°.
∵ PH ⊥ AC ，∴ PH ＝ QH ＝ PQ ，
∴△ PHQ 周长＝ QH ＋ PH ＋ PQ ＝（ ＋1） PQ .
（第3题）
设直线 AC 的解析式为 y ＝ kx ＋ n .
代入 A ， C 两点坐标，得
解得
∴直线 AC 的解析式为 y ＝－ x ＋4.
设点 P （ t ， t 2－5 t ＋4），则点 Q （ t ，－ t ＋4），其中
0＜ t ＜4.
∴ PQ ＝－ t ＋4－（ t 2－5 t ＋4）＝－ t 2＋4 t
＝－（ t －2）2＋4.
∴△ PHQ 周长＝（ ＋1） PQ
＝－（ ＋1）（ t －2）2＋4（ ＋1）.
（第3题）
∵－（ ＋1）＜0，0＜ t ＜4，
∴当 t ＝2时，△ PHQ 周长的最大值为4 ＋4，此时点
P （2，－2）.
（第3题）
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 实际问题与二次函数（2）
求最大利润问题中常用等量关系
（1）利润＝售价－ .
（2）销售利润＝销售总额－ ＝每件利润
× .
注意：解决有关最值问题的应用题的思路与一般应用题
类似，但也有不同，主要有三点：
①在设未知数方面，在“当某某为何值时，什么最大
（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变
量，“什么”要设为函数；
进价
总成本
销售量
②在问题的求解方面，问题的求解一般依靠配方法或最
值公式，而不是解方程；
③对于一些函数应用题常常还要结合自变量的取值范
围，以此确定在这个范围内的最值，有时最值不一定在
顶点处取得.
题型一 利用二次函数的性质解决最大利润问题
例1 某商店购进了600个旅游纪念品，进价每个6元，
原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售
完.实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场
调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二
天的销售单价降低 x 元（0＜ x ＜4），这批旅游纪念品
三天的销售总利润为 y 元，三天的销售情况如下表：
第一天 第二天 第三天
销售 单价/元 10 10－ x 4
销售 数量/个 200 余量全部售出
50 x ＋200
请解决以下问题：
（1）用含 x 的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润 y 关于 x 的函
数解析式；
解：（2）根据题意，得 y ＝200×（10－6）＋（10－ x
－6）·（50 x ＋200）＋（4－6）[600－200－（50 x ＋
200）]＝－50 x 2＋100 x ＋1 200.
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y ＝－50 x 2＋100 x ＋1 200（0
＜ x ＜4）.
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的
，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值.
解：（3）根据题意，得600－200－（50 x ＋200）≤
（200＋50 x ＋200），解得 x ≥2.
又∵0＜ x ＜4，∴2≤ x ＜4.
由（2）知， y ＝－50 x 2＋100 x ＋1 200＝－50（ x －1）2
＋1 250.∵－50＜0，
∴当 x ＞1时， y 随 x 的增大而减小.
∴当 x ＝2时， y 最大，最大值为1 200.
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1 200元.
[方法点拨] 最大销售利润的问题常利用函数的增减性来
解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模
型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函
数关系式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在
求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围.
1. 某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240
元，若一次性购买不超过10双时，售价不变；若一次性
购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售
价均降低10元.已知该球鞋进价是每双120元，若要使该
商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双.
11
2. 每年的夏季都是西瓜销售的旺季.某水果店购进一批
麒麟西瓜，成本为5元/千克.水果店按商品品质将这批西
瓜分为 A ， B 两个等级： A 级麒麟西瓜的售价为10元/千
克， B 级麒麟西瓜的售价为8元/千克，每天出售麒麟西
瓜的总营业额为1 040元，总利润为440元.
（1）该店每天卖出麒麟西瓜多少千克？
解：（1）设该店每天卖出 A 级麒麟西瓜 x 千克， B 级麒
麟西瓜 y 千克.根据题意，得
解得
∴ x ＋ y ＝120.
答：该店每天卖出麒麟西瓜120千克.
（2）该店为了增加利润，准备降低 A 级麒麟西瓜的售
价（但不低于进价）， B 级麒麟西瓜的售价不变.销售时
发现， A 级麒麟西瓜的售价每降0.5元可多卖20千克.如
果麒麟西瓜每天的总销售量不变，那么该店一天出售麒
麟西瓜获得的总利润最多是多少？
解：（2）设该店一天出售麒麟西瓜获得的总利润是 w
元， A 级麒麟西瓜的售价降低 m 元，则 A 级麒麟西瓜的
销量为 千克， B 级麒麟西瓜的销量为
千克.
根据题意，得 w ＝（10－5－ m ） ＋（8
－5） ＝－40 m 2＋40 m ＋440
＝－40 ＋450.
∵－40＜0，0＜ m ≤5，
∴当 m ＝ 时， w 取得最大值，最大值为450元.
答：该店一天出售麒麟西瓜获得的总利润最多是450元.
题型二 图象表格信息读取
例2 为增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指
导农户进行草莓种植和销售.已知草莓的种植成本为8元/
千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量 y
（千克）与销售单价 x （元/千克）（8≤ x ≤40）满足的
函数图象如图所示.
（1）根据图象信息，求 y 与 x 的函数关系式；
解：（1）当8≤ x ≤32时，设 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
则解得
∴当8≤ x ≤32时， y ＝－3 x ＋216，
当32＜ x ≤40时， y ＝120.
综上所述， y ＝
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润.
解：（2）设利润为 W ，则当8≤ x ≤32时，
W ＝（ x －8） y ＝（ x －8）（－3 x
＋216）＝－3（ x －40）2＋3 072.
∵开口向下，对称轴为直线 x ＝40，
∴当8≤ x ≤32时， W 随 x 的增大而增大，
∴ x ＝32时， W 最大为2 880.
当32＜ x ≤40时，
W ＝（ x －8） y ＝120（ x －8）＝120 x －960.
∵ W 随 x 的增大而增大，
∴ x ＝40时， W 最大为3 840.
∵3 840＞2 880，
∴五一期间销售草莓获得的最大利润为3 840元.
3. 某商店购入一批产品进行销售，进价为10元/件，计
划采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下
的月销售量 y （件）与售价 x （元/件）（10≤ x ≤22）
满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x （元/件） 10 11 12 13 14
y （件） 900 850 800 750 700
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
把（10，900），（11，850）代入，得
解得
∴ y 与 x 的函数关系式为
y ＝－50 x ＋1 400（10≤ x ≤22）.
（2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销
售量都是700件.当线下售价为多少时，线上与线下的月
总利润最大？最大月总利润是多少？
解：（2）设总利润为 w 元，
w ＝（ x －10）（－50 x ＋1 400）＋（ x －2－10）×700
＝－50 x 2＋2 600 x －22 400＝－50（ x －26）2＋11 400.
∵－50＜0，10≤ x ≤22，
∴当 x ＝22时， w 取得最大值，此时 w ＝10 600.
答：当线下售价为22元/件时，线上和线下月总利润最
大，此时最大月总利润是10 600元.
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 实际问题与二次函数（3）
1. 建立二次函数解决拱桥问题
（1）常见的抛物线形建筑物：
拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门窗等.
（2）常见的解题类型：
①直接给出坐标系的抛物线形；
②自己建立坐标系的抛物线形.
2. 建立二次函数解决运动路线问题
运动员空中跳跃的轨迹、球类飞行的轨迹、喷头喷出的
水的轨迹、跳绳及荡秋千、从炮膛飞出的炮弹等，都是
生活中常见的与抛物线有关的运动轨迹.解答这些问题
中的最远距离、最高高度等都需要借助二次函数的性质
解决.
题型一 建立二次函数解决拱桥问题
例1 如图1是一座抛物线形拱桥侧面示意图.水面宽 AB
与桥长 CD 均为24 m，在距离点 D 6 m的点 E 处，测得桥
面到桥拱的距离 EF 为1.5 m，以桥拱顶点 O 为原点，桥
面为 x 轴建立平面直角坐标系.
（1）求桥拱顶部 O 离水面的距离；
解：（1）设 y 1＝ a 1 x 2，由题意，得F （6，－1.5），
∴－1.5＝36 a 1，解得 a 1＝－ ，
∴ y 1＝－ x 2，
当 x ＝12时， y 1＝－ ×122＝－6，
即 DB ＝6 m，
∴桥拱顶部 O 离水面的距离为6 m.
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱 CG ，
OH ， DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛
物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
解：（2）①由题意，得右边的抛物线顶点为（6，1），
∴设 y 2＝ a 2（ x －6）2＋1.
易得 H （0，4），代入上式得4＝ a 2（0－6）2＋1，
解得 a 2＝ ，∴ y 2＝ （ x －6）2＋1.
[左边抛物线表达式：y'＝ （ x ＋6）2＋1]
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩
带，求彩带长度的最小值.
②设彩带长度为 h ，
则 h ＝ y 2－ y 1＝ （ x －6）2＋1－ ＝ x 2－ x
＋4＝ （ x －4）2＋2，
由二次函数的性质知，当 x ＝4时， h min＝2.
答：彩带长度的最小值是2 m .
1. 如图所示为一座拱桥，当水面宽 AB 为12 m时，桥洞
顶部离水面的距离为4 m，图中的拱形呈抛物线形状，
由于夏季河水上涨，水面宽为8 m，此时桥洞顶部离水
面的距离是 .
（第1题）
m
题型二 建立二次函数解决运动路线问题
例2 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线
为抛物线的一部分.如图，甲在点 O 正上方1 m的点 P 处
发出一球，羽毛球飞行的高度 y （m）与水平距离 x
（m）之间满足函数解析式 y ＝ a （ x －4）2＋ h .已知点
O 与球网之间的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
（1）当 a ＝－ 时：
①求 h 的值；
解：（1）①∵ a ＝－ ， P （0，1），
∴将点 P 的坐标代入解析式，得
1＝－ ×（0－4）2＋ h ，解得 h ＝ .
②抛物线的解析式为 y ＝－ （ x －4）2＋ ，
将 x ＝5代入解析式，得
y ＝－ ×（5－4）2＋ ＝1.625.
∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
②通过计算判断此球能否过网；
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点 O 的水平距
离为7 m，离地面的高度为 m的点 Q 处时，乙扣球成
功，求 a 的值.
解：（2）将（0，1），
代入 y ＝ a （ x －4）2＋ h 中，得
解得∴ a 的值为－ .
2. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y
＝－0.2 x 2＋3.5的一部分.若命中篮圈中心，则他与篮圈
底的距离 l 是（ C ）
A. 3 m B. 3.5 m C. 4 m D. 4.5 m
（第2题）
C
3. 圆形喷水池中心 O 有一雕塑 OA ，从点 A 向四周喷
水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平
方向为 x 轴，点 O 为原点建立平面直角坐标系，点 A 在 y
轴上， x 轴上的点 C ， D 为水柱的落水点.已知雕塑 OA
高 m，与 OA 水平距离5 m处为水柱最高点，落水点
C ， D 之间的距离为22 m，则喷出水柱的最大高度
为 m.
6
（第3题）(共22张PPT)
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 实际问题与二次函数（2）
求最大利润问题中常用等量关系
（1）利润＝售价－ .
（2）销售利润＝销售总额－ ＝每件利润
× .
注意：解决有关最值问题的应用题的思路与一般应用题
类似，但也有不同，主要有三点：
①在设未知数方面，在“当某某为何值时，什么最大
（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变
量，“什么”要设为函数；
进价
总成本
销售量
②在问题的求解方面，问题的求解一般依靠配方法或最
值公式，而不是解方程；
③对于一些函数应用题常常还要结合自变量的取值范
围，以此确定在这个范围内的最值，有时最值不一定在
顶点处取得.
题型一 利用二次函数的性质解决最大利润问题
例1 某商店购进了600个旅游纪念品，进价每个6元，
原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售
完.实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场
调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二
天的销售单价降低 x 元（0＜ x ＜4），这批旅游纪念品
三天的销售总利润为 y 元，三天的销售情况如下表：
第一天 第二天 第三天
销售 单价/元 10 10－ x 4
销售 数量/个 200 余量全部售出
50 x ＋200
请解决以下问题：
（1）用含 x 的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润 y 关于 x 的函
数解析式；
解：（2）根据题意，得 y ＝200×（10－6）＋（10－ x
－6）·（50 x ＋200）＋（4－6）[600－200－（50 x ＋
200）]＝－50 x 2＋100 x ＋1 200.
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y ＝－50 x 2＋100 x ＋1 200（0
＜ x ＜4）.
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的
，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值.
解：（3）根据题意，得600－200－（50 x ＋200）≤
（200＋50 x ＋200），解得 x ≥2.
又∵0＜ x ＜4，∴2≤ x ＜4.
由（2）知， y ＝－50 x 2＋100 x ＋1 200＝－50（ x －1）2
＋1 250.∵－50＜0，
∴当 x ＞1时， y 随 x 的增大而减小.
∴当 x ＝2时， y 最大，最大值为1 200.
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1 200元.
[方法点拨] 最大销售利润的问题常利用函数的增减性来
解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模
型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函
数关系式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在
求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围.
1. 某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240
元，若一次性购买不超过10双时，售价不变；若一次性
购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售
价均降低10元.已知该球鞋进价是每双120元，若要使该
商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双.
11
2. 每年的夏季都是西瓜销售的旺季.某水果店购进一批
麒麟西瓜，成本为5元/千克.水果店按商品品质将这批西
瓜分为 A ， B 两个等级： A 级麒麟西瓜的售价为10元/千
克， B 级麒麟西瓜的售价为8元/千克，每天出售麒麟西
瓜的总营业额为1 040元，总利润为440元.
（1）该店每天卖出麒麟西瓜多少千克？
解：（1）设该店每天卖出 A 级麒麟西瓜 x 千克， B 级麒
麟西瓜 y 千克.根据题意，得
解得
∴ x ＋ y ＝120.
答：该店每天卖出麒麟西瓜120千克.
（2）该店为了增加利润，准备降低 A 级麒麟西瓜的售
价（但不低于进价）， B 级麒麟西瓜的售价不变.销售时
发现， A 级麒麟西瓜的售价每降0.5元可多卖20千克.如
果麒麟西瓜每天的总销售量不变，那么该店一天出售麒
麟西瓜获得的总利润最多是多少？
解：（2）设该店一天出售麒麟西瓜获得的总利润是 w
元， A 级麒麟西瓜的售价降低 m 元，则 A 级麒麟西瓜的
销量为 千克， B 级麒麟西瓜的销量为
千克.
根据题意，得 w ＝（10－5－ m ） ＋（8
－5） ＝－40 m 2＋40 m ＋440
＝－40 ＋450.
∵－40＜0，0＜ m ≤5，
∴当 m ＝ 时， w 取得最大值，最大值为450元.
答：该店一天出售麒麟西瓜获得的总利润最多是450元.
题型二 图象表格信息读取
例2 为增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指
导农户进行草莓种植和销售.已知草莓的种植成本为8元/
千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量 y
（千克）与销售单价 x （元/千克）（8≤ x ≤40）满足的
函数图象如图所示.
（1）根据图象信息，求 y 与 x 的函数关系式；
解：（1）当8≤ x ≤32时，设 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
则解得
∴当8≤ x ≤32时， y ＝－3 x ＋216，
当32＜ x ≤40时， y ＝120.
综上所述， y ＝
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润.
解：（2）设利润为 W ，则当8≤ x ≤32时，
W ＝（ x －8） y ＝（ x －8）（－3 x
＋216）＝－3（ x －40）2＋3 072.
∵开口向下，对称轴为直线 x ＝40，
∴当8≤ x ≤32时， W 随 x 的增大而增大，
∴ x ＝32时， W 最大为2 880.
当32＜ x ≤40时，
W ＝（ x －8） y ＝120（ x －8）＝120 x －960.
∵ W 随 x 的增大而增大，
∴ x ＝40时， W 最大为3 840.
∵3 840＞2 880，
∴五一期间销售草莓获得的最大利润为3 840元.
3. 某商店购入一批产品进行销售，进价为10元/件，计
划采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下
的月销售量 y （件）与售价 x （元/件）（10≤ x ≤22）
满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x （元/件） 10 11 12 13 14
y （件） 900 850 800 750 700
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
把（10，900），（11，850）代入，得
解得
∴ y 与 x 的函数关系式为
y ＝－50 x ＋1 400（10≤ x ≤22）.
（2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销
售量都是700件.当线下售价为多少时，线上与线下的月
总利润最大？最大月总利润是多少？
解：（2）设总利润为 w 元，
w ＝（ x －10）（－50 x ＋1 400）＋（ x －2－10）×700
＝－50 x 2＋2 600 x －22 400＝－50（ x －26）2＋11 400.
∵－50＜0，10≤ x ≤22，
∴当 x ＝22时， w 取得最大值，此时 w ＝10 600.
答：当线下售价为22元/件时，线上和线下月总利润最
大，此时最大月总利润是10 600元.(共21张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k
的图象和性质
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k
的图象和性质
1. 抛物线 y ＝ ax 2， y ＝ ax 2＋ k ， y ＝ a （ x － h ）2， y ＝
a （ x － h ）2＋ k 图象之间的位置关系
注意：（1）平移的规律可总结为：“左加右减自变
量，上加下减常数项”；
（2）抛物线的平移：找出已知抛物线的顶点坐标，并
求出平移后的抛物线的顶点坐标，将平移后抛物线的解
析式写成顶点式即可.
2. 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 的图象和性质
函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k （ a ＞0） y ＝ a （ x － h ）2＋ k
（ a ＜0）
开口 方向
对称
轴
顶点
向上
向下
直线 x ＝ h
直线 x ＝ h
（ h ， k ）
（ h ， k ）
函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k （ a ＞0） y ＝ a （ x － h ）2＋ k
（ a ＜0）
最大 （小
）值 当 x ＝ h 时， y 有 当 x ＝ h 时， y 有
增减
性 当 x ＞ h 时， y 随 x 的
增而 ； 当 x ＜ h 时， y 随 x 的
增大而 ___________ 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增
大而 ；
当 x ＜ h 时， y 随 x 的增
大而
最
小值 k
最大
值 k
增大
减小
减小
增大
注意：（1）由于从 y ＝ a （ x － h ）2＋ k （ a ≠0）中可
以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把 y ＝ a （ x －
h ）2＋ k （ a ≠0）叫做二次函数的顶点式；
（2） y ＝ a （ x － h ）2＋ k 的增减性：当 a ＞0时，越靠
近对称轴，函数值 y 越小；当 a ＜0时，越靠近对称轴，
函数值 y 越大.
题型一 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 与 y ＝ ax 2的关系
例1 （1）把函数 y ＝－ x 2的图象，经过怎样的平移
变换以后，可以得到函数 y ＝－ （ x －1）2＋1的图象
（ C ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
C
（2）将抛物线 y ＝－ x 2先向下平移2个单位，再向右平
移3个单位后所得抛物线的解析式为
.
y ＝－（ x －3）2
－2
1. 将抛物线 y ＝－2 x 2－3向右平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度，得到的抛物线为（ B ）
A. y ＝－2（ x ＋1）2－5
B. y ＝－2（ x －1）2－5
C. y ＝－2（ x ＋1）2－1
D. y ＝－2（ x －1）2－1
B
2. 抛物线 y ＝（ x －2）2－1可以由抛物线 y ＝ x 2平移而
得到，下列平移正确的是（ D ）
A. 先向左平移2个单位，然后向上平移1个单位
B. 先向左平移2个单位，然后向下平移1个单位
C. 先向右平移2个单位，然后向上平移1个单位
D. 先向右平移2个单位，然后向下平移1个单位
D
题型二 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 的图象和性质
例2 已知二次函数 y ＝ （ x ＋1）2＋4.
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
解：（1）抛物线的开口向上，顶点坐标为（－1，
4），对称轴为直线 x ＝－1.
（2）画出此函数的图象，并说出此函数图象与 y ＝ x 2
的图象的关系；
解：（2）函数图象如答案图所示，将二次函数 y ＝
（ x ＋1）2＋4的图象先向右平移1个单位长度，再向下
平移4个单位长度可得到 y ＝ x 2的图象.
（答案图）
（3）若点 A （－ ， y 1）， B （4， y 2）， C （0， y 3）都在该抛物线上，试比较 y 1， y 2， y 3的大小.
解：（3）∵抛物线开口向上，点 B （4， y 2）到对称
轴的距离最远，点 A （－ ， y 1）到对称轴的距离
最近，
∴ y 1＜ y 3＜ y 2.
3. 对于抛物线 y ＝ （ x ＋1）2＋2，下列结论中错误的
有（ B ）
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线 x ＝1；
③顶点坐标为（－1，2）；
④当 x ＞－1时， y 随 x 的增大而减小.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
B
4. 若点 A （－2， y 1）， B （－1， y 2）， C （1， y 3）是
抛物线 y ＝（ x ＋1）2－ m 上的三点，则 y 1， y 2， y 3的大
小关系为 .（用“＞”连接）
y 3＞ y 1＞ y 2
题型三 建立 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 模型解决实际问题
例3 如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥
桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都
是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是
5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把
拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）.
（1）求抛物线的函数解析式；
解：（1）根据题意，可知抛物线的顶点坐标为
（5，5），与 y 轴的交点坐标是（0，1）.
设抛物线的函数解析式是 y ＝ a （ x －5）2＋5.
把（0，1）代入 y ＝ a （ x －5）2＋5，得 a ＝－ ，
∴ y ＝－ （ x －5）2＋5（0≤ x ≤10）.
（2）求两盏景观灯之间的水平距离.
解：（2）根据题意，可知两盏景观灯的纵坐标都是4，
把 y ＝4代入抛物线的函数解析式，得
－ （ x －5）2＋5＝4，即 （ x －5）2＝1.
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
∴ ＝5，
∴两盏景观灯之间的水平距离为5 m.
5. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高
度为6 m，宽度 OM 为12 m.现以点 O 为原点， OM 所在
直线为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）.
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量 x 的
取值范围；
解：（1）由题意可得点 M ， P 的坐标分
别为（12，0），（6，6）.
∴设这条抛物线的函数解析式为 y ＝ a （ x －6）2＋6.
∵抛物线过点 O （0，0），
∴ a （0－6）2＋6＝0，解得 a ＝－ .
∴该抛物线的函数解析式为
y ＝－ （ x －6）2＋6（0≤ x ≤12）.
（第5题）
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1 m
的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5 m、高
5 m的特种车辆？请通过计算说明.
解：（2）不能.当 x ＝6－0.5－2.5＝3时，
y ＝－ ×（3－6）2＋6＝4.5＜5，
∴行车道内不能行驶宽2.5 m、高5 m
的特种车辆.
（第5题）(共15张PPT)
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 实际问题与二次函数（3）
1. 建立二次函数解决拱桥问题
（1）常见的抛物线形建筑物：
拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门窗等.
（2）常见的解题类型：
①直接给出坐标系的抛物线形；
②自己建立坐标系的抛物线形.
2. 建立二次函数解决运动路线问题
运动员空中跳跃的轨迹、球类飞行的轨迹、喷头喷出的
水的轨迹、跳绳及荡秋千、从炮膛飞出的炮弹等，都是
生活中常见的与抛物线有关的运动轨迹.解答这些问题
中的最远距离、最高高度等都需要借助二次函数的性质
解决.
题型一 建立二次函数解决拱桥问题
例1 如图1是一座抛物线形拱桥侧面示意图.水面宽 AB
与桥长 CD 均为24 m，在距离点 D 6 m的点 E 处，测得桥
面到桥拱的距离 EF 为1.5 m，以桥拱顶点 O 为原点，桥
面为 x 轴建立平面直角坐标系.
（1）求桥拱顶部 O 离水面的距离；
解：（1）设 y 1＝ a 1 x 2，由题意，得F （6，－1.5），
∴－1.5＝36 a 1，解得 a 1＝－ ，
∴ y 1＝－ x 2，
当 x ＝12时， y 1＝－ ×122＝－6，
即 DB ＝6 m，
∴桥拱顶部 O 离水面的距离为6 m.
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱 CG ，
OH ， DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛
物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
解：（2）①由题意，得右边的抛物线顶点为（6，1），
∴设 y 2＝ a 2（ x －6）2＋1.
易得 H （0，4），代入上式得4＝ a 2（0－6）2＋1，
解得 a 2＝ ，∴ y 2＝ （ x －6）2＋1.
[左边抛物线表达式：y'＝ （ x ＋6）2＋1]
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩
带，求彩带长度的最小值.
②设彩带长度为 h ，
则 h ＝ y 2－ y 1＝ （ x －6）2＋1－ ＝ x 2－ x
＋4＝ （ x －4）2＋2，
由二次函数的性质知，当 x ＝4时， h min＝2.
答：彩带长度的最小值是2 m .
1. 如图所示为一座拱桥，当水面宽 AB 为12 m时，桥洞
顶部离水面的距离为4 m，图中的拱形呈抛物线形状，
由于夏季河水上涨，水面宽为8 m，此时桥洞顶部离水
面的距离是 .
（第1题）
m
题型二 建立二次函数解决运动路线问题
例2 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线
为抛物线的一部分.如图，甲在点 O 正上方1 m的点 P 处
发出一球，羽毛球飞行的高度 y （m）与水平距离 x
（m）之间满足函数解析式 y ＝ a （ x －4）2＋ h .已知点
O 与球网之间的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
（1）当 a ＝－ 时：
①求 h 的值；
解：（1）①∵ a ＝－ ， P （0，1），
∴将点 P 的坐标代入解析式，得
1＝－ ×（0－4）2＋ h ，解得 h ＝ .
②抛物线的解析式为 y ＝－ （ x －4）2＋ ，
将 x ＝5代入解析式，得
y ＝－ ×（5－4）2＋ ＝1.625.
∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
②通过计算判断此球能否过网；
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点 O 的水平距
离为7 m，离地面的高度为 m的点 Q 处时，乙扣球成
功，求 a 的值.
解：（2）将（0，1），
代入 y ＝ a （ x －4）2＋ h 中，得
解得∴ a 的值为－ .
2. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y
＝－0.2 x 2＋3.5的一部分.若命中篮圈中心，则他与篮圈
底的距离 l 是（ C ）
A. 3 m B. 3.5 m C. 4 m D. 4.5 m
（第2题）
C
3. 圆形喷水池中心 O 有一雕塑 OA ，从点 A 向四周喷
水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平
方向为 x 轴，点 O 为原点建立平面直角坐标系，点 A 在 y
轴上， x 轴上的点 C ， D 为水柱的落水点.已知雕塑 OA
高 m，与 OA 水平距离5 m处为水柱最高点，落水点
C ， D 之间的距离为22 m，则喷出水柱的最大高度
为 m.
6
（第3题）(共19张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象和性质
二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象和性质
一般地，二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 可以通过配方化成 y
＝ a （ x － h ）2＋ k 的形式，即 y ＝ a ＋ .
因此，抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的对称轴是 x ＝ ，顶点是 .
－
函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞
0） y＝ax2＋bx＋c（a＜
0）
大致 图象
开口 方向
向上
向下
增减
性 当 x ＜－ 时， y 随 x
的增大而 ； 当 x ＞－ 时， y 随 x
的增大而 当 x ＜－ 时， y 随 x 的
增大而 ；
当 x ＞－ 时， y 随 x 的
增大而
最大 （小
）值 当 x ＝－ 时， y 取得
最 值 当 x ＝－ 时， y 取得
最 值
减小
增大
增大
减小
小
大
注意：（1）探究一般式 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的性质往往是
化成顶点式来研究，注意配方的熟练运用.
（2）一般式的顶点坐标公式要熟练记忆.
（3）画二次函数的大致图象时一般要注意求出与坐标
轴的交点、对称轴及顶点坐标.
（5）抛物线具有对称性.若抛物线与 x 轴交于 A （ x 1，
0）， B （ x 2，0）两点，则对称轴为 x ＝ ；若抛
物线图象上有 M （ x 1， m ）， N （ x 2， m ）两点，则对
称轴为 x ＝ .
（4）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把
两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性即
可比较大小.一定记住：若 a ＞0，越靠近对称轴 y 值越
小；若 a ＜0，越靠近对称轴 y 值越大.
题型一 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象和性质
例1 已知二次函数 y ＝－ x 2－4 x ＋5.
（1）求它的顶点坐标及对称轴；
解：（1）根据二次函数的顶点坐标公式，
可得－ ＝－2， ＝9，
∴该二次函数的顶点坐标为
（－2，9），对称轴为 x ＝－2.
（2）求它与 x 轴、 y 轴的交点坐标；
解：（2）把 y ＝0代入二次函数的解析式，得－ x 2－4 x
＋5＝0，解得 x 1＝－5， x 2＝1.
∴它与 x 轴的交点坐标为（1，0）与（－5，0）.
把 x ＝0代入二次函数的解析式，得 y ＝5，
∴它与 y 轴的交点坐标为（0，5）.
（3）画出这个二次函数的大致图象；
解：（3）图象如答案图所示.
（答案图）
（4）当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值
时， y 随 x 的增大而减小？
解：（4）当 x ＜－2时， y 随 x 的增大而增大；
当 x ＞－2时， y 随 x 的增大而减小.
1. 如图，二次函数 y ＝ x （ x －2）－4的图象在平面直角
坐标系中的位置大致是（ B ）
A B C D
B
2. （1）二次函数 y ＝3 x 2＋6 x －2的开口向 ，对
称轴为直线 x ＝ ，顶点坐标为
，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；
（2）已知点（－3， m ），（－2， n ），（2， p ）都
在函数 y ＝2 x 2－4 x ＋ k 的图象上，则 m ， n ， p 的大小
关系是 ；（用“＞”连接）
（3）已知抛物线 y ＝ x 2－（ a ＋2） x ＋9的顶点在 x 轴
上，则 a 的值为 .
上
－1
（－1，
－5）
＜－1
m ＞ n ＞ p
4或－8
题型二 二次函数与几何
例2 如图，过抛物线 y ＝ x 2－2 x 上一点
A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B ，
交 y 轴于点 C ，已知点 A 的横坐标为－2.
（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；
解：（1）将 x ＝－2代入 y ＝ x 2－2 x 中，
得 y ＝5，∴ A （－2，5）.对称轴为 x ＝－ ＝4.
∵点 A ， B 关于对称轴对称，∴ B （10，5）.
（2）在 AB 上任取一点 P ，连接 OP ，作点 C 关于直线
OP 的对称点 D .
①连接 BD ，求 BD 的最小值；
解：（2）①由题意，得 OD ＝ OC ＝
5，当 O ， D ， B 三点共线时， BD 取
得最小值，此时 BD ＝ OB － OD ＝
－5＝5 －5.
②当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，对
称轴与 x 轴的交点为 E ，求直线 PD 的函数解析式.
解：②如答案图，当点 D 在对称轴上时，
（答案图）
在Rt△ ODE 中， OD ＝ OC ＝5， OE ＝4，
∴ DE ＝ ＝ ＝3，
∴点 D 的坐标为（4，3），DK ＝ KE － DE ＝5－3＝2.
设 PC ＝ PD ＝ x .在Rt△ PDK 中， PD 2＝ PK 2＋ DK 2，
即 x 2＝（4－ x ）2＋22，解得 x ＝ ，∴ P .
∴直线 PD 的解析式为 y ＝－ x ＋ .
3. 如图，直线 y 1＝ x ＋1与抛物线 y 2＝ x 2－4 x ＋8交于
B ， C 两点（点 B 在点 C 的左侧）.
（1）求 B ， C 两点的坐标；
（第3题）
解：（1）联立
解得或
∴ B （2，2）， C .
（第3题）
（2）直接写出当 y 1＞ y 2时 x 的取值范围；
解：（2）由题可知，当 y 1＞ y 2时 x 的取
值范围为2＜ x ＜7.
（第3题）
（3）若抛物线的顶点为 A ，求△ ABC 的面积.
解：（3）易知 D （－2，0）.
∵点 A 为抛物线 y 2＝ x 2－4 x ＋8的顶点，
∴ A （4，0），∴ AD ＝6，
∴ S △ ABC ＝ S △ ACD － S △ ABD
＝ ×6× yC － ×6× yB ＝ －6＝ .
（第3题）(共21张PPT)
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与一元二次方程的关系
一般地，从二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象可得如
下结论：
（1）如果抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 与 x 轴有公共点，公
共点的横坐标是 x 0，那么当 x ＝ x 0时，函数值是0，因
此 x ＝ x 0是方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0的一个根.
（2）二次函数的图象与 x 轴的交点情况
一元二次方程
ax 2＋ bx ＋ c ＝
0（ a ≠0） 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
（ a ≠0）
b 2－4 ac
＞0 有
实数根 抛物线与 x 轴有 交
点，交点的 是
一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c
＝0的两个根 x 1与 x 2
两个不相
等的
两个
横坐标
一元二次方程
ax 2＋ bx ＋ c ＝
0（ a ≠0） 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
（ a ≠0）
b 2－4 ac
＝0 有
实数根 抛物线与 x 轴有且只有
交点
b 2－4 ac
＜0 抛物线与 x 轴 交点
无实数根
没有
两个相等
的
一
个
2. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般
步骤
（1）作出二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象；
（2）观察图象与 x 轴的交点在哪两个数之间；
（3）在这两个数之间取值估计，并用计算器估算近似
根，近似根出现在对应 y 值正负交换的地方.当 x 由 x 1到
x 2，对应的 y 值出现 y 1＞0＞ y 2（或 y 1＜0＜ y 2）时，则
x 1， x 2中必有一个是方程的近似根.
题型一 抛物线和 x 轴的交点与一元二次方程的根
例1 已知二次函数 y ＝ mx 2＋2 x －1.
（1）当 m 为何值时，此抛物线与 x 轴有两个不同的
交点？
（1）当时，即 m ＞－1且 m ≠0时，抛物
线与 x 轴有两个不同的交点.
解：由已知可得 b 2－4 ac ＝4＋4 m .
（2）当 m 为何值时，此抛物线与 x 轴只有一个交点？
（2）当4＋4 m ＝0，且 m ≠0时，即 m ＝－1时，抛物线
与 x 轴只有一个交点.
（3）当 m 为何值时，此抛物线与 x 轴没有交点？
（3）当4＋4 m ＜0，且 m ≠0时，即 m ＜－1时，抛物线
与 x 轴没有交点.
[误区点拨] 本题中要注意抛物线的前提条件：二次项系
数不为0，否则会出现错误结果.
例2 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象如图所
示，若方程 ax 2＋ bx ＋ c － m ＝0有实数根，则 m 的取值
范围为 .
m ≥－4
1. 若关于 x 的一元二次方程 x 2＋ bx ＋ c ＝0的两个根分别
为 x 1＝－1， x 2＝3，那么抛物线 y ＝ x 2＋ bx ＋ c 的对称
轴为直线（ C ）
A. x ＝－1 B. x ＝0
C. x ＝1 D. x ＝2
C
2. 如图，抛物线 y ＝ ax 2与直线 y ＝ bx ＋ c 的两个交点坐
标分别为 A （－2，4）， B （1，1），则方程 ax 2＝ bx
＋ c 的解是 ；不等式 ax 2≤ bx ＋ c 的
解集是 .
（第2题）
x 1＝－2， x 2＝1
－2≤ x ≤1
3. 如图，抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于点 A （1，
0），对称轴为直线 x ＝－1，当 y ＜0时， x 的取值范围
是 .
（第3题）
x ＜－3或 x ＞1
题型二 利用二次函数求方程的近似根
例3 下面表格列出了函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c
是常数，且 a ≠0）的部分 x 与 y 的对应值，那么方程 ax 2
＋ bx ＋ c ＝0的一个根 x 的取值范围是（ C ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y －0.03 －0.01 0.02 0.04
A. 6＜ x ＜6.17 B. 6.17＜ x ＜6.18
C. 6.18＜ x ＜6.19 D. 6.19＜ x ＜6.20
C
4. 小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根
的知识后进行了尝试：在平面直角坐标系中作出二次函
数 y ＝ x 2 ＋2 x －10的图象，由图象可知，方程 x 2 ＋2 x
－10＝0有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和
3之间.小明利用计算器进行探索后列出下表，那么方程
的一个近似根是 .
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
－4.3
题型三 二次函数与一元二次方程关系的综合
例4 如图，以60 m/s的速度在平地上将一小铁球沿
与地面成45°角的方向击出时，小铁球的飞行路线是一
条抛物线.如果不考虑空气的阻力，那么小铁球的飞行
高度 h （m）与飞行时间 t （s）之间的函数关系是 h ＝
30 t －5 t 2.
（1）小铁球飞行几秒时，小铁球的高度是25 m？
解：（1）当 h ＝25时，30 t －5 t 2＝25，
解得 t 1＝1， t 2＝5.
答：小铁球飞行1 s或5 s时，小铁球的高
度是25 m.
（2）小铁球的飞行高度能否达到45 m？若能，需要多
少飞行时间？50 m呢，又如何？
解：（2）当 h ＝45时，30 t －5 t 2＝45，
解得 t 1＝ t 2＝3，
∴小铁球的飞行高度能达到45 m，需要飞行3 s .
当 h ＝50时，30 t －5 t 2＝50，即 t 2－6 t ＋10＝0.
∵Δ＝（－6）2－4×10＜0，
∴方程无实数根，
∴小铁球的飞行高度不能达到50 m.
（3）小铁球在空中飞行了多少时间？
解：（3）令 h ＝0，则30 t －5 t 2＝0，
解得 t 1＝0（舍去）， t 2＝6.
答：小铁球在空中飞行了6 s .
5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （－3，5），
B （0，5）.抛物线 y ＝－ x 2＋ bx ＋ c 交 x 轴于 C （1，0），
D （－3，0）两点，交 y 轴于点 E .
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）将 C （1，0）， D （－3，0）代
入 y ＝－ x 2＋ bx ＋ c ，得
解得
∴抛物线的解析式为 y ＝－ x 2－2 x ＋3.
（第5题）
（2）连接 AB ，若二次函数 y ＝－ x 2＋ bx ＋ c 的图象向
上平移 m （ m ＞0）个单位长度时，与线段 AB 有一个公
共点，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围.
（第5题）
解：（2）二次函数 y ＝－ x 2＋ bx ＋ c 的图
象向上平移 m 个单位长度后的解析式为 y ＝
－ x 2－2 x ＋3＋ m ＝－（ x ＋1）2＋4＋ m ，
∴抛物线的顶点坐标为（－1，4＋ m ），对
称轴为直线 x ＝－1.
当顶点落在线段 AB 上时，如答案图1，
则4＋ m ＝5，解得 m ＝1，
（答案图1）
当抛物线向上移动，经过点 B （0，5）时，
如答案图2，
则5＝3＋ m ，解得 m ＝2，
当抛物线经过点 A （－3，5）时，
如答案图3，则5＝－9＋6＋3＋ m ，解得 m ＝5.
（答案图2）
∴当 m ＝1或2＜ m ≤5时，
函数图象与线段 AB 有一个公共点.
（答案图3）(共19张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
二次函数的图象都是抛物线，二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
（ a ≠0）的图象叫做抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c .
二次函数 y ＝ ax 2的图象和性质
函数 y＝ ax 2（a＞0） y＝ ax 2（a＜0）
大致图象
开口方向
顶点坐标
对称轴 y 轴（或直线 x ＝0） y 轴（或直线 x ＝0）
有最高点 或最低点
增减性 x ＜0时 x ↑， y ↓ x ＜0时 x ↑， y ↑
向上
向下
（0，0）
（0，0）
有最低点
有最高点
函数 y＝ ax 2（a＞0） y＝ ax 2（a＜0）
增减性 x ＞0时 x ↑， y ↑ x ＞0时 x ↑， y ↓
最值 x ＝ 时， y 有
最 值，是 x ＝ 时， y 有
最 值，是
0
小
0
0
大
0
注意：（1）二次函数 y ＝ ax 2的图象的性质较多，要注
意数形结合，一定要借助图象来理解记忆性质；
（2）二次函数的图象关于对称轴对称，注意充分利用
这一特征来解决相关问题.
①抛物线 y ＝ ax 2与 y ＝－ ax 2关于 x 轴对称，开口大
小相同.
②当 a ＞0时， a 越大，抛物线的开口越小；当 a ＜0时，
越大，抛物线的开口越小.因此， 越大，抛物线的
开口越小，反之， 越小，抛物线的开口越大.
题型一 二次函数 y ＝ ax 2的图象
例1 （1）抛物线 y ＝ x 2， y ＝ x 2， y ＝2 x 2的二次项
系数 a 0；顶点都是 ；对称轴是
；顶点是抛物线的最 点（选填“高”或
“低”）.当 x 0时， y 随 x 的增大而增大；当
x 0时， y 随 x 的增大而减小；当 x ＝ 时， y
有最 值 ；
＞
原点
y
轴
低
＞
＜
0
小
0
（2）抛物线 y ＝－ x 2， y ＝－ x 2， y ＝－2 x 2的二次项
系数 a 0；顶点都是 ；对称轴是
；顶点是抛物线的最 点（选填“高”或
“低”）.当 x 0时， y 随 x 的增大而增大；当
x 0时， y 随 x 的增大而减小；当 x ＝ 时， y
有最 值 .
＜
原点
y
轴
高
＜
＞
0
大
0
1. 二次函数 y ＝ ax 2与一次函数 y ＝ ax ＋ a 在同一坐标系
中的大致图象可能是（ D ）
A B C D
D
2. 函数① y ＝ ax 2；② y ＝ bx 2；③ y ＝ cx 2；④ y ＝ dx 2的
图象如图所示，比较 a ， b ， c ， d 的大小：
.（用“＞”连接）
（第2题）
a ＞ b ＞ d
＞ c
题型二 二次函数 y ＝ ax 2的性质
例2 已知 y ＝（ k ＋1） 是关于 x 的二次函数.
（1）求满足条件的 k 的值；
解：（1）由题意，得解得 k ＝±2.
∴当 k ＝±2时，原函数是二次函数.
∴该抛物线的函数解析式为 y ＝－ x 2.
（2） k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点；
此时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？
解：（2）若抛物线有最低点，则抛物线的图象开口
向上，∴ k ＋1＞0，即 k ＞－1.∴ k ＝2.
∴该抛物线的函数解析式为 y ＝3 x 2.
∴当 k ＝2时，抛物线的最低点为（0，0）.
当 x ＞0时， y 随 x 的增大而增大.
∴该抛物线的函数解析∴当 k ＝－2时，函数有最大
值为0.
（3） k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时
当 x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？
解：（3）若抛物线有最大值，则抛物线的图象开口
向下，
∴ k ＋1＜0，即 k ＜－1.∴ k ＝－2.
∴该抛物线的函数解析当 x ＞0时， y 随 x 的增大而减
小.
3. 抛物线 y ＝ x 2， y ＝ x 2， y ＝－ x 2的共同性质是：①
都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以 y 轴
为对称轴；④都关于 x 轴对称.其中正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
4. 关于 x 的二次函数 y ＝（－ m ＋3） ， m ＝ ，有最 点；当 x 1＜ x 2＜0时， y 1与 y 2的大小关
系为 .
－ 3
低
y 1＞ y 2
题型三 二次函数与几何综合
例3 如图，二次函数 y ＝ ax 2经过点 ，点 F
（0，1）在 y 轴上，直线 y ＝－1与 y 轴交于点 H .
（1）求二次函数的解析式；
（1）解：将 代入 y ＝ ax 2，得 a ＝ ，
∴二次函数的解析式为 y ＝ x 2.
（2）点 P 是（1）中图象上的点，过点 P 作 x 轴的垂线
与直线 y ＝－1交于点 M ，求证： FM 平分∠ OFP ；
（2）证明：∵点 P 在抛物线 y ＝ x 2上，
∴可设点 P 的坐标为 .
如答案图，过点 P 作 PB ⊥ y 轴于点 B ，
则 BF ＝ ， PB ＝ ，
∴在Rt△ BPF 中，
（答案图）
PF ＝ ＝ x 2＋1.
∵ PM ⊥直线 y ＝－1，∴ PM ＝ x 2＋1，
∴ PF ＝ PM ，∴∠ PFM ＝∠ PMF .
（答案图）
又∵ PM ∥ y 轴，
∴∠ MFH ＝∠ PMF ，
∴∠ PFM ＝∠ MFH ，
∴ FM 平分∠ OFP .
（3）当△ FPM 是等边三角形时，求点 P 的坐标.
（3）解：当△ FPM 是等边三角形时，∠ PMF ＝60°，
∴∠ FMH ＝30°.
在Rt△ MFH 中， MF ＝2 FH ＝2×2＝4.
∵ PF ＝ PM ＝ FM ，∴ x 2＋1＝4，解得 x ＝±2 ，
∴ x 2＝ ×12＝3，
∴满足条件的点 P 的坐标为（2 ，3）
或（－2 ，3）.
5. 在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ x 2的图象如图所示.
已知点 A 的坐标为（1，1），过点 A 作 AA 1∥ x 轴交抛
物线于点 A 1，过点 A 1作 A 1 A 2∥ OA 交抛物线于点 A 2，
过点 A 2作 A 2 A 3∥ x 轴交抛物线于点 A 3，过点 A 3作
A 3 A 4∥ OA 交抛物线于点 A 4，…，依此进行下去，则点
A 2024的坐标为 .
（1 013，1 0132）
（第5题）(共15张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
1. 二次函数的定义
一般地，形如 （ a ， b ， c 是常数，
a ≠0）的函数，叫做二次函数.其中， 是自变
量， 是二次项系数， 是一次项系数，
是常数项.
温馨提示：二次函数的几种特殊形式：
y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
x
a
b
c
①若 b ＝0，则 y ＝ ax 2＋ c ；
②若 c ＝0，则 y ＝ ax 2＋ bx ；
③若 b ＝ c ＝0，则 y ＝ ax 2.
注意：（1）关于 x 的代数式一定是整式， a ， b ， c 为
常数，且 a ≠0，当 a ＝0时， y ＝ bx ＋ c 为一次函数或常
函数.
（2）等式右边的最高次数为2，可以没有一次项和常数
项，但不能没有二次项.
2. 列二次函数关系式的一般步骤
（1）审清题意，找出实际问题中的常量和变量，并分
析它们之间的关系；
（2）建立函数关系式，注意把关系式化为 y ＝ ax 2＋ bx
＋ c （ a ≠0）的形式.
注意：在一般情况下，自变量可以取任意实数，但在实
际问题中，自变量要符合实际意义.
题型一 二次函数的概念
例1 （1）若 y ＝（ m －2） － x ＋1是二次函
数，则 m 的值是（ C ）
A. 4 B. 2 C. －2 D. －2或2
C
（2）已知函数：① y ＝ x （2 x －1）；② y ＝－2 x 2－
1；③ y ＝3 x 3－ x 2；④ y ＝2（ x ＋3）2－2 x 2；⑤ y ＝ ax 2
＋ bx ＋ c ；⑥ y ＝ x 2＋ ＋5.其中一定是二次函数的
有 （填序号）.
[方法点拨] 判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个
特征：（1）经整理后，函数表达式是含自变量的整
式；（2）自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不
为0，尤其是含字母系数的函数，应特别注意含字母的
二次项系数是否为0.
①②
1. 将函数 y ＝（1－2 x ）（3 x －2）化成 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
（ a ≠0）的形式是 ，其中一次项
系数是 ，常数项是 .
2. 若 y ＝（ a －1） 是关于 x 的二次函数，则 a
＝ .
y ＝－6 x 2＋7 x －2
7
－2
－1
题型二 列二次函数关系式
例2 用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的
矩形一边长为 x m，面积为 y m2.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）围成的矩形一边长为 x m，则邻边长为32÷2
－ x ＝（16－ x ）m.根据题意，得
y ＝ x （16－ x ）＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜16）.
∴ y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜
16）.
（2）当边长为多少时，围成的养鸡场的面积为60 m2？
解：（2）由（1）知 y ＝－ x 2＋16 x .
当 y ＝60，即－ x 2＋16 x ＝60时，
解得 x 1＝6， x 2＝10.
当 x ＝6时，16－ x ＝10；当 x ＝10时，16－ x ＝6.
∴当边长为6 m，10 m时，
围成的养鸡场的面积为60 m2.
（3）能否围成面积为70 m2的养鸡场？如果能，请求出
其边长；如果不能，请说明理由.
解：（3）不能.理由如下：
令 y ＝70，则－ x 2＋16 x ＝70，
即 x 2－16 x ＋70＝0.
∵Δ＝（－16）2－4×1×70＝－24＜0，
∴该方程无实数解.
∴不能围成面积为70 m2的养鸡场.
3. 某店销售一种小工艺品，该工艺品每件进价为12元，
售价为20元，每周可售出40件.经调查发现，若把每件
工艺品的售价提高1元，就会少售出2件.设每件工艺品
售价提高 x 元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为
y 元.
（1）每件工艺品售价提高 x 元后的利润为
元，每周可售出工艺品 件， y 关
于 x 的函数关系式为 ；
（8＋
x ）
（40－2 x ）
y ＝－2 x 2＋24 x ＋320（0＜ x ＜
20）
（2）若 y ＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少
元？
解：（2）由题意，得384＝－2 x 2＋24 x ＋320，
解得 x 1＝4， x 2＝8.
当 x ＝4时，售价为4＋20＝24（元）；
当 x ＝8时，售价为8＋20＝28（元）.
答：每件工艺品的售价应确定为24元或28元.
题型三 函数值与自变量的计算
例3 （1）在二次函数 y ＝2 x 2－4 x ＋1中，当 x ＝0
时， y ＝ ；当 x ＝2时， y ＝ ；
（2）在二次函数 y ＝－3 x 2＋2 x ＋1中，当 y ＝0时， x
＝ ；当 y ＝2时， x .
1
1
1或－
无解
4. 若物体在空中从静止自由下落的路程 h （m）与时间
t （s）之间的关系为 h ＝ gt 2（ g ＝9.8 m/s2），则当 t ＝
4 s时，该物体所经过的路程为 m.
78.4
（1） y 与 x 的函数关系式；
解：（1）设 y ＝ kx 2，把 x ＝－1， y ＝－3代入 y ＝
kx 2中，解得 k ＝－3.∴ y ＝－3 x 2.
（2）当 x ＝4时， y 的值；
解：（2）当 x ＝4时， y ＝－3×42＝－48.
（3）当 y ＝－12时， x 的值.
解：（3）当 y ＝－12时，则－12＝－3 x 2，解得 x ＝±2.
5. 已知 y 与 x 2成正比例，并且当 x ＝－1时， y ＝－3.
求：(共24张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象和性质
第2课时 求二次函数的解析式
1. 二次函数的三种形式
一般式 （ a ， b ， c 为常数，且 a
≠0）
顶点式 （ a ≠0），其中
点 为顶点坐标，对称轴为直
线
交点式 （ a ≠0），其
中 x 1， x 2是抛物线与 x 轴的交点的
y ＝ ax 2＋ bx ＋ c
y ＝ a （ x － h ）2＋ k
（ h ， k ）
x ＝ h
y ＝ a （ x － x 1）（ x － x 2）
横坐标
注意：求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根
据不同条件，设出恰当的解析式：
（1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式 y ＝
ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）；
（2）若给出抛物线的顶点坐标、对称轴或最值，通常
可设顶点式 y ＝ a （ x － h ）2＋ k （ a ≠0）；
（3）若给出抛物线与 x 轴的交点、对称轴与 x 轴的交点
间的距离，通常可设交点式 y ＝ a （ x － x 1）（ x － x 2）
（ a ≠0）.
2. 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤
（1）设出二次函数解析式；
（2）代入条件得出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组得出待定系数的值；
（4）把求出的待定系数的值代回设出的解析式.
题型一 用待定系数法求二次函数的解析式
例1 根据下列条件，求二次函数的解析式.
（1）图象经过 A （3，0）， B （2，－3），C （0，－3）三点；
解：（1）设二次函数的解析式为 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a
≠0），把（3，0），（2，－3），（0，－3）分别代入，得解得
∴该二次函数的解析式为 y ＝ x 2－2 x －3.
设二次函数的解析式为 y ＝ a （ x －3）2－4，
（2）图象经过（0，－2），（－1，0）和（3，0）
三点；
解：（2）由于已知抛物线与 x 轴的交点坐标，
则可设交点式 y ＝ a （ x ＋1）（ x －3）.
把（0，－2）代入，解得 a ＝ ，
∴该二次函数的解析式为
y ＝ （ x ＋1）（ x －3）＝ x 2－ x －2.
设二次函数的解析把点（1，8）代入，得 a ＝3.
（3）已知抛物线的顶点坐标为（2，3）且经过点（1，
4）；
解：（3）由于已知顶点坐标，
则可设顶点式 y ＝ a （ x －2）2＋3.
将（1，4）代入，解得 a ＝1，
∴该二次函数的解析式为
y ＝（ x －2）2＋3＝ x 2－4 x ＋7.
设二次函数的解析∴该二次函数的解析式为
（4）二次函数的最低点的纵坐标是－4，且经过点
（1，8）和（5，8）.
解：（4）由题意可知，对称轴为直线 x ＝ ＝3.
设二次函数的解析 y ＝3（ x －3）2－4＝3 x 2－18 x ＋23.
1. （1）已知二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象
上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 …
y … －5 1 1 m …
则这个二次函数的解析式为 ， m
的值为 ；
y ＝－2 x 2＋4 x ＋1
－15
（2）如图，该二次函数的解析式为
.
[第1（2）题]
y ＝－ x 2－2 x ＋
3
2. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式.
（1）已知二次函数的图象经过点 A （0，－1）， B
（1，0）， C （－1，2）；
解：（1）设此二次函数的解析式为 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，
由于函数图象过点（0，－1），可知 c ＝－1.
∵其图象过（1，0），（－1，2）两点，可得
解得
∴所求二次函数的解析式为 y ＝2 x 2－ x －1.
（2）已知抛物线的顶点坐标为（1，－3），且与 y 轴交
于点（0，1）；
解：（2）∵抛物线的顶点为（1，－3），
∴设此二次函数的解析式为
y ＝ a （ x －1）2－3.
∵抛物线与 y 轴交于点（0，1），
∴1＝ a （0－1）2－3，解得 a ＝4.
∴所求二次函数的解析式为
y ＝4（ x －1）2－3＝4 x 2－8 x ＋1.
（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M （－3，0）， N （5，0），且与 y 轴交于点 P （0，－3）.
解：（3）∵抛物线与 x 轴交于点 M （－3，0），
N （5，0），∴设此二次函数的解析式为
y ＝ a （ x ＋3）（ x －5）.
∵抛物线与 y 轴交于点 P （0，－3），
∴－3＝ a （0＋3）（0－5），解得 a ＝ .
∴所求二次函数的解析式为
y ＝ （ x ＋3）（ x －5）＝ x 2－ x －3.
题型二 二次函数与几何
例2 如图，已知抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）经过
点 A （3，0）， B （－1，0）， C （0，－3）.
（1）求该抛物线的解析式；
解：（1）把（3，0），（－1，0），
（0，－3）代入抛物线解析式，得
解得
∴该抛物线的解析式为 y ＝ x 2－2 x －3.
（2）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，存在以点 B ，
C ， Q ， P 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出
点 P 的坐标，并写出其中一个点 P 的坐标的求解过程.
解：（2）分两种情况考虑：
设 Q （ x ，0）， P （ m ， m 2－2 m －3）.
①当 BC 为平行四边形的一边时，则点 P 到
x 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等，即点
P 到 x 轴的距离为3，∴点 P 的纵坐标为3或－3.
当 m 2－2 m －3＝3时，解得 m ＝1± ，
即 P （1＋ ，3）或 P （1－ ，3）；
当 m 2－2 m －3＝－3时，解得 m ＝0（舍去）或2.
即 P （2，－3）.
②当 BC 为平行四边形的对角线时，
∵ B （－1，0）， C （0，－3），
∴线段 BC 的中点坐标为 ，
即平行四边形的对称中心为 ，
则 m 2－2 m －3＝－3，解得 m ＝0（舍去）或2，
即 P （2，－3）.
综上所述，点 P 的坐标为（1＋ ，3）或（1－ ，
3）或（2，－3）.
3. 如图，已知抛物线 y ＝ ax 2＋4 x ＋ c 经过 A （2，0），
B （0，－6）两点，其对称轴与 x 轴交于点 C .
（1）求该抛物线和直线 BC 的解析式；
（第3题）
解：（1）将 A （2，0）， B （0，－6）
代入抛物线的解析式，得
解得
∴抛物线的解析式为 y ＝－ x 2＋4 x －6.
其对称轴为 x ＝4，∴点 C 的坐标为（4，0）.
设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
（第3题）
将点 B ， C 的坐标代入，得
解得
∴直线 BC 的解析式为 y ＝ x －6.
（第3题）
（2）在该抛物线的对称轴上存在点 P ，使得△ PAB 的
周长最小，求出点 P 的坐标；
解：（2）∵抛物线的对称轴为直线 x ＝4，
∴点 A （2，0）关于抛物线对称轴的对
称点A'的坐标为A'（6，0）.
连接A'B，交直线 x ＝4于点 P ，
此时△ PAB 的周长最小.
设直线A'B的解析式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0），
（第3题）
把A'（6，0）和 B （0，－6）代入，得
解得
即直线A'B的解析式为 y ＝ x －6，
把 x ＝4代入直线A'B的解析式，
求得点 P 的坐标为（4，－2）.
（第3题）
（3）设抛物线与直线 BC 相交于点 D ，在该抛物线的对
称轴上存在一点 Q ，使得△ ABQ 的面积等于△ ABD 的
面积.请直接写出点 Q 的坐标，并写出其中一个点 Q 的坐
标的求解过程.
解：（3）如答案图，过点 Q 作 QE ∥ x 轴
交 AB 于点 E ，
（答案图）
联立解得
∴点 D 的坐标为 .∵ AC ＝4－2＝2，
∴ S △ ABD ＝ ×2× ＝ .
设直线 AB 的解析式为 y ＝k'x＋b'（k'≠0），
把 A （2，0）， B （0，－6）代入，得
（答案图）
解得
∴直线 AB 的解析式为 y ＝3 x －6.
设点 Q 的坐标为（4， t ），则 E ，
∴ EQ ＝ ，
∴ S △ ABQ ＝ ×[0－（－6）]× ＝ ，
解得 t ＝－ 或 t ＝ ，
∴点 Q 的坐标为 或 .
（答案图）(共19张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k
的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a（x－h）2
的图象和性质
1. 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2与 y ＝ ax 2的图象的关系
形状 ，开口方向 .
将抛物线 y ＝ ax 2向左平移 h （ h ＞0）个单位，就可以得
到抛物线 y ＝ ；向右平移 h （ h ＞0）个
单位，就可以得到抛物线 y ＝ .
相同
相同
a （ x ＋ h ）2
a （ x － h ）2
2. 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2的图象和性质
函数 y ＝ a （ x － h ）2（ a ＞
0） y ＝ a （ x － h ）2（ a ＜
0）
大致 图象 h ＞0
h ＜0
开口 方向
顶点
向上
向下
（ h ，0）
（ h ，0）
对称
轴
最大（小
）值 当 时， y
有 当 时， y
有
增减性 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而 ； 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而 ；
当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而
x ＝ h
最小值0
x ＝ h
最大值0
增大
减小
减小
增大
直线 x ＝ h
直线 x ＝ h
题型一 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2与 y ＝ ax 2的关系
例1 （1）将抛物线 y ＝－ x 2向右平移5个单位后，得
到的新抛物线的函数解析式是（ C ）
A. y ＝－（ x ＋5）2 B. y ＝－ x 2＋5
C. y ＝－（ x －5）2 D. y ＝－ x 2－5
C
（2）顶点是（－2，0），开口方向、形状与抛物线 y ＝
x 2相同的抛物线是（ B ）
A. y ＝ （ x －2）2 B. y ＝ （ x ＋2）2
C. y ＝－ （ x －2）2 D. y ＝－ （ x ＋2）2
B
（3）若一条抛物线的形状与抛物线 y ＝2 x 2的形状相
同，对称轴与抛物线 y ＝ （ x ＋2）2的对称轴相同，且
顶点在 x 轴上，则这条抛物线所对应的函数关系式
为 .
[方法归纳] （1）小题中，将二次函数平移，其关键是
将抛物线的顶点平移，从顶点的位置确定平移的方向和
距离，也可以根据顶点的平移确定抛物线平移后的函数
解析式.
y ＝2（ x ＋2）2或 y ＝－2（ x ＋2）2
1. 把抛物线 y ＝2（ x －1）2向右平移2个单位，平移后抛
物线的表达式是 .
2. 已知抛物线 y ＝ a （ x － h ）2向右平移3个单位后，得
到抛物线 y ＝2（ x ＋1）2，则 a ＝ ， h ＝ .
y ＝2（ x －3）2
2
－4
题型二 二次函数 y ＝ a （ x － h ）2的图象和性质
例2 已知二次函数 y ＝（ x －3）2.
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点
坐标和该函数的最值；
解：（1）∵ a ＝1＞0，∴该二次函数的图象开口向上，
对称轴为直线 x ＝3，顶点坐标为（3，0）；当 x ＝3
时， y 最小值＝0，没有最大值.
（2）若点 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）位于对称轴右
侧的抛物线上，且 x 1＜ x 2，试比较 y 1与 y 2的大小关系；
解：（2）∵当 x ＞3时， y 随 x 的增大而增大，
又∵3＜ x 1＜ x 2，∴ y 1＜ y 2.
（3）抛物线 y ＝（ x ＋7）2可以由抛物线 y ＝（ x －3）2
平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可
以，请说明理由.
解：（3）将抛物线 y ＝（ x －3）2向左平移10个单位长
度可以得到抛物线 y ＝（ x ＋7）2.
3. 同一平面直角坐标系中，抛物线 y ＝（ x － a ）2与直
线 y ＝ ax ＋ a 的图象可能是（ D ）
A
B
D
C
D
4. （1）抛物线 y ＝2（ x ＋3）2的开口 ；顶点坐
标为 ；对称轴是直线 ；当
x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x
时， y 随 x 的增大而增大；当 x ＝ 时， y 有最
为 ；
（2）抛物线 y ＝－2（ x －1）2的开口 ；顶点坐
标为 ；对称轴是直线 ；当 x
时， y 随 x 的增大而减小；当 x 时， y 随 x 的
增大而增大；当 x ＝ 时， y 有最 为 .
向上
（－3，0）
x ＝－3
＜－3
＞－3
－3
小
值
0
向下
（1，0）
x ＝1
＞
1
＜1
1
大值
0
5. 已知抛物线 y ＝ a （ x －1）2（ a ＜0）经过点（－1，
y 1），（4， y 2），则 y 1 y 2.（填“＞”“＜”或
“＝”）
＞
题型三 二次函数与几何综合
例3 若将抛物线 y ＝2 x 2左右平移使其与 x 轴相交于点
A ，与 y 轴相交于点 B ，若△ AOB 的面积为8.
（1）求平移后抛物线的解析式；
解：（1）设平移后抛物线的解析式为 y ＝2（ x － h ）2，
则点 A 的坐标为（ h ，0），点 B 的坐标为（0，2 h 2）.
∵△ AOB 的面积为8，
∴ ·2 h 2＝8，解得 h ＝±2，
∴平移后抛物线的解析式为
y ＝2（ x ＋2）2或 y ＝2（ x －2）2.
（2）在平移后的抛物线上是否存在一点 P ，使得△AOP 的面积与△ AOB 的面积相等？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在.
当平移后抛物线的解析式为 y ＝2（ x ＋2）2时，
点 B 的坐标为（0，8）.
∵△ AOP 的面积与△ AOB 的面积相等，
∴点 P 与点 B 的纵坐标相等.
∴点 P 与点 B 关于直线 x ＝－2对称.
∴点 P 的坐标为（－4，8）；
当平移后抛物线的解析式为 y ＝2（ x －2）2时，
点 B 的坐标为（0，8），
同理可得点 P 的坐标为（4，8）.
综上所述，存在点 P （－4，8）或 P （4，8）满足题意.
6. 如图，已知抛物线的顶点 A （2，0），与 y 轴的交点
为 B （0，－1）.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1） ∵抛物线的顶点是 A （2，0），
∴设抛物线的解析式为y ＝ a （ x －2）2.
由抛物线过点 B （0，－1），得4 a ＝－1，∴ a ＝－ .
∴抛物线的解析式为 y ＝－ （ x －2）2.
（第6题）
（2）在抛物线的对称轴上找出一点 C ，使得△ BCO 的
周长最小，求出点 C 的坐标.
解：（2）作点 O 关于直线 x ＝2的对称点
D ，则 D （4，0），连接 BD 交直线 x ＝2于
点 C ，点 C 即为所求的点.
（第6题）
易得直线 BD 的解析式为 y ＝ x －1.
当 x ＝2时， y ＝ ×2－1＝－ .
∴点 C 的坐标为 .(共21张PPT)
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1. 二次函数 y ＝ ax 2＋ k 与 y ＝ ax 2的图象的关系
两函数的图象形状 ，开口方向 ，可以
通过互相平移得到.
（1）当 k ＞0时，函数 y ＝ ax 2的图象向上平移 个
单位可得到函数 y ＝ ax 2＋ k 的图象；
（2）当 k ＜0时，函数 y ＝ ax 2的图象向下平移
个单位可得到函数 y ＝ ax 2＋ k 的图象.
相同
相同
k
2. 二次函数 y ＝ ax 2＋ k 的图象与性质
函数 y ＝ ax 2＋ k （ a ＞0） y ＝ ax 2＋ k （ a ＜0）
大致 图象 k ＞0
k ＜0
开口 方向
顶点
向上
向下
（0， k ）
（0， k ）
对称轴
最大 （小）值 当 时， y
有 当 时， y
有
增减性 当 x ＞0时， y 随 x 的
增大而 ； 当 x ＜0时， y 随 x 的
增大而 当 x ＞0时， y 随 x 的增
大而 ；
当 x ＜0时， y 随 x 的增
大而
y 轴（或直线 x ＝
0）
y 轴（或直线 x ＝
0）
x ＝0
最小值 k
x ＝0
最大值 k
增大
减小
减小
增大
注意：（1）对于抛物线 y ＝ ax 2＋ k （ a ≠0），当｜ a ｜相同时，图象的形状和大小完全相同，只是在位置上不同；
（2）对于增减性记住一个重要结论：当 a ＞0时，越靠
近对称轴， y 值越小；当 a ＜0时，越靠近对称轴， y 值
越大.
3. 求函数与两坐标轴的交点坐标
与 x 轴相交，令 y ＝0；与 y 轴相交，令 x ＝0.
题型一 二次函数 y ＝ ax 2＋ k 与 y ＝ ax 2的图象的关系
例1 将抛物线 y ＝4 x 2向下平移4个单位长度，得到的
抛物线是 ，其顶点坐标为
.
y ＝4 x 2－4
（0，
－4）
1. 把抛物线 y ＝ ax 2＋ k 向上平移2个单位，得到抛物线 y
＝ x 2，则 a ， k 的值分别是（ A ）
A. 1，－2 B. 1，－1
C. －1，2 D. －1，－2
A
题型二 二次函数 y ＝ ax 2＋ k 的图象和性质
例2 已知函数 y ＝－ x 2＋1，回答下列问题：
（1）该函数的图象开口方向是 ，对称轴是
，顶点坐标是 ；
（2）当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x
时，函数 y 取得最大值，最大值是 ；其图象与 y
轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标
是 ；
向下
y
轴
（0，1）
＞0
＝
0
1
（0，1）
（－1，0），（1，0）
（3）点（ x 1， y 1），（ x 2， y 2），（ x 3， y 3）在该函
数图象上，且 x 1＜ x 2＜ x 3＜0，则 y 1， y 2， y 3的大小关
系是 .
y 1＜ y 2＜ y 3
2. （1）抛物线 y ＝－2 x 2＋4与 y 轴的交点坐标
为 ，与 x 轴的交点坐标为
；
（2）已知点（－4， y 1），（－1， y 2），（2， y 3）都
在函数 y ＝－ x 2＋ b 的图象上，则 y 1， y 2， y 3的大小关
系为 .（用“＞”连接）
（0，4）
（ ，0），
（－ ，0）
y 2＞ y 3＞ y 1
3. 如图，二次函数 y ＝－ x 2＋2的图象与 x 轴、 y 轴分别
交于点 A ， B ， C .
（1）直接写出抛物线的顶点坐标、对称轴；
解：（1）抛物线的顶点坐标为（0，2），
对称轴为 y 轴.
（第3题）
（2）若 y 随 x 的增大而减小，求 x 的取值范围；
解：（2）由图象可知，若 y 随 x 的增大而
减小，则 x ＞0.
（第3题）
（3）求△ ABC 的面积.
解：（3）把 y ＝0代入 y ＝－ x 2＋2中，得
－ x 2＋2＝0，
解得 x 1＝－2， x 2＝2，∴ A （－2，0），
B （2，0）.
∴ AB ＝4，易得 OC ＝2.
∴ S △ ABC ＝ AB · OC ＝ ×4×2＝4.
（第3题）
题型三 二次函数与几何综合
例3 如图，已知正比例函数 y ＝2 x 的图象与抛物线 y
＝ ax 2＋3相交于点 A （1， b ）.
（1）求 a 与 b 的值；
解：（1）∵点 A （1， b ）在函数 y ＝2 x
的图象上，
∴ b ＝2×1＝2.
∵点 A （1，2）在抛物线 y ＝ ax 2＋3上，
∴2＝ a ×12＋3，解得 a ＝－1.
（2）若点 B （ m ，4）在函数 y ＝2 x 的图象上，抛物线
y ＝ ax 2＋3的顶点是 C ，求△ ABC 的面积；
解：（2）∵点 B （ m ，4）在函数 y ＝2 x 的图象上，
∴4＝2 m ，解得 m ＝2，∴ B （2，4）.
∵抛物线 y ＝－ x 2＋3的顶点是 C ，∴ C （0，3）.
∵点 A 的坐标为（1，2），
∴ S △ ABC ＝2×（4－2）－ －
－ ＝ .
（3）若点 P 是 x 轴上的一个动点，求当 PA ＋ PC 的值最
小时点 P 的坐标.
解：（3）设点 C 关于 x 轴的对称点为点C'，
则点C'的坐标为（0，－3）.
连接AC'交 x 轴于点 P ，此时 PA ＋ PC 的值最小，
设直线AC'的解析式为 y ＝ kx ＋ n ，
把C'（0，－3）， A （1，2）代入，
得解得
∴直线AC'的解析式为 y ＝5 x －3，
当 y ＝5 x －3＝0时，解得 x ＝ .
∴点 P 的坐标是 .
4. 一次函数 y ＝ kx ＋4与二次函数 y ＝ ax 2＋ c 的图象的一
个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象
的顶点.
（1）求 k ， a ， c 的值；
解：（1）由题意，得 k ＋4＝2，解得 k ＝－2.
∴一次函数的解析式为 y ＝－2 x ＋4.
又∵二次函数的顶点坐标为（0， c ），
把（0， c ）代入一次函数 y ＝－2 x ＋4，得0＋4＝ c ，
∴ c ＝4.
把（1，2）代入二次函数 y ＝ ax 2＋4，
得 a ＋4＝2，解得 a ＝－2.
（2）过点 A （0， m ）（0＜ m ＜4）且垂直于 y 轴的直
线与二次函数 y ＝ ax 2＋ c 的图象相交于 B ， C 两点，点
O 为坐标原点，记 W ＝ OA 2＋ BC 2，求 W 关于 m 的函数
解析式.
解：（2）由（1）得二次函数的解析式为 y ＝－2 x 2＋4.
令 y ＝ m ，得2 x 2＋ m －4＝0，
∴ x ＝± .
设 B ， C 两点的坐标分别为（ x 1， m ），（ x 2， m ），
则 BC ＝ ＋ ＝2 ，
∴ W ＝ OA 2＋ BC 2＝ m 2＋4× ＝ m 2－2 m ＋8.
∴ W 关于 m 的函数解析式为 W ＝ m 2－2 m ＋8.
