(共18张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.3 微专题 平行线中的拐点模型
题型一 过拐点作平行线——“M”型
图1：条件：已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
辅助线：过点E作EF∥AB∥CD．
结论：∠E=∠B＋∠D．
图2：条件：已知AB∥CD，点E，F，G在直线AB，CD之间．
辅助线：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB．
结论：∠E＋∠G=∠B＋∠F＋∠D．
图3：条件：已知AB∥CD，点E1，E2，…，En，F1，F2，…，Fn－1
在直线AB，CD之间．
辅助线：分别过点E1，E2，…，En，F1，F2，…，Fn－1作AB的平行线．
结论：∠E1＋∠E2＋…＋∠En=∠B＋∠F1 ＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D．
总结：过拐点作平行线，而且有几个拐点作几条平行线．
题型二 过拐点作平行线——“铅笔”型
图4：条件：已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
辅助线：过点E作EF∥AB∥CD．
结论：∠E＋∠B＋∠D=360°．
图5：条件：已知AB∥CD，点F，G，H，I，J在直线AB，CD之间．
辅助线：过点F，G，H，I，J分别作FM∥AB，GN∥AB，HP∥AB，IQ∥AB．
结论：∠1＋∠2＋∠3＋＋∠4＋∠5＋∠6=900°．
图6：条件：已知AB∥CD，点A1，A2，…，An在直线AB，CD之间．
辅助线：过点A1，A2，…，An分别作AB的平行线．
结论：∠A1＋∠A2＋…＋∠An=(n－1)·180°．
总结：过拐点作平行线，而且有几个拐点作几条平行线．
题型三 过拐点作平行线——“犀牛角”型
图7：条件：已知AB∥CD，点E在直线AB上方．
辅助线：过点E，作EM∥AB．
结论：∠E=∠B－∠D．
图8：条件：已知AB∥CD，点E在直线CD下方．
辅助线：过点E作EM∥AB．
结论：∠E=∠B－∠D．
总结：过拐点作平行线，通常利用两
直线平行，内错角相等可快速得出结论．
一阶方法应用★
1．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板(即∠BAC=30°)按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠2=41°，则∠1的度数是( )
A．17° B．19°
C．23° D．26°
B
2．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于( )
A．138° B．136°
C．134° D．132°
C
3．如图，AB∥CD，∠A=37°，∠C=63°，那么∠F等于( )
A．26° B．63°
C．37° D．60°
A
4．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=24°，∠2=76°，则∠3的度数为( )
A．104° B．128°
C．138° D．156°
B
二阶方法应用★★★
5．如图，若AB∥EF，∠BCD=90°，则图中角α，β，γ之间的关系式正确的是( )
A．α＋β＋γ=360° B．α＋β=γ＋90°
C．α＋γ=β D．α＋β＋γ=180°
B
6．如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是( )
A．∠C=∠B＋∠D
B．∠B＋∠E＋∠C－∠D=180°
C．∠B＋∠D＋∠E－∠C=180°
D．∠E＋∠B=∠C＋∠D
C
7．如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
(1)如图1，若∠E=70°，求∠BFD的度数；
(2)如图2，若∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，请直接写出∠M和∠E之间的数量关系．
解：(1)①如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，∴∠ABE＋∠BEN=180°．
∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD．
∴∠CDE＋∠NED=180°．
∴∠ABE＋∠E＋∠CDE=360°．
∵∠E=70°，∴∠ABE＋∠CDE=290°．
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF＋∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=145°．
过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，∴∠ABF=∠BFG．
∵AB∥CD，FG∥AB，∴FG∥CD．
∴∠CDF=∠GFD．
∴∠BFD=∠ABF＋∠CDF=145°．
(2)∠E＋6∠M=360°(共28张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
单元复习课
知识梳理 回归教材
教材母题回归
知识点1 对顶角的性质和邻补角的定义
1．如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为( )
A．20° B．60°
C．70° D．160°
D
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线．
(1)写出∠AOC的邻补角： ；
(2)写出∠COE的邻补角： ；
(3)写出∠BOC的对顶角： ；
(4)写出∠BOD的对顶角： ．
∠BOC或∠AOD
∠DOE
∠AOD
∠AOC
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1∶∠2=2∶7，求各个角的度数．
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°
知识点2 垂线的定义和性质
4．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，∠1=40°，则∠2= °．
50
5．如图，下列说法正确的是( )
A．线段AE的长是点A到直线BC的距离
B．线段CD的长是点C到直线AB的距离
C．线段AC的长是点A到直线BC的距离
D．线段BC的长是点C到直线AB的距离
A
知识点3 同位角、内错角、同旁内角的定义
6．(2022·广州模拟)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4和∠2
B．∠2和∠6
C．∠5和∠4
D．∠2和∠4
B
7．如图，直线AB，CD被直线AE所截，∠A和 是同位角，∠A和 是内错角，∠A和 是同旁内角．
∠1
∠3
∠2
知识点4 平行线的定义
8．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D．若∠ABC=40°，则∠BCD的度数为( )
A．140° B．130°
C．120° D．110°
B
9．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=50°，则∠2=
°．
40
10．读下列语句，并画出图形．
点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．
解：如图即为所求．
知识点5 平行线的判定
11．在同一平面内，若直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，则b与c的位置关系是 ．
互相平行
12．如图，BE是AB的延长线，量得∠CBE=∠A=∠C．
(1)由∠CBE=∠A可以判断＿＿∥＿＿，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
；
(2)由∠CBE=∠C可以判断 ∥ ，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿
．
AD
BC
同位角相等，两直线
平行
DC
AE
内错角相等，
两直线平行
13．如图，已知∠AEM=∠DGN，∠1=∠2，请问EF和GH平行吗？并说明理由．
解：EF∥GH．理由如下：
∵∠AEM=∠BEN(对顶角相等)，且∠AEM=∠DGN，
∴∠BEN=∠DGN．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AEG＋∠CGE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
即∠1＋∠FEG＋∠CGE =180°．
又∵∠1=∠2，∴∠2＋∠FEG＋∠CGE=180°，
即∠FEG＋∠HGE = 180°．
∴ EF∥CH(同旁内角互补，两直线平行)．
知识点6 平行线的性质
14．如图，AB∥DE，∠B=150°，∠D=140°，则∠C的度数是( )
A．60° B．75°
C．70° D．50°
C
15．如图，点B，C，E，F在一条直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= °．
36
16．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
50°
知识点7 命题、定理、证明
17．命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③同角的余角相等；④同位角相等；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑥和为180°的两个角叫做邻补角．其中假命题有＿＿＿＿＿
．(填序号)
. . .
②④⑤⑥
18．下列语句中，属于命题的是( )
A．作∠ABC
B．两直线相交有几个交点？
C．画线段AB=3 cm
D．相等的角是对顶角
D
19．把命题“平行于同一直线的两直线平行”写成“如果……，那么……”的形式：
．
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
知识点8 平移的定义和性质
20．下列生活现象中，属于平移的是( )
A．升降电梯的上下移动
B．荡秋千运动
C．把打开的课本合上
D．钟摆的摆动
A
21．如图，△ABC中，∠ABC=90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中，错误的( )
A．EC=CF B．∠A=∠D
C．AC∥DF D．∠DEF=90°
．
．
A
22．小芳和小亮在手工课上各自制作楼梯模型，如图，则他们所用的周长( )
A．亮亮的长
B．小芳的长
C．一样长
D．不确定
C
23．一个图形先向右平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度，所得到的图形可以看作是原来位置的图形一次性向 平移 个单位长度得到．
左
2
24．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A’B’C’，连接A’C，量得A’C=3，则△A’B’C的周长为 ．
11
25．(常考题)如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A'．
(1)画出平移后的三角形A'B'C'；
(2)AA'和BB'的位置关系和数量关系是 ．
解：(1)如图即为所求；
(2)平行且相等(共20张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.1 第三课时 同位角、内错角、同旁内角
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
课时目标
1．了解同位角、内错角、同旁内角的概念．
2．识别同位角、内错角、同旁内角，提高识图能力，体会分类的思想．
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点：同位角、内错角、同旁内角的概念
1．在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有 对对顶角，有 对邻补角．
2
4
2．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，得到8个角，通常称为“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？
三线八角中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，
∠3和∠7，∠4和∠8，共4对；内错角有：∠3和
∠5，∠4和∠6，共2对；同旁内角有：∠3和∠6，
∠4和∠5，共2对．
3．观察第2题的图填表：
表一
角 位置1 位置2 结论
∠1和∠5 处于直线EF的右侧 处于直线AB，CD的同上方 这样位置的一对角就称为同位角
∠2和∠6 处于直线EF的 侧 处于直线AB，CD的 这样位置的一对角就称为
∠3和∠7 处于直线EF的 侧 处于直线AB，CD的 这样位置的一对角就称为
∠4和∠8 处于直线EF的 侧 处于直线AB，CD的 这样位置的一对角就称为
左
同一上方
同位角
左
同一下方
同位角
右
同一下方
同位角
表二
角 位置1 位置2 结论
∠4和∠6 处于直线EF的两侧 处于直线AB，CD之间 这样位置的一对角就称为内错角
∠3和∠5 处于 ___________ 的两侧 处于直线AB，CD 这样位置的一对角就称为
直线EF
之间
内错角
表三
角 位置1 位置2 结论
∠3和∠6 处于直线EF的 侧 处于直线AB，CD _________ 这样位置的一对角就称为同旁内角
∠4和∠5 处于直线EF的 _______侧 处于直线AB，CD 这样位置的一对角就称为
左
之间
右
之间
同旁内角
［例］指出图中各对角的位置关系：
(1)∠C和∠D是 ；
(2)∠B和∠GEF是 ；
(3)∠A和∠D是 ；
(4)∠AGE和∠BGE是 ；
(5)∠CFD和∠AFB是 ．
同旁内角
同位角
内错角
邻补角
对顶角
［变式］如图，给出下列说法：①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
B
集慧解惑：先确定截线和被截的两条直线，再根据同位角、内错角、同旁内角的定义判定．
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A．②③
B．①②③
C．①②④
D．①④
◆◆◆ A组基础◆◆◆
C
2．如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 (填序号)．
①②③
3．给出下列说法：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
③相等的两个角是对顶角；
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
4．如图，(1)∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；
(2)能用图中数字表示的∠3的同位角是 ；
(3)图中与∠2是同旁内角的角有 个．
AB
AC
DE
内错
∠7
3
5．(2022·青海)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．从左至右依次表示( )
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
◆◆◆ B组提升 ◆◆◆
D
6．在直角三角形ABC中，∠C=90°，DE⊥AC于E，交AB于D．
(1)试指出BC，DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角；
(2)试说明∠1=∠2=∠3的理由．(提示：三角形内角和是180°)
解：(1)当BC，DE被AB所截时，∠3的同位角为∠1；∠3的内错角为∠2；∠3的同旁内角为∠4；
(2)∵∠1＋∠A＋∠E=180°，
∠3＋∠A＋∠C=180°，∠E=∠C=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3．(共18张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.1 第一课时 相交线
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
2022新课标 重要变化 探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质．(改动)
课时目标
1．理解邻补角和对顶角的概念．
2．掌握“对顶角相等”的性质．
活动一：探究邻补角和对顶角的定义
探索一：画直线AB，CD相交于点O，并说出图中4个角两两相配共能组成几对角？各对角的位置关系如何？
(1)∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为 ，我们称这两个角互为 ．用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 ．
(2)∠1和∠3没有公共边，但有一个 ，并且∠1的两边分别是∠3两边的 ，我们称这两个角互为 ．用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 ．
反向延长线
邻补角
互补
公共顶点
反向延长线
对顶角
相等
活动二：探究对顶角性质．
探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由．
如上图∠1与∠3有怎样的数量关系？你是怎样得到的？你能说出∠1=∠3的道理吗？请你用几何语言写出这个过程．
(3)解：因为∠1与∠2 ，∠2与∠3 ，
所以∠1 ∠3( )．
归纳对顶角的性质： ．
互补
互补
=
同角的补角相等
对顶角相等
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点：余角和补角的概念
余角：如果两个角的和等于 °，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．
补角：如果两个角的和等于 °，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．
90
180
［例］如图，直线AB，CD相交于点O，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
∠2=40°，∠3=140°，∠4=140°
［变式］如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
D
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 °．
2．(人教P3)如图，直线a，b相交，∠1=30°，则∠2= °，∠3= °，∠4= °．
◆◆◆ A组基础◆◆◆
90
150
30
150
3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE的对顶角是 ，∠COB的邻补角是 ，若∠AOC =20°，则∠BOD= °，∠COB = °，∠AOE+∠BOD+∠COF=
°．
∠BOF
∠AOC或∠BOD
20
160
180
4．(2022·江苏苏州)如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，∠1=25°，则∠2的度数是( )
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
D
5．(2022·北京)如图，利用工具测量角，则∠1的大小为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
A
6．如图，直线a，b，c两两相交，∠1=50°，∠2=∠3，求∠4的度数．
◆◆◆ B组提升 ◆◆◆
∠4=100°
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOC-∠BOD=20°，求∠EOB的度数．
∠EOB=140°(共25张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.1 第二课时 垂线
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
2022新课标 重要变化 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(新增)
课时目标
1．理解垂线、垂线段的概念，学会画垂线．
2．掌握“垂线段最短”的性质，能进行简单的推理．
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
1．如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于 ，那么这两条直线 ，其中的一条直线叫做另一条直线的
，它们的交点叫做 ．
知识点1：垂线
90°
互相垂直
垂线
垂足
2．垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB垂直于直线CD，垂足为点O”则记作 ，并在图中任意一个角处作上直角记号，
3．可用几何语言表示：若∠AOC=90°，则有 ．
AB⊥CD
AO⊥OC
［例1］请你认真画一画，看看有什么收获．
(1)如图①，利用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画
条；
(2)如图②，经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画 条；
(3)如图③，经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画 条．
无数
一
一
图略
［变式1］如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，∠BOE=50°，则∠AOC等于( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
B
集慧解惑：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
知识点2：垂线段最短
4．在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直．
5．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．
6．直线外一点到这条直线的 叫做点到直线的距离．
集慧解惑：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说“线段”是距离．
一
垂线段
垂线段的长度
［例2］探索二：请你认真画一画，看看有什么收获．
(1)画出直线l与l外一点P(已画好，如图)；
(2)过点P作PO⊥l，垂足为点O；
(3)点A1，A2，A3，…(不与O重合)在l上，连接PA1，PA2，PA3，…；
(4)用叠合法或度量法比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短．
图略
［变式2］(人教P5)如图，点P到直线公路MN共有四条路，若要从点P到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是( )
A．PA B．PB C．PC D．PD
B
集慧解惑：点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段”是距离．
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
1．如图，OA⊥OB，OD⊥OC，点O为垂足，若∠AOC=30°，则∠BOD= °．
◆◆◆ A组基础◆◆◆
150
2．如图，AO⊥BO，点O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD=2∠AOC，
则∠BOD= °．
60
3．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 ．
垂直
4．如图，AC⊥BC，点C为垂足，CD⊥AB于点D，AC=3 cm，BC=4 cm，AB=5 cm，则点B到AC的距离是 ，点A到BC的距离是
，点C到AB的距离是 ，AC>CD的依据是
．
4cm
3cm
2.4cm
点到直线的距离，垂线段最短
5．如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOD∶∠DOB=3∶1，OD平分∠COB．
(1)求∠AOC的度数；
(2)请直接写出AB与OC的位置关系 ．
AB⊥OC
解：(1)根据题意，知∠AOB=180°．
∵∠AOD ∶∠DOB=3 ∶1，
∴∠DOB=45°．
又∵OD平分∠COB，
∴∠BOC=90°．
故∠AOC=180°－∠BOC=90°．
6．(2022·河南)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A．26° B．36°
C．44° D．54°
◆◆◆ B组提升 ◆◆◆
B
7．如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD=46°．
(1)求∠COE的度数；
(2)若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
解：(1)∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD．
∵∠BOD=46°，
∴∠AOD=134°，∠AOC=46°．
∴∠AOE=67°．
∵∠COE=∠AOC＋∠AOE，
∴∠COE=46°＋67°=113°．
(2)①当OF在AB上方时，
∵OF⊥AB，∴∠AOF=90°．
∴∠EOF=∠AOF－∠AOE=23°．
②当OF在AB下方时，
∵OF⊥AB，∴∠AOF=90°．
∴∠EOF=∠AOF＋∠AOE=157°．(共23张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.3 第一课时 平行线的性质
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
1．掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．
2．了解平行线的性质和判定的区别．
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点：平行线的性质
1．我们已经学行线的哪些判定方法？
(1) 相等，两直线平行；(2) 相等，两直线平行；
(3) 互补，两直线平行；
(4) 则两直线平行．
同位角
内错角
同旁内角
同一平面内两条直线没有交点
2．把前三句话颠倒每句话中的前后次序，能分别得到怎样的三句话？新的三句话还正确吗？
(1)两直线平行， 相等；
(2)两直线平行， 相等；
(3)两直线平行， 互补．
同位角
内错角
同旁内角
3．平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截， 相等．
简单说成： ．
用几何语言表示：(如图)∵a∥b(已知)，∴∠2=∠ ．
同位角
两直线平行，同位角相等
3
4．平行线的性质2：两条平行线被第三条直线所截， 相等．
简单说成： ．
用几何语言表示：(如图)∵a∥b(已知)，∴∠2=∠ ．
内错角
两直线平行，内错角相等
1
5．平行线的性质3：两条平行线被第三条直线所截， 互补．
简单说成： ．
用几何语言表示：(如图)∵a//b(已知)，∴∠2＋∠ =180°．
同旁内角
两直线平行，同旁内角互补
4
［例］请把下面证明过程补充完整．
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于C，交AC于点F，∠E=∠1．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC=∠EGC=90°( )．
∴AD∥EG( )．
∴∠1=∠2( )．
∴ =∠3( )．
∵∠E=∠1(已知)，
∴∠2=∠3(等量代换)．
∴AD平分∠BAC( )．
垂直的定义
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
∠E
角平分线的定义
［变式］(人教P25)如图，AB∥CD，CD∥EF，BC∥ED，∠B=70°，求∠C，∠D和∠E的度数．
解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥CD∥EF．
∴∠C=∠B=70°，∠E=∠D．
又∵BC∥DE，∴∠C＋∠D=180°．
∴∠B＋∠E=180°．
∴∠E=110°．
∴∠C=70°，∠D=∠E=110°．
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
1．下列说法中正确的个数有( )
①同位角相等；
②相等的角是对顶角；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤不相交的两条直线叫做平行线．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
◆◆◆ A组基础◆◆◆
D
2．如图，∠1=∠2，∠3=100°，则∠4= ．
80°
3．如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是( )
A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)
C．∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC=180°
(两直线平行，同旁内角互补)
D．∵∠DAM=∠CBM，∴AB∥CD(两直线平行，同位角相等)
D
. .
4．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件( )
A．∠1=∠2
B．∠1=∠DFE
C．∠1=∠AFD
D．∠2=∠AFD
B
5．(学科融合题)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1＋∠2=103°，则∠3－∠4的度数为 ．
77°
6．如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD( )，
∴ ＋∠ACD=180°( )．
∵PG∥AB( )，
∴∠BAP= ( )，
且PG∥ (平行于同一直线的两直线也互相平行)，
◆◆◆ B组提升 ◆◆◆
已知
∠CAB
两直线平行，同旁内角互补
作图
∠APG
两直线平行，内错角相等
CD
∴∠GPC= (两直线平行，内错角相等)，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP=∠ ，
∠PCD=∠ ( )，
∴∠BAP＋∠PCD=∠BAC＋∠ACD=90°( )，
∴∠APC=∠APG＋∠CPG=∠BAP＋∠CDP=90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 ．
∠PCD
BAC
ACD
角平分线定义
等量代换
互相垂直
7．如图，AF分别与BD，CE交于点G，H，∠1=55°，∠2=125°．
若∠A=∠F，求证：∠C=∠D．
证明：∵∠2＋∠AHC=180°，∠2=125°，
∴∠AHC=180°－∠2=180°－125°=55°．
∵∠1=55°，∴∠1=∠AHC．
∴BD∥CE(同位角相等，两直线平行)．
∴∠ABD=∠C(两直线平行，同位角相等)．
∵∠A=∠F(已知)，
∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠ABD=∠D(两直线平行，内错角相等)．
∴∠C=∠D(等量代换)．(共21张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.4 平 移
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
1．了解平移的概念，会进行点的平移．
2．理解平移的性质，能解决简单的平移问题．
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点1：平移的定义
1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向 一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移改变的是图形的 ．
注意：①图形的平移是由 和 决定的；
②平移的方向不一定水平．
移动
位置
移动的方向
距离
知识点2：平移的性质．
(1)平移不改变图形的 和 ；
(2)经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段 ，对应角
，对应点所连的线段 ．
形状
大小
相等
相等
平行(或在同一条直线上)且相等
3．平移的特征．
(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ；
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是 ；
(3)连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且 ．
完全相等
对应点
相等
［例］如图，△ABC平移后的图形是△A'B'C'，其中C与C'是对应点，请画出平移后的三角形△A'B'C'．
解：作法：(1)连接CC'，过点C作A'C'∥AC，且相等，再过点A'，作A'B'∥AB且相等，连接A'，B'，C'，△A'B'C'就是所画的三角形．
［变式］(常考题)如图，在宽为 13 m、长为24m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，道路的宽为2m，余下部分种植草坪.
则草坪的面积为_______________ .
242 m
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
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03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
A组基础
1．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
D
2．如图，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块( )
A．向右平移1格，向下3格
B．向右平移1格，向下4格
C．向右平移2格，向下4格
D．向右平移2格，向下3格
C
3．如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到对应的△A’B’C’．若B’C=2 cm，则BC’的长是( )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
C
4．如图，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长和为P，正方形ABCD的周长为L，则P与L的关系是( )
A．P>L B．PC．P=L D．P与L无关
C
5．如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于8，则四边形ABFD的周长等于( )
A．8 B．10
C．12 D．14
B
6．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移4 cm得到△DEF．已知AB=8 cm，DH=3 cm，则下列说法：
①CH∥DF；②∠DHA=∠F；③HE=5 cm；④图中阴影部分面积为26 cm2．
其中一定正确的是 ．(填序号)
①③④
B组提升
7．学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3 m，其侧面如图所示，请你测算一下，买地毯至少需要多少元？
解：利用平移线段，把台阶的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4 m，2.8 m，
∴地毯的长度为6.4＋2.8＋2.8=12 m，
地毯的面积为12×3=36( m2)，
∴买地毯至少需要36×40=1 440(元)．
答：买地毯需要1 440元．
8．如图，每个小方格的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．将方格中的△ABC先向右平移8格，再向上平移6格，得到△DEF．
(1)画出平移后的图形，并标出对应点；
(2)直接写出△DEF的面积为 平方单位．
解：(1)如图所示，△DEF即为平移后的图形；
(2)6(共20张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.3 第二课时 命题、定理、证明
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
1．知道命题的意义和组成，会指出一个命题的题设和结论，初步了解什么是定理．
2．了解真命题和假命题的意义，会判断简单的命题是真命题还是假命题．
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点：命题与定理
1．思考：
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
③对顶角相等；
④如果两条直线不平行，那么同位角不相等．
这些句子都是对某一件事情作出的“是”还是“不是”的判断．
定义：________________________的语句，叫做命题．
像这样判断一件事情
2．命题的构成：
(1)许多命题都由 和 两部分组成． 是已知事项，结论是由 推出的事项；
(2)命题常写成“如果……那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是 ，“那么”后接的部分是 ．
题设
结论
题设
已知事项
题设
结论
3．命题的分类
真命题是可以通过 来证明其正确性，而假命题可以通过＿＿
来说明其的错误性．
如果题设成立,那么结论一定成立
题设成立不能保证结论一定成立
推理
举反例
经过推理证明
4．如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的 ．
逆命题
［例］如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
已知：∠1=∠2，∠B=∠C．
求证：∠A=∠D．
证明：∵∠1=∠3，
∠1=∠2，∴∠3=∠2．
∴EC∥BF．∴∠AEC=∠B．
又∵∠B=∠C，∴∠AEC=∠C．
∴AB∥CD．
∴∠A=∠D．
［变式］下列命题是真命题的有( )个．
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④对顶角相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
A
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
A组基础
1．判断下列句子是不是命题．(请在括号内填“是”或“不是”)
(1)我是中国人；( )
(2)老师，早上好；( )
(3)同位角相等；( )
(4)画直线AB的垂线．( )
是
不是
是
不是
2．(易错题)下列命题中是假命题的是( )
A．直角三角形的两个锐角互余
B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
D
．
．
．
3．下列说法正确的是( )
A．互补的两个角是邻补角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．“同旁内角互补”不是命题
D．“相等的两个角是对顶角”是假命题
D
4．(改编题)下列说法正确的是( )
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
A
5．命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设是＿＿
，
结论是 ．
在同一平面内两条直线垂直于同一条直线
这两条直线平行
6．(易错题)用一组a，b，c的值说明命题“若a1
2
－1
7．指出下列命题是真命题还是假命题．
①内错角相等；②如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互补；③同角的补角相等；④在连接两点的线中，线段最短；⑤凡是直角都相等；⑥锐角与锐角的和一定小于90°．
真命题： ，
假命题： ．(均填序号)
②③④⑤
①⑥
B组提升
8．请写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．
(1)同位角相等；
(2)如果=，那么a=b；
(3)等边三角形的三个角都是60°．
解：(1)同位角相等的逆命题是相等的角是同位角，是假命题；
(2)如果=，那么a=b的逆命题是如果a=b，那么=，是真命题；
(3)等边三角形的三个角都是60°的逆命题是三个角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题．(共26张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.2 第一课时 平行线
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
2022新课标 重要变化 ①了解平行线性质(删除)定理的证明．
②掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
③掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
课时目标
1．理解平行线概念，理解平行公理，了解其推论．
2．能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线．
1．把两支铅笔看成两条直线，调整摆放的位置并观察两支铅笔相交有几个交点？相交的两支铅笔有什么特殊的位置关系？
2．把三支铅笔看成三条直线，调整摆放的位置并观察三支铅笔之间的关系，有几种可能性？
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点1：平行线的定义及画法
1．平行线的定义：一般地，在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．如图，记作“a b”，读作“直线a平行于直线b”．
不相交
∥
2．平行线画法：给一条直线a，你能画出直线a的平行线吗？
如图，画平行线的方法步骤：①一落；②二靠；③三移；④四画．
［例1］如图，在∠AOB内有一点P．
(1)过P画l1∥OA．(2)过P画l2∥OB．
(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系？
(1)(2)如图所示；
(3)l1与l2夹角有两个：∠1和∠2；∠1=∠O，∠2＋∠O=180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
［变式1］写出每组直线的位置关系．
( ) ( ) ( ) ( )
相交
垂直
平行
相交
知识点2：平行公理
3．平行公理：经过 一点， 一条直线与这条直线 ．
4．平行公理推论(平行线的传递性)：如果两条直线都与第三条直线
，那么这两条直线也 ．简单地说就是：平行于同一直线的两条直线 ．
用几何语言表示：因为b∥a，c∥a，所以 ．
直线外
有且只有
平行
平行
互相平行
平行
b∥c
［例2］下列语句正确的有( )个．
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，则c∥b；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
D
［变式2］下列说法正确的是( )
A．同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有相交、平行两种
B．同一平面内，不相交的两条线段平行
C．不相交的两条直线是平行线
D．同一平面内，不相交的两条射线平行
A
集慧解惑：两条射线或线段的平行，实际上是指它们所在的直线平行．因此，在同一平面内，两条线段或射线不相交，不能保证它们所在的直线不相交．
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
1．因为AB∥CD，EF∥AB，所以 ，根据___________
．
◆◆◆ A组基础◆◆◆
CD∥EF
平行于
同一条直线的两条直线互相平行
2．下列说法中，错误的个数有( )
①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；
②若a∥b，b∥c，那么a∥c；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
． ．
A
3．如图，按要求画平行线．
(1)过点P画AB的平行线EF；
(2)过点P画CD的平行线MN．
(1)(2)如图．
4．判断题(正确的打“√”，错误的打“ ”)
(1)不相交的两条直线叫做平行线；( )
(2)在同一平面内，不相交的两条射线是平行线；( )
(3)如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么它与另一条也互相平行．( )
×
×
√
5．在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是( )
A．平行或相交
B．垂直或相交
C．垂直或平行
D．平行、垂直或相交
A
6．下列说法中正确的个数是( )
①在同一平面内，a，b，c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c；
②在同一平面内，a，b，c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③在同一平面内，a，b，c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c；
④在同一平面内，a，b，c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．
A．1 B．2 C．3 D．4
◆◆◆ B组提升 ◆◆◆
C
7．探索与发现：
(1)若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是___________，请说明理由；
(2)若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 ___________(直接填结论，不需要证明)；
(3)现在有2 023条直线a1，a2，a3，…，a2 023，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2 023的位置关系．
a1⊥a3
a1∥a4
直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a3，
直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4∥a5，
以四次为一个循环，以此类推，a1∥a2 021，a1⊥a2 022，所以直线a1与a2023的位置关系是：a1⊥a2 023．
8．如图，在6×4的正方形网格中，连接点A，B得线段AB．
(1)连接C，D，E，F中的任意两点，共可得 条线段，在图中画出来．
(2)在(1)中所连得的线段中，与AB平行的线段是 ．
(3)用三角尺或量角器度量、检验，AB及(1)中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？(请用“⊥”表示出来)_____________________________
．
6
FD
CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE
解：(3)(共20张PPT)
第五章 相交线与平行线
SPORT
5.2 第二课时 平行线的判定
课时目标
ONE
目录
01
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
KE SHI MU BIAO
1．使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力．
知识要点
ZHI SHI YAO DIAN
目录
02
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
TWO
知识点：平行线的判定
1．判定定理一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，
那么这两条直线 ．简单说成： ．
用几何语言表示：∵∠ =∠ ，∴AB∥CD．
相等
平行
同位角相等，两直线平行
4
8
2．判定定理二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，
那么这两条直线 ．简单说成：_____________________
．
用几何语言表示：∵∠ =∠ ，∴ AB∥CD．
相等
平行
内错角相等，
两直线平行
2
8
3．判定定理三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，
那么这两条直线 ．简单说成： ．
用几何语言表示：∵∠ ＋∠ =180°，∴AB∥CD．
互补
平行
同旁内角互补，两直线平行
3
8
［例］在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
解：如图，∵b⊥a，c⊥a(已知)，
∴∠1=∠2=90°( )．
∴ ∥ ( )．
垂直的定义
b
c
同位角相等，两直线平行
结论(判定推论)：在同一平面内，如果两条直线都垂直于 ，那么这两条直线 ．简记为：在同一平面内， 同一直线的两直线平行．
用几何语言表示：∵a⊥b，a⊥c，
∴ ．
同一条直线
平行
垂直于
b∥c
［变式］如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1＋∠2=90°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)试探究∠2与∠3的数量关系．
证明：(1)∵BE，DE平分∠ABD，∠BDC，
∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC．
∵∠1＋∠2=90°，
∴∠ABD＋∠BDC=180°．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
(2)∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE．
∵∠1＋∠2=90°，
∴∠BED=180°－(∠1＋∠2)=90°=∠DEF=90°．
∴∠3＋∠FDE=90°．∴∠2＋∠3=90°．
集慧解惑：运用平行线的判定定理来判定两条直线平行时，关键是根据已知两角找准截线和被截线．
随堂检测
SUI TANG JIAN CE
目录
03
课时目标
知识要点
随堂检测
SPORT
THREE
1．如图，能判定EC∥AB的条件是( )
A．∠B=∠ACE
B．∠A=∠ECD
C．∠B=∠ACB
D．∠A=∠ACE
D
2．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
同位角相等，两直线平行
3．(人教P9)如图，下列条件中：
①∠B＋∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
一定能判定AB∥CD的条件有 (填序号)．
①③④
4．请完成左边定理的证明．如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．
证明∵∠1与∠2互补(已知)，
∴∠1＋∠2= °(互补的定义)．
∴∠1= °－∠2(等式的性质)．
∵∠3＋∠2= °( )，
∴∠3= °－∠2(等式的性质)．
∴∠1=∠3(等量代换)．
∴a∥b( )．
180
180
180
180
邻补角的定义
同位角相等，两直线平行
5．(2022·广东模拟)如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是( )
A．∠3=∠4
B．∠1＋∠5=180°
C．∠1=∠2
D．∠1=∠4
◆◆◆ B组提升 ◆◆◆
C
. .
6．(改编题)如图，∠2=∠3，∠1=60°，要使a∥b，则∠4= ．
120°
