最新华师版八上数学 12.3 乘法公式 课件 (共29张PPT)

(共29张PPT)
12.3 乘法公式
华东师大版 八年级数学上册
1.两数和乘以这两数的差
新课导入
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).
( a + b ) ( a – b )
=a·a
+a·b
-a·b
-b·b
=a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
试
一
试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
(a-b)(a+b)
a2
a
b
a
b
b
(a-b)(a+b)
=
-
b2
a2
b2
=
-
探究新知
计算：
（1）(a+3)(a-3)
（2）(2a+3b)(2a-3b)
（3）(1+2c)(1-2c)
=a2-9
=4a2-9b2
=1-4c2
例1
=a2-32
=(2a)2-(3b)2
=12-(2c)2
（4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y)
=-(4x2-y2)
=-4x2+y2
-(2x+y)
或
（4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x)
=(-y) 2-(2x)2
=y2 -4x2
(-y-2x)
计算：1998×2002.
1998×2002
=(2000-2)×(2000+2)
=4000000-4
=3999996
例2
=20002-22
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
1998
=(2000-2)
(2000+2)
2002
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米，东西向减少2米.改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
(a+2)(a-2)
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
例3
a
2
=a2-4
计算：
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x4-1)(x4+1)(x8+1)
=(x8-1)(x8+1)
=x16-1
解
补充例题
先化简，再求值：
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3.
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)
=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3.
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50
补充例题
1.计算：
（1）(2x+ )(2x- )
（2）(-x+2)(-x-2)
解 (2x+ )(2x- )
= 4x2-
解 (-x+2)(-x-2)
=-(-x+2)(x+2)
=-(4-x2)
=x2-4
随堂练习
（3）(-2x+y)(2x+y)
（4）(y-x)(-x-y)
解 (-2x+y)(2x+y)
=y2-4x2
解 (y-x)(-x-y)
=-(y-x)(x+y)
=-(y2-x2)
=x2-y2
随堂练习
2.计算：
（1）498×502
（2）999×1001
解 498×502
=(500-2)×(500+2)
=250000-4
=249996
解 999×1001
=(1000-1)×(1000+1)
=1000000-1
=999999
3.用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定.你认为如何？说说你的道理.
解：长方形区域的周长是一定的，设为4a，如果围成正方形，那么其边长为a，面积为a2；如果围成一般的长方形，设其长为b(b≠a≠0) ，则宽必为(2a-b)，因而其面积为(2a-b)b=2ab-b2而a2- (2ab-b2)=(a-b)2>0(a≠b≠0)，因此围成一般的长方形比围成正方形面积要小.
课堂小结
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
2.两数和（差）的平方
华东师大版 八年级数学上册
新课导入
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)2.
(a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2
+ab
+ab
+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
探究新知
试
一
试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
a
b
b
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
=
+
+
(a+b)2
a2
2ab
=
+
+
b2
计算：
例4
（1）(2x+3y)2
（2）(2a+ )2
解
=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
=(2a)2+2·2a· +( )2
=4a2+2ab+
把2x和3y分别看成a和b
试
一
试
推导两数差的平方公式.
(a-b)2
=[a+(-b)]2
=a2+2a·(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
b
a
b
a2
ab
ab
b2
=
-
+
(a-b)2
a2
2ab
=
-
+
b2
计算：
例5
（1）(3x-2y)2
=(3x)2-2·(3x)·(2y)+(2y)2
=9x2-12xy+4y2
解法一
解法二
解法三
已知x+y=4，xy=2，
求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y
补充例题
(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12
(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20
解
(3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy
=42-4×2=8
所以 x-y= =
随堂练习
1.计算：
（1）(x+3)2
（2）(2x+y)2
解 (x+3)2
=x2+2·x·3+32
=x2+6x+9
(2x+y)2
=(2x)2+2·2x·y+y2
=4x2+4xy+y2
2.计算：
（1）(x-3)2
（2）(2m-3n)2
解 (x-3)2
=x2-2·x·3+32
=x2-6x+9
(2m-3n)2
=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2
=4m-12mn+9n2
3.计算：
（1）(-2m+n)2
（2）(-2m-n)2
解 (-2m+n)2
=(-2m)2+2·(-2m)·n+n2
=4m2-4mn+n2
(-2m-n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2
=[- (2m+n)]2
= (2m+n)2
课堂小结
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.