山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二下学期第二次质量检测数学试题（含答案）

新泰一中东校2023-2024学年高二下学期第二次质量检测
数 学 试 题 2024年6月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则B=（ ）
A． B． C． D．
2．设p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．已知随机变量，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中常数项为（ ）
A．544 B．559 C．495 D．79
5．若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知X的分布列为
0 1
且，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为9
C．的最小值为 D．的最小值为
10．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若.则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．若在R上单调递增，则
B．若，则过点能作两条直线与曲线相切
C．若有两个极值点，，且，则a的取值范围为
D．若，且的解集为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为
①展开式中奇数项的二项式系数和为256
②展开式中第6项的系数最大
③展开式中存在常数项
④展开式中含项的系数为45
已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，若.
(1)求实数m的值；
(2)求；
(3)求的值.
16.(15分)设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
17（15分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中．
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
18．（17分）某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；
(1)记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由．
19．（17分）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
新泰一中东校2023-2024学年高二下学期第二次质量检测
数 学 参 考 答 案 2024年6月
一、选择题
C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. B 8. B
9．ABD 10．ACD 11．AC
填空题
12．乙 13． ②③④ 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）因为，
令，可得，解得；
（2）由（1）可知：，为一次项系数，
由于，
故一次项为，所以，
（3）由（1）可知：，且，
令，可得，
则，
所以
16.【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立.
当时，不等式为，不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数m的取值范围为．
（2），，
，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为4．
（3）由得：；
①当时，，解得：，即不等式解集为；
②当时，令，解得：，；
1）当，即时，不等式解集为；
2）当，即时，不等式解集为；
3）当，即时，不等式可化为，
，不等式解集为；
4）当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
17.【详解】（1）根据散点图判断，
更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
（2）令，，
由表可知：，；
所以关于的回归方程为：；
（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值为.
（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值
，
当，即时，年利润的预报值最大，
故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.
18．【详解】（1）设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”，
则与对立，与对立
由题意得，
则X的分布列为
X 0 1 2
P
所以
（2）由全概率公式得
所以
所以 所以
所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大
19．【详解】（1）， ，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（2）令，则．
令，则．
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为．
（3）因为，即，
即，对恒成立．
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，
，所以函数在上单调递增，
，，
综上所述，实数的取值范围为