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第二十四章 相似三角形 单元测试卷
考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2024八年级下·上海·专题练习）下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4； B．1、2、4、8；
C．2、3、4、5； D．5、10、15、20．
3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，那么下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确
5．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（ ）
A．4 B．1 C． D．
6．（2024·上海青浦·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，那么 ．
8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
9．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，．
10．（2024·上海静安·三模）化简： ．
11．（2024·上海长宁·二模）如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点不与点重合），且，那么的值为 ．
12．（2024·上海浦东新·二模）如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．
13．（2024九年级下·上海·专题练习）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
14．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．
15．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，那么的长为 ．
16．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ．
17．（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．
18．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ．
解答题（本大题共7小题，共64分）
19．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，平分交于D．
(1)求证：；
(2)延长至点E，联结、，如果，求证：．
20．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
21．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知点E在四边形的边上，设，，．
(1)试用向量表示向量_______，______．
(2)在图中求作：．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．
23．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，有一块面积等于的三角形纸片，已知底边与底边上的高的和为（底边大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边在边上，顶点、分别在边、上．
(1)求和底边上的高；
(2)求加工成的正方形纸片的边长．
24．（2024九年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．
(1)求和的值；
(2)当与中的一个角相等时，求线段的长．
25．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G．
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长；
(3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 相似三角形 单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2024八年级下·上海·专题练习）下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．
根据平面向量的意义和性质进行分析作答．
【详解】解：、，原选项正确，不符合题意．
、，原选项错误，符合题意．
、，原选项正确，不符合题意．
、，原选项正确，不符合题意．
故选：．
2．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4； B．1、2、4、8；
C．2、3、4、5； D．5、10、15、20．
【答案】B
【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，那么下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答．
【详解】解：，
，
故A，C，D不正确，
故选：B．
4．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键；
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，，
∴四边形和四边形是相似比为，
∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于，
∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确，
故选：D．
5．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出．
【详解】解：设的重心是，连接，延长交于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
．
故选：B．
6．（2024·上海青浦·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，垂直平分，则，可判断A的正误；由，，，，可得，可判断B的正误；证明，则，即，可得，进而可判断C的正误；证明，可得，进而可判断D的正误．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，A正确，故不符合要求；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，B正确，故不符合要求；
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，C正确，故不符合要求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
设，则，
，
故答案为：．
8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴，
故答案为：
9．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，．
【答案】2
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意，当，即：时，；
故答案为：2．
10．（2024·上海静安·三模）化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可
【详解】解：
，
故答案为：．
11．（2024·上海长宁·二模）如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点不与点重合），且，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及勾股定理得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（2024·上海浦东新·二模）如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果．
【详解】解：∵中线、交于点G，
∴，，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：．
13．（2024九年级下·上海·专题练习）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
【答案】8
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设这座方城每面城墙的长为里，
由题意得，，，，里，里，
，
，
，即，
，
∴这座方城每面城墙的长为8里，
故答案为：8．
14．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标．
【详解】解：，
，
轴轴，
，
，
，
，
，
点，点，
，，
，
，
点在轴的负半轴，
点的坐标是，
故答案为：．
15．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，那么的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
16．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定．
连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：如图，连接交于O．
，，
四边形是平行四边形，
，
B，Q关于对称，
，
，
在中，，，，
．
故答案为：．
17．（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，可证明得到，，利用可得点D的横坐标为3，设，则根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m值，即可得到点D坐标，从而得到k值．
【详解】解：如图，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵与四边形的面积比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵D、C在反比例函数图象上，
∴，解得，
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：12．
18．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图所示，
为的中点，为的重心，
∵在中，，
∴
∴
∵旋转，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
设，则
∴，
∴
故答案为：．
解答题（本大题共7小题，共64分）
19．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，平分交于D．
(1)求证：；
(2)延长至点E，联结、，如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点C作交的延长线于点H，证明得到，再利用平行线和角平分线得到，得出，即可得出结论；
（2）根据条件先得出，再利用对应边成比例及其夹角相等得出，即可得出，，根据等角对等边即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点C作交的延长线于点H，
∵平分，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
20．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．
（1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出；
（2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
21．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知点E在四边形的边上，设，，．
(1)试用向量表示向量_______，______．
(2)在图中求作：．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图，平面向量，三角形法则．解题的关键是熟练掌握三角形法则．
（1）直接利用三角形法则求解即可；
（2）由三角形法则可得：，即直接画出即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴如图，即为所作．
22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．
【答案】4米
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案．
【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：
由题意，米，米，米，
∴米，
∵，
∴，
即，
解得：米，
∴（米），
答：路灯离地面的高度为4米．
23．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，有一块面积等于的三角形纸片，已知底边与底边上的高的和为（底边大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边在边上，顶点、分别在边、上．
(1)求和底边上的高；
(2)求加工成的正方形纸片的边长．
【答案】(1)，底边上的高为
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
（1）设，边上的高为，根据题意得出方程组求出和；
（2）设，再由平行线得出，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．
【详解】（1）解：设，边上的高为，
根据题意得：，
解得：，或不合题意，舍去，
，；
（2）解：设，则
∵，
，
，即，
解得：，
即加工成的正方形铁片的边长为．
24．（2024九年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．
(1)求和的值；
(2)当与中的一个角相等时，求线段的长．
【答案】(1)的值为，的值为4
(2)线段的长为2或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质：
（1）将、两点的坐标分别代入直线中即可求解．
（2）分三种情况：①当时，点与点重合，舍去；②当时，此时，作辅助线求解；③当时，作辅助线，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：直线过点，，
将代入直线，得，
解得，
直线解析式为，
将代入，
解得．
∴的值为，的值为4．
（2）解：①当时，点与点重合，舍去；
②当时，此时，
如图，过点作与点，
，
，，
，，
∴，
，
∴，
，
设，则，
∴，
解得，即，
③当时，
如图，过点作与点，
则，
，
，
综上，线段的长为2或．
25．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G．
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长；
(3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长．
【答案】(1)1
(2)
(3)的长为或
【分析】（1）如图1中，先由矩形的性质与旋转的性质得，，在中，利用勾股定理求得，即可解决问题；
（2）设，，则，证明，得，则，再由勾股定理，得，即，即，所以，求得，从而求得，即可由求解．
（3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
∴
∵
∴
矩形是由矩形旋转得到，
，
设，，则，
∵，
∴
∴
∴，即，
∴
由勾股定理，得
即
解得：
∴
∴
（3）解；当时，
四边形是矩形，
，，
由旋转可得，，
∴，
由勾股定理，得，
∴；
当时，
过点A作于H，如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
由旋转可得，
综上，当是以为腰的等腰三角形时， 的长为或．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质．本题综合性较强，有一定难度．
