云南省玉溪市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024高二下·玉溪月考）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·玉溪月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·玉溪月考）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（ ）
A．144 B．240 C．576 D．1440
4．（2024高二下·玉溪月考）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·玉溪月考）根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（ ）
x 3 4 5 6 7 8 9
y 4.0 2.5 0.5
A． B． C． D．
6．（2024高二下·玉溪月考）若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·玉溪月考）根据玉溪一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高二年级小王同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小王同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024高二下·玉溪月考）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．（2024高二下·玉溪月考）下列说法正确的是（ ）
A．数据12，23，35，47，61的第75百分位数为47
B．随机变量，则
C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强
D．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为84，则
10．（2024高二下·玉溪月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．与的定义域不同
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，若，则
11．（2024高二下·玉溪月考）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B．
C．
D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·玉溪月考）已知随机变量X服从正态分布，若，则 ．
13．（2024高二下·玉溪月考）已知点A、B、C在球O上，球心O到截面ABC的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ．
14．（2023高二下·昆明期末）已知函数是图象的一条对称轴，在区间上单调，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2024高二下·玉溪月考）2025年，玉溪一中将迎来百年华诞，在本次庆祝活动中，学校某社团计划设计一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及数学期望．
16．（2024高二下·玉溪月考）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．（2024高二下·玉溪月考）如图，△ABC中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且.
（1）证明：BC⊥平面PBE；
（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
18．（2024高二下·玉溪月考）已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线：交于点A.
（1）求，的方程；
（2）作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.
19．（2024高二下·玉溪月考）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：函数的图象位于直线的下方；
（3）若函数在区间上无零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以，
所以复数z的虚部为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的运算法则、虚部的定义计算，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，，，所以，
又因为，，由余弦定理可得.
故答案为：B.
【分析】由结合三角形内角和定理，得角C的大小，再由余弦定理可边c的大小即可.
3．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有种，
产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有种，
所以不同的排法总数是24 x60=1440.
故答案为：D.
【分析】根据不相邻排列列问题用抽空法，结合分步乘法计数原理即可求解.
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解： 因为成等差数列，所以，又，
所以，整理可得：，
，解得：q=0(舍)或q=3.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的中项性质和等比数列通项公式得，与联立方程组，解方程组即可求解.
5．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由表中数据可得，，，
因为中的，所以，
所以回归直线方程 为，
当x=10时，.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，求出，即可求得线性回归方程，将x=10代入上式，即可求解。
6．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A，因为c>1，所以指数函数在R上单调递增，
又因为a
对于B，因为c>1，所以对数函数在上单调递增，
又0对于C，因为01，可得，因为正弦函数在上不具有单调性，
所以无法判断与的大小，故C错误；
对于D，因为c>1，所以幂函数在上单调递增，又0故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数和幂函数的单调性即可求解.
7．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设小赵同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
所以
故答案为：A.
【分析】根据相互独立事件以及条件概率公式计算即可求解.
8．【答案】A
【知识点】圆的切线方程；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知：设切点E在第一象限，点M在第一象限，记椭圆左焦点为G，连接MG，OE如图所示：
因为过点的直线MN与圆相切于点 ，所以，OE=b，
又O，E分别是FG，FM的中点，所以OE为三角形FMG的中位线，所以，且，所以，
所以，由勾股定理可得：，即，
得，得，
则椭圆离心率：.
故答案为：A.
【分析】根据直线和圆相切，得，OE=b，利用三角形中位线定理得、，将椭圆定义与勾股定理联立，得，利用离心率定义即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项展开式的通项；二项式系数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，5个数中，第75百分位数为第4个数，为47，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，则B组数据比A组数据的线性相关性强，故C错误；
对于D，第三项和第八项的二项式系数相等，则，解得n=9，所以，
令，得r=6，所以常数项为，
解得a =1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据第75百分位数定义，判断A正确，根据数学期望计算公式，判断B正确，根据成对数据的样本相关系数 与线性相关性强弱关系，判断C错误，根据二项式系数相等求得项数，写出通项，求出r，代回通项即可求得a，判断D正确.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为定义域为，定义域为，
所以与的定义域不同 ，故A正确.
对于B，，
当x > e时，< 0，f(x)单调递减，当0 0，f(x)单调递增，
又f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，
f(x)的单调递减区间为，故B错误；
对于C，其大致图象如图所示：
，结合函数图象可知，若f(x)= a有三个不同的解，则且a ≠0，故C错误：
对于D，对任意两个实数，设= m
则，所以
令故g(t)在t > 1时单调递增，g(t)>g(1)= 0，所以，
令，则，
所以所以.故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求出两函数定义域，判断A正确.求函数导数，通过导数研究单调性结合奇偶性，判断B错误.画出函数f(x)的图象，由f(x)= a有三个不同的解可得y= a与y = f(x)有3个交点，结合函数图象判断C错误.对任意两个实数，设= m，代入已知函数解析式，结合对数的运算性质化简，构造函数利用导数研究单调性，得，令，代入计算化简，即可判断D正确.
11．【答案】B,C,D
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为(0<<1)，
收到其他两个信号的概率均为 ，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
输入信号为MMMM，则输出的信号只有两个M的概率为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，
，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由独立事件的乘法公式判断A错误；由条件概率公式判断B、C正确；由全概率公式判断D正确.
12．【答案】0.4
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由 可得，则，
故，所以.
故答案为：0.4.
【分析】根据正态分布的均值和方差画出草图，利用正态分布图的对称性即可求解.
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球心为O，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆的圆心为，则是的外心，
由 得，，又，，球的表面积
故答案为：
【分析】先确定外接圆半径，再求出球的半径，代入球的表面积公式，即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：若 ，且，则，
原题意等价于在上单调，且关于对称，
则，解得，
所以 ，
若 ，则，
原题意等价于在内 有且仅有 2个最值点，
注意到区间关于对称，
则，解得，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】原题意等价于在上单调，且关于对称，根据对称轴和单调性可得，进一步可知原题意等价于在内 有且仅有 2个最值点，结合正弦函数分析求解.
15．【答案】（1）解： 记“小明恰好套中2次”为事件A，分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；则：，
小明恰好套中2次的概率为；
（2）解： 由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式计算即可.
（2）写出的可能取值为0，1，2，3，4，5，求出各自对应概率，列出分布列，然后根据数学期望公式计算即可.
16．【答案】（1）解： 依题意可得，∵①，当时，②，
，
，，∵，∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，.
（2）解： 由（1）可得，
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）先根据等差数列通项公式求出，再根据，得，进而求出.
（2）先求得，然后分组求和即可.
17．【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴，
∵，∴又∵平面，
∴EF⊥平面PBE，∴平面PBE；
（2）解： 取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC⊥平面PBE，BC 平面BCFE，
∴平面PBE⊥平面BCFE，
∵，∴，
又∵PO 平面PBE，平面PBE∩平面，∴PO⊥平面BCFE，
过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，.，，
设平面PCF的法向量为，
由，取，得，
由图可知为平面PBE的一个法向量，
∴，
∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据线面垂直判定证得EF⊥平面PBE，通过三角形中位线证得，即可证得.
（2）过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，进而求得平面PCF、平面PBE的一个法向量，两法向量夹角余弦即为平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
18．【答案】（1）解： 双曲线的焦点为过点，则有，解得，
则，由抛物线也过，得，则，
所以，的方程分别为，.
（2）解： 由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在如图所示：
设的方程为，
由消去y得：，，
即，则，，
，
又，故，
由，得，即
，
整理得：，即，
显然不在直线上，即，于是，满足，
因此直线的方程为，即，恒过定点，
所以直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)利用双曲线的焦点为过点，联立方程组，求出双曲线方程，由抛物线也过，求得抛物线方程.
(2)设直线方程，与双曲线联立，转化为关于x的一元二次方程，利用，结合韦达定理，求出直线方程，即可求解.
19．【答案】（1）解： ，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解： 因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；
（3）解： ，当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，令，则在区间上恒成立，所以在单调递减，且，
①当时，此时在区问上恒成立，
所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，
②当时，此时，由于且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，的取值范围为.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，然后根据导数意义，为切线斜率，根据点斜式即可求解.
（2）令，求导，研究它的单调性、极值，证明恒成立，即可求解.
(3)先得到g(x)的解析式，分当、时，分析在区间上恒成立，通过研究单调性、极值，结合零点存在定理，即可求解.
1 / 1云南省玉溪市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024高二下·玉溪月考）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以，
所以复数z的虚部为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的运算法则、虚部的定义计算，即可求解.
2．（2024高二下·玉溪月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，，，所以，
又因为，，由余弦定理可得.
故答案为：B.
【分析】由结合三角形内角和定理，得角C的大小，再由余弦定理可边c的大小即可.
3．（2024高二下·玉溪月考）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（ ）
A．144 B．240 C．576 D．1440
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有种，
产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有种，
所以不同的排法总数是24 x60=1440.
故答案为：D.
【分析】根据不相邻排列列问题用抽空法，结合分步乘法计数原理即可求解.
4．（2024高二下·玉溪月考）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解： 因为成等差数列，所以，又，
所以，整理可得：，
，解得：q=0(舍)或q=3.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的中项性质和等比数列通项公式得，与联立方程组，解方程组即可求解.
5．（2024高二下·玉溪月考）根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（ ）
x 3 4 5 6 7 8 9
y 4.0 2.5 0.5
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由表中数据可得，，，
因为中的，所以，
所以回归直线方程 为，
当x=10时，.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，求出，即可求得线性回归方程，将x=10代入上式，即可求解。
6．（2024高二下·玉溪月考）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A，因为c>1，所以指数函数在R上单调递增，
又因为a对于B，因为c>1，所以对数函数在上单调递增，
又0对于C，因为01，可得，因为正弦函数在上不具有单调性，
所以无法判断与的大小，故C错误；
对于D，因为c>1，所以幂函数在上单调递增，又0故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数和幂函数的单调性即可求解.
7．（2024高二下·玉溪月考）根据玉溪一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高二年级小王同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小王同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设小赵同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
所以
故答案为：A.
【分析】根据相互独立事件以及条件概率公式计算即可求解.
8．（2024高二下·玉溪月考）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的切线方程；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知：设切点E在第一象限，点M在第一象限，记椭圆左焦点为G，连接MG，OE如图所示：
因为过点的直线MN与圆相切于点 ，所以，OE=b，
又O，E分别是FG，FM的中点，所以OE为三角形FMG的中位线，所以，且，所以，
所以，由勾股定理可得：，即，
得，得，
则椭圆离心率：.
故答案为：A.
【分析】根据直线和圆相切，得，OE=b，利用三角形中位线定理得、，将椭圆定义与勾股定理联立，得，利用离心率定义即可求解.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．（2024高二下·玉溪月考）下列说法正确的是（ ）
A．数据12，23，35，47，61的第75百分位数为47
B．随机变量，则
C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强
D．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为84，则
【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项展开式的通项；二项式系数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，5个数中，第75百分位数为第4个数，为47，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，则B组数据比A组数据的线性相关性强，故C错误；
对于D，第三项和第八项的二项式系数相等，则，解得n=9，所以，
令，得r=6，所以常数项为，
解得a =1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据第75百分位数定义，判断A正确，根据数学期望计算公式，判断B正确，根据成对数据的样本相关系数 与线性相关性强弱关系，判断C错误，根据二项式系数相等求得项数，写出通项，求出r，代回通项即可求得a，判断D正确.
10．（2024高二下·玉溪月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．与的定义域不同
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，若，则
【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为定义域为，定义域为，
所以与的定义域不同 ，故A正确.
对于B，，
当x > e时，< 0，f(x)单调递减，当0 0，f(x)单调递增，
又f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，
f(x)的单调递减区间为，故B错误；
对于C，其大致图象如图所示：
，结合函数图象可知，若f(x)= a有三个不同的解，则且a ≠0，故C错误：
对于D，对任意两个实数，设= m
则，所以
令故g(t)在t > 1时单调递增，g(t)>g(1)= 0，所以，
令，则，
所以所以.故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求出两函数定义域，判断A正确.求函数导数，通过导数研究单调性结合奇偶性，判断B错误.画出函数f(x)的图象，由f(x)= a有三个不同的解可得y= a与y = f(x)有3个交点，结合函数图象判断C错误.对任意两个实数，设= m，代入已知函数解析式，结合对数的运算性质化简，构造函数利用导数研究单调性，得，令，代入计算化简，即可判断D正确.
11．（2024高二下·玉溪月考）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为(0<<1)，
收到其他两个信号的概率均为 ，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
输入信号为MMMM，则输出的信号只有两个M的概率为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，
，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由独立事件的乘法公式判断A错误；由条件概率公式判断B、C正确；由全概率公式判断D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·玉溪月考）已知随机变量X服从正态分布，若，则 ．
【答案】0.4
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由 可得，则，
故，所以.
故答案为：0.4.
【分析】根据正态分布的均值和方差画出草图，利用正态分布图的对称性即可求解.
13．（2024高二下·玉溪月考）已知点A、B、C在球O上，球心O到截面ABC的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球心为O，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆的圆心为，则是的外心，
由 得，，又，，球的表面积
故答案为：
【分析】先确定外接圆半径，再求出球的半径，代入球的表面积公式，即可求解.
14．（2023高二下·昆明期末）已知函数是图象的一条对称轴，在区间上单调，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：若 ，且，则，
原题意等价于在上单调，且关于对称，
则，解得，
所以 ，
若 ，则，
原题意等价于在内 有且仅有 2个最值点，
注意到区间关于对称，
则，解得，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】原题意等价于在上单调，且关于对称，根据对称轴和单调性可得，进一步可知原题意等价于在内 有且仅有 2个最值点，结合正弦函数分析求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2024高二下·玉溪月考）2025年，玉溪一中将迎来百年华诞，在本次庆祝活动中，学校某社团计划设计一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解： 记“小明恰好套中2次”为事件A，分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；则：，
小明恰好套中2次的概率为；
（2）解： 由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式计算即可.
（2）写出的可能取值为0，1，2，3，4，5，求出各自对应概率，列出分布列，然后根据数学期望公式计算即可.
16．（2024高二下·玉溪月考）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解： 依题意可得，∵①，当时，②，
，
，，∵，∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，.
（2）解： 由（1）可得，
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）先根据等差数列通项公式求出，再根据，得，进而求出.
（2）先求得，然后分组求和即可.
17．（2024高二下·玉溪月考）如图，△ABC中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且.
（1）证明：BC⊥平面PBE；
（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴，
∵，∴又∵平面，
∴EF⊥平面PBE，∴平面PBE；
（2）解： 取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC⊥平面PBE，BC 平面BCFE，
∴平面PBE⊥平面BCFE，
∵，∴，
又∵PO 平面PBE，平面PBE∩平面，∴PO⊥平面BCFE，
过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，.，，
设平面PCF的法向量为，
由，取，得，
由图可知为平面PBE的一个法向量，
∴，
∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据线面垂直判定证得EF⊥平面PBE，通过三角形中位线证得，即可证得.
（2）过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，进而求得平面PCF、平面PBE的一个法向量，两法向量夹角余弦即为平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.
18．（2024高二下·玉溪月考）已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线：交于点A.
（1）求，的方程；
（2）作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.
【答案】（1）解： 双曲线的焦点为过点，则有，解得，
则，由抛物线也过，得，则，
所以，的方程分别为，.
（2）解： 由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在如图所示：
设的方程为，
由消去y得：，，
即，则，，
，
又，故，
由，得，即
，
整理得：，即，
显然不在直线上，即，于是，满足，
因此直线的方程为，即，恒过定点，
所以直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)利用双曲线的焦点为过点，联立方程组，求出双曲线方程，由抛物线也过，求得抛物线方程.
(2)设直线方程，与双曲线联立，转化为关于x的一元二次方程，利用，结合韦达定理，求出直线方程，即可求解.
19．（2024高二下·玉溪月考）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：函数的图象位于直线的下方；
（3）若函数在区间上无零点，求的取值范围.
【答案】（1）解： ，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解： 因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；
（3）解： ，当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，令，则在区间上恒成立，所以在单调递减，且，
①当时，此时在区问上恒成立，
所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，
②当时，此时，由于且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，的取值范围为.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，然后根据导数意义，为切线斜率，根据点斜式即可求解.
（2）令，求导，研究它的单调性、极值，证明恒成立，即可求解.
(3)先得到g(x)的解析式，分当、时，分析在区间上恒成立，通过研究单调性、极值，结合零点存在定理，即可求解.
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