云南省曲靖市会泽县实验高级中学校2023-2024学年高一下学期5月考试数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·会泽月考）若集合或，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·会泽月考）已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
3．（2024高一下·会泽月考）已知两边所在直线与两边所在直线分别平行，若，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
4．（2024高一下·会泽月考）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
5．（2024高一下·会泽月考）已知向量不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
6．（2024高一下·会泽月考）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·会泽月考）已知幂函数的图象经过点与点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·会泽月考）在某次巡航中，军舰在海港的正南方向，军舰在军舰的正西方向，军舰在军舰B，C之间，且海里，若在军舰处测得海港在东偏北的位置，在军舰处测得海港在东偏北的位置，则军舰到海港的距离为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9．（2024高一下·会泽月考）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则与是异面直线
B．若不同在任何一个平面内，则与异面
C．若，则
D．若，则
10．（2024高一下·会泽月考）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．函数有两个零点2和3
D．的解集为或
11．（2024高一下·会泽月考）一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
12．（2022高一下·南通期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
13．（2024高一下·会泽月考）已知的内角的对边分别为，设，则角等于 .
14．（2024高一下·会泽月考）现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球(盒子的盖子能封上)，那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（2024高一下·会泽月考）已知，向量.
（1）若向量，求向量的坐标；
（2）若向量与向量的夹角为，求.
16．（2018·浙江模拟）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的取值范围.
17．（2024高一下·会泽月考）已知函数是上的奇函数.
（1）求的值；
（2）比较与0的大小，并说明理由.
18．（2024高一下·会泽月考）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，为AC与BD的交点.
（1）求证：A1O//平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面ABCD的交线为，求证：.
19．（2024高一下·会泽月考）在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，
因为复数z为纯虚数，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】先根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的概念列式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平行公理；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：当的两边与的两边的方向都相同或都向相反时，；
当的两边与的两边的方向是一个相同，一个相反时，.
故答案为：B．
【分析】根据等角定理求解即可．
4．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的知识画出原图，如图所示：
则原的面积为.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法画出原图，计算原图面积即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为向量与共线，
所以设，即，因为，不共线，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的条件设，代入化简求值即可.
6．【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
则下底面面积，上底面面积，
故该棱台的体积.
故答案为：B.
【分析】根据棱台的体积公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，因为幂函数的图象经过点与点，
所以，解得，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】设幂函数，根据幂函数的性质待定系数得，再借助中间量比较大小即可.
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：易知，，
则，
在中，由正弦定理，可得，
又因为
，所以，
即军舰B到海港A的距离为海里.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用正弦定理解三角形，再结合两角和的正弦公式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则与异面或相交或，故A错误；
B、若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故B正确；
C、 若， 则或相交，故C错误；
D、 若， 则或相交，故D错误．
故答案为：ACD．
【分析】根据直线与直线的位置关系、异面直线的定义即可判断AB；根据面面位置关系即可判断CD.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、因为不等式的解集为，
所以根据一元二次不等式解法可知，由韦达定理可得，，所以，，所以，故A正确；
B、由二次函数的图象知，当时，，所以，故B错误；
C、因为不等式的解集为， 所以函数有两个零点2和3，故C正确；
D、由，，可知，，则，
由可得：，解得或
故的解集为或，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：当截面平行于正方体的一个侧面时，截面的可能图形为C；
当截面过正方体的体对角线时，截面的可能图形为D；
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，截面的可能图形为B；
但无论如何都不能截得A．
故答案为：BCD.
【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况判断即可.
12．【答案】（2，4）
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题意得：在上的投影向量的坐标为
故答案为：（2，4）
【分析】利用向量投影公式结合已知条件，代入数值计算出结果即可。
13．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
根据正弦定理可得，整理得，
再由余弦定理，
因为，所以，
又因为，所以，得，又，所以.
故答案为：.
【分析】由题意，先利用正弦定理化角为边，整理后利用余弦定理求出角，代入求出角即可.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可知：圆柱盒子内高h的范围为，
则圆柱盒子的体积，
因为一个小球的体积，所以.
故答案为：．
【分析】根据题意，先求圆柱高的取值范围，再利用柱体的体积公式和球的体积公式求解即可.
15．【答案】（1）解：设，因为，所以，
又因为，所以，解得或，
所以或
（2）解：因为，所以，
所以，则.
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）设，由题意，结合向量平行的坐标表示列式求解即可；
（2）由题意，利用向量的数量积，结合向量的模公式求解即可.
16．【答案】（1）解：
所以
（2）解：由 得
所以函数 的单调递增区间是 ．
由 得 ，所以
所以 ．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f（x）的单调区间，即可求出函数f（x）的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为是上的奇函数，
所以，得，
时，，
满足为奇函数，所以.
（2）解：设，则，
因为.所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
即，所以，
因为是上的奇函数，所以，
所以.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由函数是上的奇函数，得列式即可求得m的值，注意验证即可；
（2）利用函数单调性的定义，结合函数的奇偶性判断大小即可.
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为几何体是直四棱柱，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面.
（2）证明：因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面平面，所以平面，
由(1)得平面，又平面，
所以平面平面.
（3）证明：因为平面平面ABCD，
平面平面，
平面平面，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；
（2）由题意，根据线线平行证平面，结合平面，即可证明平面平面；
（3）由线面平行证线线平行即可．
19．【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理得，
即，即，即，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）解：由（1），得，即，
又，所以由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理求解即可；
(2)由（1）的结论，结合三角形是锐角三角形可求且，再利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，最后利用三角函数值域求出a的范围，根据求解即可．
1 / 1云南省曲靖市会泽县实验高级中学校2023-2024学年高一下学期5月考试数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·会泽月考）若集合或，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一下·会泽月考）已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，
因为复数z为纯虚数，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】先根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的概念列式求解即可.
3．（2024高一下·会泽月考）已知两边所在直线与两边所在直线分别平行，若，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【知识点】平行公理；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：当的两边与的两边的方向都相同或都向相反时，；
当的两边与的两边的方向是一个相同，一个相反时，.
故答案为：B．
【分析】根据等角定理求解即可．
4．（2024高一下·会泽月考）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的知识画出原图，如图所示：
则原的面积为.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法画出原图，计算原图面积即可.
5．（2024高一下·会泽月考）已知向量不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为向量与共线，
所以设，即，因为，不共线，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的条件设，代入化简求值即可.
6．（2024高一下·会泽月考）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
则下底面面积，上底面面积，
故该棱台的体积.
故答案为：B.
【分析】根据棱台的体积公式求解即可.
7．（2024高一下·会泽月考）已知幂函数的图象经过点与点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，因为幂函数的图象经过点与点，
所以，解得，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】设幂函数，根据幂函数的性质待定系数得，再借助中间量比较大小即可.
8．（2024高一下·会泽月考）在某次巡航中，军舰在海港的正南方向，军舰在军舰的正西方向，军舰在军舰B，C之间，且海里，若在军舰处测得海港在东偏北的位置，在军舰处测得海港在东偏北的位置，则军舰到海港的距离为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：易知，，
则，
在中，由正弦定理，可得，
又因为
，所以，
即军舰B到海港A的距离为海里.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用正弦定理解三角形，再结合两角和的正弦公式求解即可.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9．（2024高一下·会泽月考）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则与是异面直线
B．若不同在任何一个平面内，则与异面
C．若，则
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则与异面或相交或，故A错误；
B、若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故B正确；
C、 若， 则或相交，故C错误；
D、 若， 则或相交，故D错误．
故答案为：ACD．
【分析】根据直线与直线的位置关系、异面直线的定义即可判断AB；根据面面位置关系即可判断CD.
10．（2024高一下·会泽月考）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．函数有两个零点2和3
D．的解集为或
【答案】A,C,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、因为不等式的解集为，
所以根据一元二次不等式解法可知，由韦达定理可得，，所以，，所以，故A正确；
B、由二次函数的图象知，当时，，所以，故B错误；
C、因为不等式的解集为， 所以函数有两个零点2和3，故C正确；
D、由，，可知，，则，
由可得：，解得或
故的解集为或，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.
11．（2024高一下·会泽月考）一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：当截面平行于正方体的一个侧面时，截面的可能图形为C；
当截面过正方体的体对角线时，截面的可能图形为D；
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，截面的可能图形为B；
但无论如何都不能截得A．
故答案为：BCD.
【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况判断即可.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
12．（2022高一下·南通期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
【答案】（2，4）
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题意得：在上的投影向量的坐标为
故答案为：（2，4）
【分析】利用向量投影公式结合已知条件，代入数值计算出结果即可。
13．（2024高一下·会泽月考）已知的内角的对边分别为，设，则角等于 .
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
根据正弦定理可得，整理得，
再由余弦定理，
因为，所以，
又因为，所以，得，又，所以.
故答案为：.
【分析】由题意，先利用正弦定理化角为边，整理后利用余弦定理求出角，代入求出角即可.
14．（2024高一下·会泽月考）现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球(盒子的盖子能封上)，那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可知：圆柱盒子内高h的范围为，
则圆柱盒子的体积，
因为一个小球的体积，所以.
故答案为：．
【分析】根据题意，先求圆柱高的取值范围，再利用柱体的体积公式和球的体积公式求解即可.
四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（2024高一下·会泽月考）已知，向量.
（1）若向量，求向量的坐标；
（2）若向量与向量的夹角为，求.
【答案】（1）解：设，因为，所以，
又因为，所以，解得或，
所以或
（2）解：因为，所以，
所以，则.
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）设，由题意，结合向量平行的坐标表示列式求解即可；
（2）由题意，利用向量的数量积，结合向量的模公式求解即可.
16．（2018·浙江模拟）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的取值范围.
【答案】（1）解：
所以
（2）解：由 得
所以函数 的单调递增区间是 ．
由 得 ，所以
所以 ．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f（x）的单调区间，即可求出函数f（x）的取值范围.
17．（2024高一下·会泽月考）已知函数是上的奇函数.
（1）求的值；
（2）比较与0的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：因为是上的奇函数，
所以，得，
时，，
满足为奇函数，所以.
（2）解：设，则，
因为.所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
即，所以，
因为是上的奇函数，所以，
所以.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由函数是上的奇函数，得列式即可求得m的值，注意验证即可；
（2）利用函数单调性的定义，结合函数的奇偶性判断大小即可.
18．（2024高一下·会泽月考）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，为AC与BD的交点.
（1）求证：A1O//平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面ABCD的交线为，求证：.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为几何体是直四棱柱，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面.
（2）证明：因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面平面，所以平面，
由(1)得平面，又平面，
所以平面平面.
（3）证明：因为平面平面ABCD，
平面平面，
平面平面，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；
（2）由题意，根据线线平行证平面，结合平面，即可证明平面平面；
（3）由线面平行证线线平行即可．
19．（2024高一下·会泽月考）在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理得，
即，即，即，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）解：由（1），得，即，
又，所以由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理求解即可；
(2)由（1）的结论，结合三角形是锐角三角形可求且，再利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，最后利用三角函数值域求出a的范围，根据求解即可．
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