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第13讲 二次函数的图象与系数之间的关系
·模块一 抛物线y=ax +bx+c与系数之间的关系
·模块二 课后作业
抛物线y=ax +bx+c与各项系数之间的关系：
（1）a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小；
（2）b的符号的判定：对称轴在y轴左边则ab＞0，在y轴的右侧则ab＜0，概括的说就是“左同右异”；
（3）c决定了抛物线与y轴交点的位置：
系数 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【例1.1】（2023九年级·山东青岛·期末）二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ．
【例1.2】（2023九年级·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点；
②；
③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为：
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的是 ．（填写序号）
【例1.3】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 ．（填序号）
【变式1.1】（2023九年级·湖北咸宁·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
【变式1.2】（2023·山东泰安·一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A(﹣3，y1)、点B(﹣，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有 ．
【变式1.3】（2023九年级·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论： ； ；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·山东青岛·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
3．（2023九年级·广东广州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线 ．有以下结论：①；②；③ （为任意实数）；④若 是抛物线上的两点，当 时，；⑤若方程 的两根为 且 ，则．
其中正确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023九年级·河南平顶山·期末）二次函数(a，b，c是常数，)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②对称轴为；③和3是关于x的方程的两个根；④其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023·新疆·一模）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，、正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
6．（2023·广东广州·一模）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
若，则下列结论：①；②若方程的两个实数根为、，则；③；④的最大值为．其中正确的结论是（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．（2023九年级·天津·期中）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023九年级·重庆江津·期末）如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线；下列结论：①；②；③；④若方程（为常数）有四个根，分别为，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023九年级·湖北孝感·期中）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
① ②
③方程的两个根为
④抛物线上有两点和，若且，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2023·湖北咸宁·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值，有以下结论：
①； ②当时y随x的增大而增大；
③关于x的方程有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；
④；其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
13．（2023九年级·山东济南·期末）已知二次函数图像的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④．其中正确的有 个．
14．（2023九年级·广东广州·期中）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④关于的方程的两根为，．其中正确的是 ．（只填写序号）
15．（2023九年级·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，如图是二次函数（）的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③方程的两根分别为和；④；⑤．其中正确的命题是 ．
16．（2023九年级·湖北武汉·期末）二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点 ，则下列结论：
①；
②；
③若点，在抛物线上，若，则；
④若关于的方程没有实数根，则．
其中结论正确的序号是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第13讲 二次函数的图象与系数之间的关系
·模块一 抛物线y=ax +bx+c与系数之间的关系
·模块二 课后作业
抛物线y=ax +bx+c与各项系数之间的关系：
（1）a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小；
（2）b的符号的判定：对称轴在y轴左边则ab＞0，在y轴的右侧则ab＜0，概括的说就是“左同右异”；
（3）c决定了抛物线与y轴交点的位置：
系数 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【例1.1】（2023九年级·山东青岛·期末）二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ．
【答案】①②⑤
【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即，因为，所以得出；
⑤化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：①根据图象可知，
∵对称轴是直线，
，即，，．故①正确．
②方程，即为二次函数与x轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于对称，
∴另一个交点．
故②正确．
③∵对称轴是直线，
，
∴点离对称轴更近，，
故③错误．
④，，，
根据图象，令，，，，，
故④错误．
⑤，，
即证：，，
∴m为任意实数，恒成立．
故⑤正确．
综上①②⑤正确．
【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察查学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
【例1.2】（2023九年级·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点；
②；
③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为：
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可．
【详解】解：①抛物线经过点，
，
，
当时，，
该抛物线一定经过，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
，
当时，
，
解得，或，
故此项错误．
④抛物线，对称轴为直线，
抛物线经过点，，
∵是方程的两个根，其中，，
所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标，
，
∴，
故此项正确，
故答案为：①②④．
【例1.3】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④⑤⑥
【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．
【详解】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线
抛物线与轴交于点和，且
由图象知：，，
故结论①正确；
抛物线与轴交于点
故结论②正确；
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
结论③错误；
，
抛物线与轴交于点和
的两根是和2
，
即为：，解得，；
故结论④正确；
当时，
故结论⑤正确；
抛物线与轴交于点和，
，为方程的两个根
，为方程的两个根
，为函数与直线的两个交点的横坐标
结合图象得：且
故结论⑥成立；
故答案为：①②④⑤⑥
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
【变式1.1】（2023九年级·湖北咸宁·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
【答案】②③④
【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由方程有两个根和，且，即可判断③；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为，
∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确；
∵抛物线交x轴于（﹣5，0），（1．0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根和，且，则，③正确；
若方程有四个根，设方程的两根分别为，
则＝﹣2，可得，
设方程的两根分别为，则＝﹣2，可得，
所以这四个根的和为﹣8，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
【变式1.2】（2023·山东泰安·一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A(﹣3，y1)、点B(﹣，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有 ．
【答案】（1）（2）（5）
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0，可得（1）正确；根据二次函数的对称性得到当x＝3时，函数值大于0，则9a+3b+c＞0，即9a+c＞﹣3b，可得（2）正确；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有7a﹣3b+2c＜0，可得（3）错误；利用抛物线的对称性得到（﹣3，y3）在抛物线上，然后利用二次函数的增减性可得（4）错误；作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断可得（5）正确；综上即可得答案．
【详解】∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故（1）正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴另一个交点为（5，0），
∵抛物线开口向下，
∴当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，故（2）正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0
∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）错误；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3）在抛物线上，
∴点（﹣3，y3）与C（7，y3）关于对称轴x＝2对称，
∵A(﹣3，y1)在抛物线上，
∴y1=y3，
∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＝y3＜y2，故（4）错误．
方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，
过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
∵x1＜x2，抛物线与x轴交点为（-1，0），（5，0），
∴依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．
故答案为：（1）（2）（5）
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【变式1.3】（2023九年级·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论： ； ；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
【答案】/////
【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，，则，根据得，根据，得，根据得，则，即可判断正确，根据，得，即可得点在轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线，，得抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，则关于x的方程有整数解，则符合条件的的值有个，故正确；根据抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，得抛物线过，根据当时，二次函数的最大值为得或，即可得；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴正确，
∵，，
∴，
∴点在轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线，，，
∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，
∴关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个，
故正确；
∵抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，
∴抛物线过，
∵当时，二次函数的最大值为，且，
∴，
∴，
故错误，
综上，正确，
故答案为：．
1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．
【详解】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故选：B．
2．（2023·山东青岛·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∴方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
3．（2023九年级·广东广州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线 ．有以下结论：①；②；③ （为任意实数）；④若 是抛物线上的两点，当 时，；⑤若方程 的两根为 且 ，则．
其中正确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数的图象与系数间的关系，利用二次函数的图象及性质和二次函数的图象与系数间的关系逐一判断及可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，，，，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴为，
，即：，
当时，，
，
，
，
，
，
，故②正确；
由图象可知，当时，函数值最小，
（为任意实数），
，故③正确；
是抛物线上的两个点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，
，故④正确；
图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另外一个交点为，
，
若方程，
即的两根为，，
则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故⑤错误，
则正确的个数有3个，
故选：B．
4．（2023九年级·河南平顶山·期末）二次函数(a，b，c是常数，)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②对称轴为；③和3是关于x的方程的两个根；④其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据表中数据判断的正负即可；②根据，，，，可得对称轴为直线；③根据对称轴为直线，再根据二次函数的对称性得出结论；④把和代入抛物线解析式求出的值，再根据的取值范围得出结论．
【详解】解：①当时，，
当时，，
，
，
，
故①正确；
②根据，，，，可得对称轴为直线；
故②错误；
③对称轴为直线
时则时，
和是关于的方程的两个根；
故③正确
④，，
，
，
当时，其对应的函数值
，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
5．（2023·新疆·一模）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，、正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线经过可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．
【详解】解：∵抛物线经过，代入，
得：，故①正确，
∵，
∴抛物线开口向下，
点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，
∴，故②错误，
∵
∴，
∵
∴，
∵抛物线的最大值为，
∴若m为任意实数，则
，
∴，故③正确；
∵方程有两实数根为，，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线对称性可得抛物线x轴另一交点坐标为，
∴抛物线与x轴交点坐标为，，
∵抛物线开口向下，
∴，，故④正确．
综上①③④正确，
故选：B．
6．（2023·广东广州·一模）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
若，则下列结论：①；②若方程的两个实数根为、，则；③；④的最大值为．其中正确的结论是（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．先得出抛物线对称轴为，进而得到，再根据时的函数值，得出，再分别表示出、，列出不等式组求出的取值范围，即可判断结论；根据一元二次方程根和系数的关系，即可判断结论；根据，，即可判断③结论；根据抛物线的对称性可得，即可判断④结论．
【详解】解：由表格可知，抛物线对称轴为，
，
，
当时，，
，
，
，，
，
，
或，
解得：或，①结论错误；
若方程的两个实数根为、，
则，②结论正确；
，，
，③结论正确；
根据抛物线的对称性可得，当和时的函数值相等，
，
，
，④结论错误；
即正确的结论是②③
故选：B．
7．（2023九年级·天津·期中）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，则x＝1时，a﹣b+c＜0，则可对②进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b＝2a，而x＝﹣1时，a﹣b+c＝2，则a﹣2a+c＝2，、于是可对③进行判断；利用抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），可得到抛物线与直线y＝2只有一个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝﹣1时，y＝2，
即a﹣b+c＝2，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），
即x＝﹣1时，y有最大值2，
∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．（2023九年级·重庆江津·期末）如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向上可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴的交点可得，进而判断①，根据抛物线的对称性可得当与时的函数值相等，进而可知时，函数值小于0，进而判断②，根据抛物线的对称性可得与时的函数值相等，进而根据在对称轴右侧时，随的增大而增大，即判断③，根据直线经过二次函数图象的顶点，可得，进而可得，即可判断④
【详解】解：根据抛物线开口向上可得，对称轴为，
，
抛物线与轴的交点可得，
故①正确；
对称轴是直线，
当与时的函数值相等，
即
又
故②正确；
对称轴是直线，
与时的函数值相等，
由
即
对称轴右侧时，随的增大而增大，
又
故③不正确；
直线经过二次函数图象的顶点，
即时，两函数值相等
即
当时，方程，即
是方程的一个根
故④正确
故正确的有①②④，共3个
故选C
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线；下列结论：①；②；③；④若方程（为常数）有四个根，分别为，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可判断①，由时，可判断②，由抛物线的顶点在直线上可判断③，由抛物线的对称性可判断④．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
∴，
∴，①正确．
由图象可得时，，
∴，②错误．
将代入得，
将代入得，
∵抛物线顶点在直线上，
∴，
∴，③正确．
由抛物线对称轴为直线可得函数的对称轴为直线，
∴直线与函数图象交点关于直线对称，
∴，④正确．
故选：C．
10．（2023九年级·湖北孝感·期中）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
① ②
③方程的两个根为
④抛物线上有两点和，若且，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】此题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据抛物线开口方向及对称轴的位置以及抛物线与y轴的交点的位置，可确定a，b，c的符号，由此可判断①；根据抛物线的对称轴为直线，以及抛物线与x轴的一个交点为，可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；由抛物线与x轴交于点和，可得，，进而可得方程的两根，由此可判断③；由且，可得P点到对称轴的距离小于Q点到对称轴的距离，由此可判断④．熟练掌握二次函数的图像与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
则另一个交点为，
∴时，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点和，
∴的两根为6和，
∴，，
则，，
∴方程可变为，
∵，
∴，
解得，，
故③不正确；
∵，
∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵，
∴，
即P点到对称轴的距离小于Q点到对称轴的距离，
∴，故④正确．
综上，正确的有①②④，
故选：B．
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线交轴的负半轴于点，从而令，又对称轴是直线，故可判断①；抛物线过，从而，又，即，进而，最后可以判断②；依据，代入方程，可化为，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由是等腰直角三角形，为顶点，从而，结合顶点为，对称轴是直线，故，再由抛物线为，又抛物线过点，计算可以判断④；根据，判断出点在直线左侧，点在直线右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线交轴的负半轴于点，开口向上，
∴令．
∵
∴对称轴是直线，
∴．，
∴，故①错误．
∵抛物线过，
∴．
又，即，
∴．
∴，故②错误．
∵，
则可化为，即，
若方程的两根分别为m，n，即方程的两根分别为m，n，
则；故③正确；
是等腰直角三角形，
又为顶点，
∵抛物线交x轴于，，
故设顶点为，对称轴是直线，
，
∴可设抛物线为，
又抛物线过点，
∴．
∴，故④正确．
因为，
所以点在直线左侧，点在直线右侧，
又因为，
则．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
12．（2023·湖北咸宁·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值，有以下结论：
①； ②当时y随x的增大而增大；
③关于x的方程有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；
④；其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】①将点与点代入解析式可得到a、b互为相反数，，即可判断；②先求出抛物线对称轴为：，再根据当时，对应的函数值，函数过点与点，可以判断抛物线开口向下，即，，即当时，y随x的增大而增大，即当时y随x的增大而增大；③函数过点且当时，对应的函数值，可知方程的正实数根在1和 之间，结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间；④将点与点代入解析式得：，进而可得，再根据当时，对应的函数值，可得，解得，问题随之得解.
【详解】①将点与点代入解析式得：，
可得：，，
则a、b互为相反数，
∴，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴抛物线对称轴为：，
∵当时，对应的函数值，函数过点与点，
∴可以判断抛物线开口向下，即，，
∴当时，y随x的增大而增大，
即当时y随x的增大而增大，
故②正确；
③∵函数过点且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和之间，
∵抛物线对称轴为：，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间，
故③正确；
④∵将点与点代入解析式得：，
∵，
∴；
∴，
∵当时，对应的函数值，
∴,
∵，
∴，解得，
∴，
故④正确；
故选：C.
【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.
13．（2023九年级·山东济南·期末）已知二次函数图像的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④．其中正确的有 个．
【答案】3
【分析】根据函数图像和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图像可知：， ，，
∴，故①正确；
当时，函数有最大值，故②正确；
方程的解是，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故④错误；
故答案为：3
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14．（2023九年级·广东广州·期中）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④关于的方程的两根为，．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③④
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出 再结合对称轴 同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解.
【详解】由图象可得， 又 ,
，
，
∴①正确；
由题意，令
，
又二次函数 的图象与正比例函数的图象相交于两点，已知
点的横坐标为 ， 点B的横坐标为2，
的两根之和为两根之积为
，
，又 ，
，
，
∴②错误, ④正确.
，
，
∴③正确.
故答案为: ①③④.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.
15．（2023九年级·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，如图是二次函数（）的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③方程的两根分别为和；④；⑤．其中正确的命题是 ．
【答案】③④⑤
【分析】由函数图象可知，则可判定①；由抛物线的对称轴为直线可判定②；根据抛物线的对称性可直接判定③；由图象可知抛物线与x轴有两个交点，进而可判定④；由抛物线的顶点可进行判断⑤．
【详解】解：由图象得：抛物线的对称轴为直线，开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴，，
∴，故①②错误；
由图象可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可知另一个交点的横坐标为，
∴方程的两根分别为和，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故④正确；
当x=1时，则有，
∵，
∴，故⑤正确；
综上所述：正确的有③④⑤；
故答案为③④⑤．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．（2023九年级·湖北武汉·期末）二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点 ，则下列结论：
①；
②；
③若点，在抛物线上，若，则；
④若关于的方程没有实数根，则．
其中结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由且A、B两点位于y轴两侧，可判断①；由对称轴为，可得，把代入抛物线的表达式中可判断②；由可知可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧，分两种情况讨论，可判断③；由方程没有实数根可得，由此可判断④．
本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图像与系数的关系．二次函数系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点．
【详解】∵,
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线与x轴的两个交点、 位于y轴两侧，
∴，
故结论①正确；
∵抛物线的对称轴为
∴，
由可知时，，
，
，
故结论②错误；
∵
∴可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧，
，
当点在A、B之间时，此时；
当在B点右侧时， 此时、都在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴，
∴当时，，
故结论③正确；
若关于x的方程没有实数根，
则，
，
，
故结论④正确．
综上，正确的有①③④
故答案为：①③④．
