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第08讲 二次函数y=ax2的图象和性质
·模块一 二次函数
·模块二 二次函数y=ax2的图象和性质
·模块三 课后作业
二次函数的定义：
我们把一种意义一般地，如果就是常数，，那么y叫做x的二次函数.
【考点1 二次函数的概念】
【例1.1】（2023九年级·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意；
B，，是的一次函数，不合题意；
C，，一定是的二次函数，符合题意；
D，中含有分式，不是二次函数，不合题意；
故选C．
【例1.2】（2023·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意，
则①②符合题意，
故选：A．
【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可．
【详解】∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
解得，
故选：B．
【变式1.1】（2023九年级·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【答案】二次函数关系
【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
【变式1.2】（2023九年级·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意；
（2），不是二次函数，故不符合题意；
（3）是二次函数，故符合题意；
（4）不是二次函数，故不符合题意；
（5）不是二次函数，故不符合题意；
（6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
【变式1.3】（2023九年级·广东东莞·期中）已知函数是二次函数，则 ．
【答案】
【分析】根据定义得：形如 是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案．
【详解】解：依题意得：且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，本题关键点为．
【考点2 二次函数的一般形式及函数值】
【例2.1】（2023九年级·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【答案】 5
【分析】根据二次函数的定义判断即可。
【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是，
故答案为：①，② ，③ ，
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
【例2.2】（2023九年级·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【答案】106
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将代入解析式求值即可．
【详解】解： ，
当时，，
水的体积为．
故答案为：106．
【例2.3】（2023九年级·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ．
【答案】
【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．
【详解】解：，
，
∴二次项系数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项．
【变式2.1】（2023九年级·云南大理·期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
【答案】0
【分析】分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可；
【详解】∵，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1，
∴；
故答案是0．
【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键．
【变式2.2】（2023九年级·河南洛阳·期末）军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足．经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
【答案】
【分析】炮弹落到地上即y=0，代入解析式解答即可．
【详解】依题意，关系式化为：
y= (x 25)2+125.
令y=0，
解得：x=50秒．
故答案为50．
【点睛】二次函数的应用．
【变式2.3】（2023·山西运城·模拟预测）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【答案】120
【分析】把代入解析式求值即可．
【详解】解：，
当时，，
水的体积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
【考点3 根据实际问题建立二次函数的模型】
【例3.1】（2023九年级·山东济宁·期中）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为 ．
【答案】
【分析】因为产量的平均增长率相同，所以2021的产量为，2022年的产量为，由此即可知道2022年的产量y（万件）与x间的关系式．
【详解】解：∵2020年产量为1万件，且产量年均增长率为x．
∴2021年产量为；2022年的产量为．
∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．
【例3.2】（2023九年级·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．
首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：，
则面积为：平方厘米，
∴．
故答案为：．
【例3.3】（2023九年级·浙江温州·阶段练习）经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．当这种商品的售价减低元时，每个的销售利润为元，销售量为个，利用总利润每个的销售利润销售量，即可找出关于的函数关系式，此题得解．
【详解】解：当这种商品的售价减低元时，每个的销售利润为元，销售量为个，
根据题意得：．
故选：A．
【变式3.1】（2023九年级·广东深圳·期末）用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为 ．
【答案】y＝﹣x2+10x
【分析】根据长方形的面积=长×宽，即可解答．
【详解】解：由题意知：y=x （）=x（10-x）=-x2+10x．
故答案为y=-x2+10x．
【点睛】此题主要考查利用二次函数解决实际问题，解决本题的关键是熟记长方形的面积=长×宽．
【变式3.2】（2023九年级·全国·阶段练习）长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，
则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键.
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·河南洛阳·期末）中 ， ， .
【答案】 5 2 0
【分析】根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答.
【详解】解：在中，a＝5，b＝2，c＝0．
【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式、各项系数与常数项．
【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）函数y＝(m＋2)＋2x－1(x≠0)，当m＝ 时，它是二次函数，当m＝ 时，它为一次函数．
【答案】 2， ±或－2
【详解】试题分析：令m2－2＝2，得m＝2或－2，
∵m＋2≠0，m≠－2，
∴m＝2，
即m＝2时是二次函数；
当m＝－2时，y＝2x－1，是一次函数，
当m2－2＝1，即m＝时，是一次函数，
即m＝或－2时，是一次函数．
故答案为2；或－2．
【题型3】（2023九年级·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
【题型2】（2023九年级·重庆·阶段练习）匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡．
【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细，
∵容器横截面为圆形，横截面，
∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，
∴对应函数图像先陡、后缓、再陡，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线．
【题型3】（2023九年级·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系
【答案】A
【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
则阴影部分的面积为，
即：，为一次函数，
故选：A．
二次函数的性质：
（1）抛物线的顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴；
（2）函数的图像与a的符号关系：
①当a＞0时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当a＜0时抛物线开口向下顶点为其最高点；
（3）顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴，抛物线的解析式形式为(a≠0)
【考点1 二次函数y=ax2的图象】
【例1.1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．
【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空．
(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；
(2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________；
(3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________．
【答案】(1)顶点，
(2)抛物线，上，y轴（或直线）
(3)减小，增大
【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键．
（1）根据的图象得出顶点位置及坐标；
（2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴；
（3）根据的图象得出其性质．
【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是．
故答案为：顶点，
（2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）．
故答案为：抛物线，上，y轴（或直线）
（3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大．
故答案为：减小，增大．
【例1.3】（2023九年级·山东济宁·阶段练习）如图，三个二次函数图象中，分别对应的是①；②；③，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次函数中越大开口越小，据此即可求解．
【详解】解：二次函数中越大开口越小，
由图得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解性质是解题的关键．
【变式1.1】（2023九年级·福建福州·期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】理解二次函数解析式，决定抛物线的形状，开口向上，开口向下；由题意可得，进而由开口方向确定具体值．
【详解】解：由题意知，或，
∵开口方向相反，
∴．
故选：D．
【变式1.2】（2023九年级·陕西西安·期末）抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，．
【答案】 向下
【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题．
根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，．
故答案为：向下，，．
【变式1.3】（2023九年级·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
(1)则k的值为____；对称轴为_____．
(2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______．
(3)请画出该函数图象．
【答案】(1)，轴
(2)
(3)图像见解析
【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可；
（3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可．
【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得
，
解得：，
二次函数的解析式为，
对称轴为轴，
故答案为：，轴；
（2）点，
当时，，
点
点的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）如图
【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
【考点2 二次函数y=ax2的性质】
【例2.1】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】
本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质解题．
【详解】
解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点；
开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点；
∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点；
故选：B．
【例2.2】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】分别把代入解析式求解．
【详解】把代入得，
把代入得，
，
，
故选：A.
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征．
【例2.3】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为轴，经过原点，请写出一个满足条件的抛物线的解析式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据抛物线的开口向下和对称轴，设出函数解析且，据此写出解析式即可解答．
【详解】解：根据题意可得：二次函数的顶点坐标为，
设且，例如：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的表达式是解题的关键．
【变式2.1】（2023九年级·江苏徐州·阶段练习）若抛物线经过点，则它也经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的表达式的形式可得图象关于y轴对称，从而判定其必经过的点．
【详解】解：∵抛物线的图象关于y轴对称，
∴若图象经过，
则一定经过，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象关于y轴对称．
【变式2.2】（2023九年级·广西梧州·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数图象开口向下
C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：二次函数，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟记二次函数的开口方向，顶点坐标，函数最值，增减性是解本题的关键．
【变式2.3】（2023九年级·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答．
【详解】解：解：点是是抛物线的最低点，
．
故答案为：．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·北京密云·期末）若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）.
【答案】
【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解．
【详解】解： 中，
的图象开口向下，对称轴为y轴，
距离y轴越远的点纵坐标越小，
，
，
故答案为：．
【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴，
∴线段关于y轴对称，
∵且点A在第二象限，
∴点A的横坐标为，
把代入，得，
∴点A的坐标为．
故选D．
【题型3】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上的两点，则．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：，，
抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确；
③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误；
④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确；
正确的说法共有3个，
故选C．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；
解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确；
当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误．
解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意；
B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意．
故选：B．
【题型2】（2023·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴当，，当，，
∴与同号或都等于0，
∴
故选：D．
【题型3】（2023九年级·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果．
【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图：
抛物线与线段的交点需要在之间，
当抛物线经过A点时，，解得：，
当跑五项经过B点时，，解得：，
抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，
．
故答案为：．
1．（2023九年级·江苏苏州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
2．（2023九年级·浙江丽水·期末）若函数的图象经过点，则n的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的点坐标．熟练掌握二次函数图象上的点坐标满足二次函数表达式是解题的关键．
将代入，计算求解即可．
【详解】解：将代入得，，
故选：A．
3．（2023九年级·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．
【详解】解：二次函数的一次项系数是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
4．（2023九年级·北京朝阳·期中）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列二次函数关系式，正方体有6个面，每个面的面积为据此可求解．
【详解】解：由题意得，，
故选：C．
5．（2023九年级·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（ ）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答．
【详解】根据二次函数和的图象，可得两图象都关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以①③④正确．
故选：B．
6．（2023九年级·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
【答案】 0
【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键．
根据二次函数各项的系数填空．
【详解】∵二次函数为，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为，
∴，，．
故答案为：，0，．
7．（2023九年级·四川自贡·阶段练习）已知x的二次函数，则写一个符合条件的m的值可能是 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．依据二次函数的二次项系数不为零可求得m的取值范围，然后可找出符合条件的m的值．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴．
解得．
∴是符合条件的一个可能的值．
故答案为：0（答案不唯一）．
8．（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴当时，y有最小值，最小值为，
故答案为：．
9．（2023九年级·山东淄博·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①；②；③的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是 ．（按照要求只填写序号）
【答案】①③②
【分析】二次函数，越大，抛物线的开口越小，根据这一结论判断即可．
【详解】∵，
由里到外的三条抛物线对应的函数分别是：①③②．
故答案为：①③②．
【点睛】本题关键在于考查抛物线解析式中二次项系数与抛物线图像的关系，它的正负决定了抛物线的开口方向，它的绝对值的大小决定了抛物线开口的大小．
10．（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
∵边长为4的正方形面积为16，
∴图中的阴影部分的面积为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键．
11．（2023九年级·天津滨海新·阶段练习）若函数是二次函数．
(1)求k的值．
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为3；
（2）把代入函数解析式中得：，
当时，，
∴y的值为．
【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．
12．（2023九年级·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】见解析
【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理．
【详解】解：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1） 2
（2） 0
（3） 1 0
（4） 1 0 0
【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．
13．（2023九年级·上海·假期作业）判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数；
（2），符合，故是二次函数；
（3），不是整式，故不是二次函数；
（4），符合，故是二次函数；
（5），符合，故是二次函数；
（6），没有二次项，故不是二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式．
14．（2023九年级·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)点不在这个函数图像上；
(3)和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
15．（2023九年级·福建南平·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题：
x … 0 1 2 3 …
y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …
(1)补齐上表；
(2)在所给坐标系内描出表格中的点；
(3)将上述各点用平滑曲线连线．
(4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)8，；
【分析】（1）根据计算填空即可；
（2）在坐标系内描点即可；
（3）将各点用平滑曲线连接即可；
（4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出的取值范围．
【详解】（1）当时，；
当时，；
故答案为：．
（2）描点如下图．
（3）用平滑曲线连线如下图．
（4）由图象可知：
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的基本能力，一定要熟练掌握．中小学教育资源及组卷应用平台
第08讲 二次函数y=ax2的图象和性质
·模块一 二次函数
·模块二 二次函数y=ax2的图象和性质
·模块三 课后作业
二次函数的定义：
我们把一种意义一般地，如果就是常数，，那么y叫做x的二次函数.
【考点1 二次函数的概念】
【例1.1】（2023九年级·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．或
【变式1.1】（2023九年级·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【变式1.2】（2023九年级·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1.3】（2023九年级·广东东莞·期中）已知函数是二次函数，则 ．
【考点2 二次函数的一般形式及函数值】
【例2.1】（2023九年级·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【例2.2】（2023九年级·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【例2.3】（2023九年级·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ．
【变式2.1】（2023九年级·云南大理·期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
【变式2.2】（2023九年级·河南洛阳·期末）军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度与飞行时间的关系满足．经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
【变式2.3】（2023·山西运城·模拟预测）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【考点3 根据实际问题建立二次函数的模型】
【例3.1】（2023九年级·山东济宁·期中）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为 ．
【例3.2】（2023九年级·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．
【例3.3】（2023九年级·浙江温州·阶段练习）经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】（2023九年级·广东深圳·期末）用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为 ．
【变式3.2】（2023九年级·全国·阶段练习）长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·河南洛阳·期末）中 ， ， .
【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）函数y＝(m＋2)＋2x－1(x≠0)，当m＝ 时，它是二次函数，当m＝ 时，它为一次函数．
【题型3】（2023九年级·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】（2023九年级·重庆·阶段练习）匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3】（2023九年级·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系
二次函数的性质：
（1）抛物线的顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴；
（2）函数的图像与a的符号关系：
①当a＞0时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当a＜0时抛物线开口向下顶点为其最高点；
（3）顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴，抛物线的解析式形式为(a≠0)
【考点1 二次函数y=ax2的图象】
【例1.1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空．
(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；
(2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________；
(3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________．
【例1.3】（2023九年级·山东济宁·阶段练习）如图，三个二次函数图象中，分别对应的是①；②；③，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（2023九年级·福建福州·期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1.2】（2023九年级·陕西西安·期末）抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，．
【变式1.3】（2023九年级·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
(1)则k的值为____；对称轴为_____．
(2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______．
(3)请画出该函数图象．
【考点2 二次函数y=ax2的性质】
【例2.1】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
【例2.2】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【例2.3】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为轴，经过原点，请写出一个满足条件的抛物线的解析式： ．
【变式2.1】（2023九年级·江苏徐州·阶段练习）若抛物线经过点，则它也经过（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】（2023九年级·广西梧州·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数图象开口向下
C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小
【变式2.3】（2023九年级·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·北京密云·期末）若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）.
【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上的两点，则．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2】（2023·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【题型3】（2023九年级·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是
1．（2023九年级·江苏苏州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九年级·浙江丽水·期末）若函数的图象经过点，则n的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2023九年级·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．5
4．（2023九年级·北京朝阳·期中）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九年级·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（ ）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023九年级·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
7．（2023九年级·四川自贡·阶段练习）已知x的二次函数，则写一个符合条件的m的值可能是 ．
8．（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y的最小值为 ．
9．（2023九年级·山东淄博·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①；②；③的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是 ．（按照要求只填写序号）
10．（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
11．（2023九年级·天津滨海新·阶段练习）若函数是二次函数．
(1)求k的值．
(2)当时，求y的值．
12．（2023九年级·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1）
（2）
（3）
（4）
13．（2023九年级·上海·假期作业）判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
14．（2023九年级·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
15．（2023九年级·福建南平·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题：
x … 0 1 2 3 …
y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …
(1)补齐上表；
(2)在所给坐标系内描出表格中的点；
(3)将上述各点用平滑曲线连线．
(4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ．
