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第09讲 二次函数y=ax +k、y=a(x-h) 的图象和性质
·模块一 y=ax +k的图象
·模块二 y=a（x-h） 的图象
·模块三 课后作业
二次函数 y=ax +k的图象与性质：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax +k a＞0 开口向上 x=0（y轴） (0, k) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 y=ax +k的图象】
【例1.1】（2023九年级·海南省直辖县级单位·期末）已知二次函数的图象如图所示，将其抛物线的表达式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据由图象得抛物线开口向下，排除C、D两个选项，由图象得抛物线顶点在y轴正半轴上，排除A选项，问题得解．
【详解】解：由图象得抛物线开口向下，故C、D两个选项不合题意，
由图象得抛物线顶点在y轴正半轴上，故A选项不合题意．
故选：B．
【例1.2】（2023九年级·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点．
(1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出；
… …
… …
(2)任意写出两条该函数图象具有的特征．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；
（2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可．
【详解】（1）解：列表如下：
… 0 1 2 …
… 0 0 …
函数图象如下所示：
（2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等．
【例1.3】（2023九年级·吉林长春·期末）当时，二次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：，
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式1.1】（2023九年级·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图像的形状与二次项系数的关系，熟悉二次项系数对图像形状的影响是解题关键．根据题意可知，两个二次函数的图像形状相同，那么它们的二次项系数相等，由此即可解题．
【详解】解：图像的形状与二次函数相同，
二次项系数为，
故选：A．
【变式1.2】（2023九年级·河南新乡·阶段练习）请写出一个二次函数关系式，满足以下两个条件：对称轴为y轴，顶点坐标不是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题是一道开放性试题，主要考查二次函数图像和性质与其系数的关系，对于任意二次函数，对称轴是y轴，则，顶点坐标直接让即可，答案不唯一．
【详解】解：由题可知，对称轴是y轴，则，顶点坐标不是，直接令；
即，；
故答案为：（答案不唯一）．
【变式1.3】（2023九年级·广东广州·阶段练习）已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)向下；y轴；；减小；
(3)
【分析】本题考查二次函数的基础知识点，
（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可；
（3）观察函数图象求解即可；
解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
【详解】（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函数图象如图所示：
（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小；
故答案为：向下；y轴；；减小；
（3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【考点2 y=ax +k的性质】
【例2.1】（2023九年级·河南焦作·期末）二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数（a，h，k为常数，a≠0） 的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(0，k)，对称轴是y轴．直接根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是．
故选：B．
【例2.2】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意；
B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意；
C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意；
D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
【例2.3】（2023·山西晋城·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】
解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是，
∴时，y随x的增大而减小，
又∵
∴，
故选：D．
【变式2.1】（2023九年级·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解．
【详解】∵，且，
∴，
∵y的最小值是5，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2.2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，
∴若图象经过点，则该图象必经过点，
故选：．
【变式2.3】（2023·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴，解得．
故答案为：．
【考点3 二次函数y=ax +k的平移】
【例3.1】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：平移后所得图象的函数表达式是：，
故答案为：．
【例3.2】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移．
【详解】由于选项D中二次项系数相同，则抛物线与抛物线能够互相平移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平移．
【例3.3】（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当__________时，函数有最__________值，是__________；
(3)当__________时，随的增大而增大；当__________时，随的增大而减小；
(4)该函数图象经过怎样的平移可以得到二次函数的图象？
【答案】(1)该函数图象的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为
(2)0，小，
(3)，
(4)见解析
【分析】（1），（2），（3）由于是二次函数，由此可以确定函数的图像的形状，根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性；
（4）根据左加右减，上加下减可得出答案．
【详解】（1）∵二次函数，，
∴该函数图象的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为．
（2）当时，函数有最小值，是；
（3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（4）函数向上平移5个单位长度得到
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与图像的平移． 掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【变式3.1】（2023九年级·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到．
【答案】(1)答案见解析
(2)上，3
【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可．
【详解】（1）解：如图所示，
，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：
，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：；
（2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同，
相当于向上平移3个单位得到．
故答案为：上；．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键．
【变式3.2】（2023九年级·河北沧州·期中）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【答案】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【变式3.3】（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
(2)若点，在该二次函数的图象上，且，试比较与的大小；
(3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
【答案】(1)它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，，没有最小值
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标以及最值；
（2）首先判定出二次函数的增减性，然后根据求解即可；
（3）根据二次函数的平移规律求解即可．
【详解】（1）∵，
∴它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，
当时，，没有最小值．
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
故当时，．
（3）抛物线可以由抛物线平移得到，其平移方法是将抛物线向下平移6个单位长度．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围．
【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限，
抛物线开口向下，
，
解得：，
故答案：．
【题型2】（2023九年级·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ．
【答案】3
【分析】根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为y轴，所以函数值相等，则自变量互为相反数，然后计算自变量为0时的函数值即可．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等，
∴，
∴当时，．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
【题型3】（2023九年级·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴或，
当时，，，
∴，
∴，
∴，
当时，，；
∴，
∴，
∴；
综上：；
故选B．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023九年级·河南周口·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据顶点坐标是，设出函数解析式：，再根据形状与开口方向都与抛物线相同，，即可得解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，设抛物线的解析式为，
该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同，是解题的关键．
【题型2】（2023·浙江杭州·一模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解．
【详解】解：二次函数．
开口向上，对称轴为，
当时，随增大而增大．
．
．即是的一次函数．
，
一次函数上升趋势．
．
有最小值，没有最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．
【题型3】（2023·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围．
【详解】解：令，整理得，
解得，，
直线与抛物线的交点的横坐标为5，0，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
把代入，
解得，
若，，则，，
，
故选：A．
二次函数 y=a（x-h) 的图象与性质
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=a（x-h) a＞0 开口向上 x=h (h, 0) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 y=a（x-h） 的图象】
【例1.1】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【答案】图形见解析，抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0).
【详解】利用描点法可画出这三个函数的图象，分别由图象可得出对称轴及顶点坐标．
解：函数图象如图所示：
抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).
抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
【例1.2】（2023九年级·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线
C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：对于，
∵，故抛物线开口向上，故A错误；
对称轴为直线，故B正确；
该函数有最小值，最小值是0，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：B．
【例1.3】（2023九年级·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
【答案】（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0．
【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小；
当时，，即当时，y有最大值，最大值为0，
故答案为：；1；大；0．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【变式1.1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】抛物线y＝－3（x＋2）2经过的象限是第三、四象限，不经过第一、二象限.
【变式1.2】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与x轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标在x轴上，顶点坐标为．
【变式1.3】（2023九年级·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据得到顶点是，结合图像即可得到坐标原点；
【详解】解：∵，
∴二次函数顶点是，
由图像可得，顶点在上，
∴点是标原点，
故选C；
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握的顶点是．
【考点2 y=a（x-h） 的性质】
【例2.1】（2023九年级·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质．
1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小；
3：该函数的形状与函数的图象相同
甲同学写出几个二次函数表达式：
①②③④
请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大；
开口向上，但与的图象形状相同；
②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小；
开口向上，与的图象形状相同；
③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小；
开口向上，与的图象形状相同；
④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小；
开口向上，与的图象的形状相同；
所以，符合上述3个性质的是②④，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质．
【例2.2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为，
在对称轴右侧，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
【例2.3】（2023九年级·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性．
【变式2.1】（2023九年级·河南洛阳·期末）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2.2】（2023九年级·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式；
【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为，
根据C的描述可知，则，
再结合B的描述可得出，且，
所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是，
故答案为： (答案不唯一)．
【变式2.3】（2023九年级·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【考点3 二次函数y=a（x-h） 的图象的平移】
【例3.1】（2023·河南信阳·一模）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”解答即可，
本题考查二次函数图象的平移．掌握其平移的规律“上加下减，左加右减”是解题关键．
【详解】解：把函数的图象向右平移1个单位长度后图象的函数解析式为：，
故选：．
【例3.2】（2023九年级·湖北黄石·阶段练习）将抛物线向 平移3个单位长度后经过原点．
【答案】右
【分析】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征进而得出答案．
【详解】解：设向右平移后解析式为： （a为平移的单位，），
代入得，，
解得：，
故答案为：右．
【变式3.1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线．
【答案】 右 左
【解析】若h＞0，抛物线向右平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向左平移|h|个单位就得到抛物线．
【变式3.2】（2023九年级·江苏·专题练习）已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应的的值即可．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，
当对称轴在点P左侧时，，
把P（3，1）代入得，
解得或(舍去)，
当对称轴在点P右侧时，，
把Q（9，1），代入得，
解得或(舍去)，
∴当时，抛物线与线段PQ有交点，
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键．
【题型2】（2023九年级·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是．
（1）当时，函数的最大值是 ；
（2）若函数的最大值为，则h的值是 ．
【答案】 0 6或1/1或6
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
（1）根据顶点式可直接得出答案；
（2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可．
【详解】解：（1）当时，二次函数为，
∴当时，函数有最大值为0，
故答案为：0；
（2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，
∴若，则当时，y最大，即，
解得（舍去），；
若，则当时，y最大，即，
解得，（舍去）；
若，则最大值为0，与题意不符；
综上，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
【题型3】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023九年级·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
【答案】24
【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．
【详解】抛物线的对称轴是
过点作于点，如下图所示
则，则
则以为边的等边的周长为．
故答案为24．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．
【题型2】（2023九年级·山东德州·阶段练习）已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
【答案】1或6/6或1
【分析】分、和三种情况考虑：当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；当时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：，（舍去）；
当时，的最大值为0，不符合题意；
当时，有，
解得：（舍去），．
综上所述：的值为1或6．
故答案为：1或6．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分、和三种情况求出值是解题的关键．
【题型3】（2023·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于，两点．若，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可．
【详解】解：与轴只有一个交点，
，对称轴为直线，
抛物线与平行于轴的直线交于，两点，
，两点的纵坐标相同，设为，
则时，，
解得：，
点A的横坐标是，点的横坐标是，
，
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性．解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握．
1．（2023九年级·湖南邵阳·阶段练习）关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意；
B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意；
C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意；
D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．
2．（2023九年级·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是( )
A．轴 B．轴 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线，
即对称轴是y轴，
故选：A．
3．（2023·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．
【详解】解：二次函数，
，
函数图象开口向下，对称轴为，
时，函数值随自变量的增大而减小，
故选：A．
4．（2023·河南新乡·一模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
根据函数解析式得出图象开口向上，对称轴为y轴，结合，即可解答．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∵，，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∵，
∴，
故选：A．
5．（2023九年级·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，若开口向上，则；反之，．对称轴为轴；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解．
【详解】解：若，则图象开口向上，对称轴为轴，与轴交点在轴上方，故A满足题意；
若，则图象开口向下，对称轴为轴，与轴交点在轴下方；
故选：A．
6．（2023九年级·上海奉贤·期末）已知抛物线在对称轴左侧部分是的 ．（填“上升”或“下降”）
【答案】上升
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴是直线y轴，
∴在对称轴左侧部分是上升的．
故答案为：上升．
7．（2023九年级·山东烟台·期末）已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ．
【答案】或5
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运用．
由解析式可知函数在时取得最小值，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当时，时，y取得最小值3，②当时，当时，y取得最小值3，分别列出关于h的方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间，
①当时，
∴当时，取得最小值，
∴，
∴或（舍去），
②当时，
∴当时，取得最小值，
∴，
∴或（舍去），
综上可得，或5．
故答案为：或5．
8．（2023九年级·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得，
【详解】解：设二次函数表达式为，
二次函数的图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
符合上述条件的二次函数表达式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2023九年级·江苏南通·阶段练习）已知点，在抛物线上，则的值为 ．
【答案】
【分析】将点坐标代入即可．
【详解】解：因为点在抛物线的图象上，
所以．
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
10．（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ．
【答案】9
【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【详解】解：∵为14，
∴令，
解得，
∴，
∴ ，
故答案为：9
11．（2023九年级·甘肃平凉·期中）抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴．
【答案】(1)
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1；
（2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴．
【详解】（1）解：把（1，-1）代入得=-1，
解得；
（2）∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，对称轴为直线．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．
12．（2023九年级·广东广州·期末）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
13．（2023九年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象；
(2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】(1)，图见解析
(2)1
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移：
（1）待定系数法求出函数解析式，列表描点，连线画出函数图象即可；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点时，此时公共点为顶点坐标，即新的抛物线的顶点的纵坐标为0，进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
∴，
∴；
列表如下：
1 2 3 4 5
7 1 1 7
描点，连线画出函数图象如图：
（2）∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的抛物线与轴只有一个公共点，
∴只需向上平移1个单位，顶点变为，此时满足题意．
故答案为：1．
14．（2023九年级·全国·专题练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【答案】的面积为12，周长为
【分析】令，求出的值，令，求出的值，即可得出A、B两点的坐标，从而得出、的长度，由勾股定理得出的长度，由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案．
【详解】∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，，
解得：，
令，，
，，
，，
由勾股定理得：
，
．
的面积为12，周长为．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特点，熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
15．（2023九年级·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
【答案】(1)5，3
(2)-2或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
当时，新函数值为，当时，新函数值为，
故答案为：，；
（2）解：观察图象可得：
当或时，新函数有最小值为，
故答案为：或；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或；
故答案为：或；
（4）解：观察图象可得：
直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第09讲 二次函数y=ax +k、y=a(x-h) 的图象和性质
·模块一 y=ax +k的图象
·模块二 y=a（x-h） 的图象
·模块三 课后作业
二次函数 y=ax +k的图象与性质：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax +k a＞0 开口向上 x=0（y轴） (0, k) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 y=ax +k的图象】
【例1.1】（2023九年级·海南省直辖县级单位·期末）已知二次函数的图象如图所示，将其抛物线的表达式可能为（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023九年级·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点．
(1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出；
… …
… …
(2)任意写出两条该函数图象具有的特征．
【例1.3】（2023九年级·吉林长春·期末）当时，二次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式1.1】（2023九年级·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023九年级·河南新乡·阶段练习）请写出一个二次函数关系式，满足以下两个条件：对称轴为y轴，顶点坐标不是 .
【变式1.3】（2023九年级·广东广州·阶段练习）已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
【考点2 y=ax +k的性质】
【例2.1】（2023九年级·河南焦作·期末）二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2.3】（2023·山西晋城·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】（2023九年级·山东烟台·期末）对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A． B． C．5 D．
【变式2.2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式2.3】（2023·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
【考点3 二次函数y=ax +k的平移】
【例3.1】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是 ．
【例3.2】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【例3.3】（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当__________时，函数有最__________值，是__________；
(3)当__________时，随的增大而增大；当__________时，随的增大而减小；
(4)该函数图象经过怎样的平移可以得到二次函数的图象？
【变式3.1】（2023九年级·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到．
【变式3.2】（2023九年级·河北沧州·期中）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【变式3.3】（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
(2)若点，在该二次函数的图象上，且，试比较与的大小；
(3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
【题型2】（2023九年级·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ．
【题型3】（2023九年级·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023九年级·河南周口·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ．
【题型2】（2023·浙江杭州·一模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【题型3】（2023·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
二次函数 y=a（x-h) 的图象与性质
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=a（x-h) a＞0 开口向上 x=h (h, 0) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 y=a（x-h） 的图象】
【例1.1】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【例1.2】（2023九年级·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线
C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小
【例1.3】（2023九年级·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
【变式1.1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
【变式1.2】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与x轴的交点坐标为 ．
【变式1.3】（2023九年级·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点 C．点 D．点
【考点2 y=a（x-h） 的性质】
【例2.1】（2023九年级·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质．
1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小；
3：该函数的形状与函数的图象相同
甲同学写出几个二次函数表达式：
①②③④
请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ．
【例2.2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023九年级·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】（2023九年级·河南洛阳·期末）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【变式2.2】（2023九年级·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【变式2.3】（2023九年级·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【考点3 二次函数y=a（x-h） 的图象的平移】
【例3.1】（2023·河南信阳·一模）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（2023九年级·湖北黄石·阶段练习）将抛物线向 平移3个单位长度后经过原点．
【变式3.1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线．
【变式3.2】（2023九年级·江苏·专题练习）已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是 ．
【题型2】（2023九年级·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是．
（1）当时，函数的最大值是 ；
（2）若函数的最大值为，则h的值是 ．
【题型3】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023九年级·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
【题型2】（2023九年级·山东德州·阶段练习）已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
【题型3】（2023·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于，两点．若，则点到直线的距离为 ．
1．（2023九年级·湖南邵阳·阶段练习）关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
2．（2023九年级·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是( )
A．轴 B．轴 C．直线 D．直线
3．（2023·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南新乡·一模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2023九年级·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九年级·上海奉贤·期末）已知抛物线在对称轴左侧部分是的 ．（填“上升”或“下降”）
7．（2023九年级·山东烟台·期末）已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ．
8．（2023九年级·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式： ．
9．（2023九年级·江苏南通·阶段练习）已知点，在抛物线上，则的值为 ．
10．（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ．
11．（2023九年级·甘肃平凉·期中）抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴．
12．（2023九年级·广东广州·期末）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
13．（2023九年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象；
(2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
14．（2023九年级·全国·专题练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
15．（2023九年级·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
