中小学教育资源及组卷应用平台
第10讲 二次函数y=a(x-h) +k、y=ax +bx+c的图象和性质
·模块一 y=a（x-h） +k的图象和性质
·模块二 y=ax +bx+c的图象和性质
·模块三 课后作业
二次函数 y=a（x-h) +k的图象与性质：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=a（x-h) +k a＞0 开口向上 x=h (h, k) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 y=a（x-h） +k的图象】
【例1.1】（2023·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．与轴交于点
C．与轴没有交点
D．当时，随的增大而减小
【例1.2】（2023九年级·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【例1.3】（2023·浙江金华·三模）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式1.1】（2023九年级·河南洛阳·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，下列说法错误的是（ ）
A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大
C．图象的对称轴为直线 D．
【变式1.2】（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________．
(2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象．
(3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________．
(4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”）
【变式1.3】（2023九年级·山东威海·期末）如图，抛物线与交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为 ．
【考点2 y=a（x-h） +k的性质】
【例2.1】（2023九年级·安徽六安·期中）已知某抛物线与二次函数的图像的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（2023·江苏淮安·二模）若抛物线过点，，则的值不可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【例2.3】（2023·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）．
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【变式2.1】（2023九年级·吉林白城·阶段练习）顶点为，且开口方向、形状与函数的图像相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】（2023九年级·山东威海·期末）下列二次函数中最大值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】（2023·四川绵阳·一模）已知：二次函数的图像上有三个点，则的大小关系是 ．
【考点3 二次函数y=a（x-h） +k图象的平移】
【例3.1】（2023九年级·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B．
C． D．
【例3.2】（2023九年级·福建厦门·期中）抛物线y=2(x－1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x=－3 B．x=－1 C．x=－2 D．x=4
【例3.3】（2023九年级·辽宁抚顺·阶段练习）二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．
（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；
（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果）
【变式3.1】（2023·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．
【变式3.2】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是( )
A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平格6个单位，再向下平移3个单位
【变式3.3】（2023·陕西西安·二模）若抛物线与轴两个交点之间的距离为2，抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·江苏盐城·期中）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是 .
【题型2】（2023·山东临沂·二模）已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（ ）
A．3 B．5 C．2023 D．2024
【题型3】（2023九年级·全国·专题练习）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ．
【题型2】（2023九年级·湖北武汉·期中）已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ．
【题型3】（2023九年级·河北邯郸·期中）如图，在正方形中，已知点，点，
（1）点的坐标为 ．
（2）当二次函数与正方形有公共点时，的最小值为 ．
二次函数 y=ax +bx+c的图象与性质：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax +bx+c a＞0 开口向上 x=- (-, ) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 二次函数y=ax +bx+c的图象的平移】
【例1.1】（2023九年级·湖北荆州·阶段练习）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，） B．（5，0） C．（，） D．（，0）
【例1.2】（2023九年级·湖南常德·期中）将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线的最小值为1，则的值为 ．
【例1.3】（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
【变式1.1】（2023九年级·山西吕梁·阶段练习）二次函数的图象上有一点，若将该二次函数图象平移后所得的二次函数表达式为，则点A经过该次平移后的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系经中，将二次函数的图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023九年级·江苏·专题练习）已知二次函数y＝﹣x2+x+4．
(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)x为何值时，y有最值？
(3)在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线y＝﹣x2怎样平移得到的？
(4)根据图象回答，x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0？
(5)根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
【考点2 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质】
【例2.1】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴的交点坐标分别为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例2.2】（2023·湖北宜昌·模拟预测）已知两个二次函数，的图象如图所示，那么函数（，，为常数）的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【例2.3】（2023九年级·湖南郴州·期中）已知点和点N都在抛物线上，如果轴，则线段的长度为 ．
【变式2.1】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
【变式2.2】（2023·陕西渭南·模拟预测）已知在二次函数中，y与x的部分对应值如下表．
… 0 3 6 …
… 28 18 14 4 6 14 …
当x的取值范围是时，y的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．18 D．28
【变式2.3】（2023·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ．
【考点3 二次函数y=ax +bx+c的图象与系数的关系】
【例3.1】（2023·江苏泰州·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例3.2】（2023九年级·湖南娄底·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3.3】（2023九年级·浙江台州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，；；；④若，则； ；正确的
【变式3.1】（2023九年级·云南昆明·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，下列结论：
①；②；③；④若，是该函数图象上两点，则．正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【变式3.2】（2023九年级·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有 ．
【变式3.3】（2023九年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，
①；
②；
③若点在此抛物线上且，则或．
④若点在此抛物线上，则；
所有正确结论的序号是 ．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】（2023九年级·山东济南·期末）已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】（2023·江苏扬州·模拟预测）已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·浙江杭州·二模）已知，是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【题型2】（2023·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】（2023·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小
C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是
2．（2023·湖北宜昌·模拟预测）已知二次函数的图象上有，两点，则当时，二次函数y的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．（2023·内蒙古赤峰·一模）若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．，则 D．若，则
5．（2023九年级·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023九年级·吉林四平·阶段练习）若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
7．（2023·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式）
8．（2023·浙江温州·二模）已知关于x的二次函数，该函数的最大值为 ．
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是 ．
10．（2023·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．
（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ．
11．（2023九年级·广东湛江·期末）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
12．（2023九年级·天津武清·阶段练习）已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；
(2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积．
13．（2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值．
14．（2023九年级·北京通州·期中）已知二次函数在和时的函数值相等．
(1)求二次函数图像的对称轴；
(2)过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值．
15．（2023·江苏常州·二模）已知二次函数．
(1)若该二次函数的最大值为，求m的值；
(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第10讲 二次函数y=a(x-h) +k、y=ax +bx+c的图象和性质
·模块一 y=a（x-h） +k的图象和性质
·模块二 y=ax +bx+c的图象和性质
·模块三 课后作业
二次函数 y=a（x-h) +k的图象与性质：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=a（x-h) +k a＞0 开口向上 x=h (h, k) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 y=a（x-h） +k的图象】
【例1.1】（2023·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．与轴交于点
C．与轴没有交点
D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像与性质即可得出答案．
【详解】解：A．对称轴为直线，原说法错误，故该选项不符合题意；
B．另，，与轴交于点，原说法错误，故该选项不符合题意；
C．当时，即，化为，且，方程两个不相等的实数根，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项不符合题意；
D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，说法正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【例1.2】（2023九年级·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据抛物线顶点坐标的位置求得，，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
【详解】解：由题意可知，二次函数的图象的顶点坐标为，
由图象可知，此拋物线的顶点在第四象限，
∴，，
∴，，
∴一次函数的图象必经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限，
故选：C．
【例1.3】（2023·浙江金华·三模）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为：，
∴顶点坐标在第四象限，
∴原点在函数顶点的左上方，
由图可知，坐标原点只可能是点；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
【变式1.1】（2023九年级·河南洛阳·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，下列说法错误的是（ ）
A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大
C．图象的对称轴为直线 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：A．图像与x轴交于、B，关于对称，所以，说法正确，但不符合题意；
B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，但符合题意；
C．由抛物线的解析式可知对称轴，说法正确，但不符合题意；
D．根据函数图象可知，函数图象与y轴交于正半轴，即当时，，
∴，说法正确，但不符合题意．
故选：B．
【变式1.2】（2023九年级·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________．
(2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象．
(3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________．
(4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】(1)向下，，，，，
(2)见解析
(3)
(4)<
【分析】（1）根据，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，令，即，进行计算即可得；
（2）根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点连线即可得；
（3）根据图象，当时，的取值范围是，即可得；
（4）根据点在轴下方，而在轴上方，即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
令，即，
解得或，
故函数图象与轴的交点坐标为，，
令，则，
故与轴的交点坐标为；
故答案为：向下，，，，，；
（2）解：根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点作出函数图象：
（3）解：根据图象，当时，的取值范围是，
故答案为：．
（4）解：∵点在轴下方，而在轴上方，
∴．
故答案为：<．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
【变式1.3】（2023九年级·山东威海·期末）如图，抛物线与交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．设抛物线的对称轴与线段交于点，抛物线的对称轴与线段交于点，由抛物线的对称性结合，即可求出结论．
【详解】解：设抛物线的对称轴为直线与线段交于点，抛物线的对称轴为直线与线段交于点，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：，，
．
故答案为：6．
【考点2 y=a（x-h） +k的性质】
【例2.1】（2023九年级·安徽六安·期中）已知某抛物线与二次函数的图像的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为的知识即可求解．
【详解】解：∵某抛物线与二次函数的图像的开口大小相同，开口方向相反，
∴某抛物线的二次项系数为，
∵顶点坐标为，
∴该抛物线的解析为：，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握其图形大小，开口，顶点的计算方法是解题的关键．
【例2.2】（2023·江苏淮安·二模）若抛物线过点，，则的值不可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．把点和点坐标分别代入解析式得到方程组，消去得到可解得，然后利用得到的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
【详解】解：把、分别代入得，
②①得，
解得，
所以，
所以的值不可以是4．
故选：D．
【例2.3】（2023·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）．
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
【变式2.1】（2023九年级·吉林白城·阶段练习）顶点为，且开口方向、形状与函数的图像相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据顶点式解析式，系数a的几何意义处理．
【详解】解：∵开口方向、形状与函数的图像相同，
∴抛物线解析式二次项系数为；
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数解析式；理解二次函数解析——顶点式，系数a的几何意义是解题的关键．
【变式2.2】（2023九年级·山东威海·期末）下列二次函数中最大值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答．
【详解】解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意；
B、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意；
C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意；
D、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意；
故选：B．
【变式2.3】（2023·四川绵阳·一模）已知：二次函数的图像上有三个点，则的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】
本题考查二次函数的增减性：当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，根据得到抛物线的开口朝上，根据图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．
【详解】解，∵，对称轴为，
∴函数的图像开口向上，
∵关于对称轴的对称点为，且，
∴，
故答案为：．
【考点3 二次函数y=a（x-h） +k图象的平移】
【例3.1】（2023九年级·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即；
故选：D．
【例3.2】（2023九年级·福建厦门·期中）抛物线y=2(x－1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x=－3 B．x=－1 C．x=－2 D．x=4
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．
【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为，即，
则此时抛物线的对称轴是直线，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．
【例3.3】（2023九年级·辽宁抚顺·阶段练习）二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．
（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；
（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果）
【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2
【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0；
（3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系．
【详解】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）平移后的函数图象如图所示，
当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3，
即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；
（3）由图象可得，
A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”.
【变式3.1】（2023·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．
【答案】y＝2（x+3）2+1
【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．
故答案为y＝2（x+3）2+1
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式3.2】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是( )
A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平格6个单位，再向下平移3个单位
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可
【详解】由题意得：
由抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律,掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．
【变式3.3】（2023·陕西西安·二模）若抛物线与轴两个交点之间的距离为2，抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论.
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点(0，0)、(2，0)，
∴该抛物线解析式为
将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为：
=
当x=-2时，=-3
∴得到的新抛物线过点
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数与几何变换，解题关键是求出抛物线的顶点坐标.
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·江苏盐城·期中）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是 .
【答案】，
【分析】根据对称轴是直线x=2，与x轴的两个交点距离为6，可求出与x轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0）；再根据顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵对称轴是直线x=2，与x轴的两个交点距离为6，
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0），
设顶点坐标为（2，y），
∵顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，
∴，
∴y=3或y=-3，
∴顶点坐标为（2，3）或（2，-3），
设函数解析式为y=a（x-2）2+3或y=a（x-2）2-3；
把点（5，0）代入y=a（x-2）2+3得a=-；
把点（5，0）代入y=a（x-2）2-3得a=；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=-（x-2）2+3或y=（x-2）2-3．
故答案为：，.
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是理解题意，采用待定系数法求解析式，若给了顶点，注意采用顶点式简单．
【题型2】（2023·山东临沂·二模）已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（ ）
A．3 B．5 C．2023 D．2024
【答案】A
【分析】该题主要考查了点坐标规律，二次函数图象与性质，解题的关键是确定的解析式．
根据规律确定的顶点坐标是，再根据轴于点，确定点，再代入的解析式即可求解；
【详解】解：根据题意可得：的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
的顶点坐标是，
观察这列抛物线的顶点坐标，
由规律可知的顶点坐标是，
∴抛物线的解析式是，
，
，
轴于点，
，
把点的坐标代入到的解析式得：，
解得：；
故选：A．
【题型3】（2023九年级·全国·专题练习）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．求出二次函数对称轴为直线，再分三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，
二次函数对称轴为直线，
①时，取得最大值，，
解得，不合题意，舍去；
②时，取得最大值，，
解得，
∵不满足的范围，
∴；
③时，取得最大值，，
解得．
综上所述，或时，二次函数有最大值4．
故答案为：2或．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．设，则，由的面积为2，得出，即可根据抛物线的对称性得出，，把代入解析式即可求得，进一步得到．
【详解】解：设，
，
，
，
点，的面积为2，
，
，
，，
抛物线为，
把代入得，，
解得，
，
故答案为：2．
【题型2】（2023九年级·湖北武汉·期中）已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ．
【答案】1或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，
当时，则当时，y有最小值，
∴，
∴，
解得或，都不符合题意；
当时，则当时，y有最小值，
∴，
∴，
解得（舍去）
当时，则函数在或处取得最小值，
当时，在处取得最小值，此时或（舍去）；
当时，在处取得最小值，此时或（舍去）；
综上所述，或，
故答案为：1或．
【题型3】（2023九年级·河北邯郸·期中）如图，在正方形中，已知点，点，
（1）点的坐标为 ．
（2）当二次函数与正方形有公共点时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质以及图象上点的坐标特征，
（1）根据正方形与坐标的关系解答即可；
（2）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得抛物线顶点所在直线方程，再由抛物线开口向上可得抛物线经过点时满足题意．
解题关键是准确的分析出图形中的点与坐标的关系．
【详解】解：（1）∵在正方形中，已知点，点，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为；
故答案为：；
（2），
抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上，
如图，当抛物线顶点在轴左侧，抛物线经过时，的值最小．
把代入得，
解得（舍或，
故答案为：．
二次函数 y=ax +bx+c的图象与性质：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax +bx+c a＞0 开口向上 x=- (-, ) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 二次函数y=ax +bx+c的图象的平移】
【例1.1】（2023九年级·湖北荆州·阶段练习）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，） B．（5，0） C．（，） D．（，0）
【答案】C
【分析】先得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），则把点（2，﹣2）向左平移3个单位，再向下平移2个单位后得到（﹣1，﹣4）．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为（2，﹣2），
∴把点（2，﹣2），向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到（﹣1，﹣4），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）的平移是解决问题的关键．
【例1.2】（2023九年级·湖南常德·期中）将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线的最小值为1，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的平移以及二次函数的性质，设经过平移后新抛物线的解析式为，配方为顶点式，得出最小值为，结合题意，即可求解．
【详解】解：设经过平移后新抛物线的解析式为，
∵
抛物线开口向上，最小值为
∵新抛物线的最小值为1，
∴
解得：
故答案为：．
【例1.3】（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
【答案】D
【分析】先将抛物线y=x2+2x+3化为顶点式,找出顶点坐标,利用平移的特点即可求出新的抛物线,可求得与直线y=3的交点坐标.
【详解】解:抛物线y= x2+2x+3=,顶点坐标(-1,2),再向下平移3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解析式为y=，
当y=3时候，即:=3，得：，
解得：x=1或x=-3，
抛物线与直线y=3的交点坐标为（1，3）或（-3，3），
故选D.
【点睛】本题主要考查抛物线平移的规律与性质, 关键是得到所求抛物线顶点坐标,利用平移的规律解答.
【变式1.1】（2023九年级·山西吕梁·阶段练习）二次函数的图象上有一点，若将该二次函数图象平移后所得的二次函数表达式为，则点A经过该次平移后的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据平移前后的二次函数的解析式找到函数图象的平移规律，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线是由先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到的，
∴点向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即．
故选：A．
【变式1.2】（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系经中，将二次函数的图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据平移不改变抛物线的形状，可得，进而将点代入得出，根据题意，得出，即可求解．
【详解】∵，平移后的解析式为
将点代入上式得：，
解得：，
∵当时，随的增大而减小，
故，
∴；
故选：D．
【变式1.3】（2023九年级·江苏·专题练习）已知二次函数y＝﹣x2+x+4．
(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)x为何值时，y有最值？
(3)在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线y＝﹣x2怎样平移得到的？
(4)根据图象回答，x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0？
(5)根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
【答案】(1)开口方向向下、顶点坐标，对称轴为直线；
(2)当x＝1时，y有最大值，最大值为；
(3)图见解析，向右平移1个单位，向上平移个单位
(4)见详解
(5)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）把二次函数化成顶点式即可求解；
（2）根据二次函数的顶点式即可求解；
（3）画出二次函数的图像，进而即可得到平移方式；
（4）线求出函数图像与x轴的交点坐标，进而即可求解；
（5）根据抛物线的开口方向和对称轴，就可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线的开口方向向下、顶点坐标，对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为；
（3）解：如图所示：
向右平移1个单位，向上平移个单位即可得到：；
（4）解：由得：，
∴当或时，，
当或4，，
当时，；
（5）解：由函数图像可知：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，把二次函数化为顶点式，画出二次函数图像时关键．
【考点2 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质】
【例2.1】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴的交点坐标分别为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
由抛物线与轴的交点得出对称轴为直线，即可解答．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
故选：B．
【例2.2】（2023·湖北宜昌·模拟预测）已知两个二次函数，的图象如图所示，那么函数（，，为常数）的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象和性质可得，得到，进而得到函数为二次函数，开口向下，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由函数图象可得，，
∴，
∴函数为二次函数，开口向下，
故选：．
【例2.3】（2023九年级·湖南郴州·期中）已知点和点N都在抛物线上，如果轴，则线段的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程的知识，根据轴，得出，是解答本题的关键．
首先求出抛物线解析式为，根据轴，可得，令，求出，进而求解即可．
【详解】将代入抛物线中，可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：，
∵轴，，
∴，
当时，，
解得：或，
即，
∴的长度为．
故答案为：4．
【变式2.1】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题．
【详解】解：由二次函数的表达式为可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数取得最小值，且，
则当时，，
当时，，
∴在中，函数的最大值为，
故答案为：．
【变式2.2】（2023·陕西渭南·模拟预测）已知在二次函数中，y与x的部分对应值如下表．
… 0 3 6 …
… 28 18 14 4 6 14 …
当x的取值范围是时，y的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．18 D．28
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的性质，找出时，的最大值．
利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，即可求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当及时的值，即可找出时，的最大值．
【详解】解：将，，代入，得：
，
解得：，
二次函数的表达式为，
二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，；
当时，．
时，的最大值是6．
故选：B．
【变式2.3】（2023·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线，
抛物线开口向上，与轴的交点为，
抛物线经过，，三点，
对称轴为直线，
，
或，
解得或．
故的取值范围是或．
故答案为：或．
【考点3 二次函数y=ax +bx+c的图象与系数的关系】
【例3.1】（2023·江苏泰州·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断二次函数系数的正负，根据图象可得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，由此即可得出答案．
【详解】解：由图可得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
，，，
，
故选：B．
【例3.2】（2023九年级·湖南娄底·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，最值判断④即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误，②正确；
∵；故③正确；
∵当时，最大为，
∴，
∴，故④错误；
故选B．
【例3.3】（2023九年级·浙江台州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，；；；④若，则； ；正确的
【答案】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①因为抛物线开口向上，可知，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此，所以，故①符合题意；
②抛物线和x轴有两个交点，故，故②正确，符合题意；
③当时，，故③错误，不符合题意；
④因为对称轴介于与0之间，因此，得，而，∴，因此④正确，符合题意；
⑤当时，，又∵，∴，∴，故⑤正确，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握函数的图象与系数的关系、二次函数与方程之间的转换，根的判别式是解题的关键．
【变式3.1】（2023九年级·云南昆明·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，下列结论：
①；②；③；④若，是该函数图象上两点，则．正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及对称性逐个进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上得，
对称轴在轴的右侧，、异号，
因此，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
因此，
所以，
因此①符合题意；
由，可知，
所以，
因此②不符合题意；
由对称轴和抛物线的对称性，可得当时，，
即，故③符合题意；
由对称轴和抛物线的对称性，可得，是该函数图象上两点，
则．因此④符合题意；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
【变式3.2】（2023九年级·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有 ．
【答案】②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的一个交点坐标为，再根据二次函数的图象可对④进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，所以①错误，
，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等，所以②正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
当时，，所以④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用图象进行分析，得到相应系数的符号．
【变式3.3】（2023九年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，
①；
②；
③若点在此抛物线上且，则或．
④若点在此抛物线上，则；
所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴为，
∴；故①错误；
∵抛物线的开口向下，
∴；故②正确；
∵，当时，，
∴图象过，
∵对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为：，
∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∵点在此抛物线上且，
∴或；故③正确；
∵点在此抛物线上，
∴点关于对称轴的对称点为：，
由图象可知：当时，；故④正确；
故答案为：②③④．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象与上点的坐标特征，二次函数图象与与系数的关可，求得抛物线的对称轴是轴是解题的关键．
由题意可知抛物线与轴的交点为和，则抛物线的对称轴为轴，即可求得．
【详解】∵将抛物线向左平移1个单位或向右平移3个单位后都经过点，
∴抛物线经过点和，
，
，
故选：D．
【题型2】（2023九年级·山东济南·期末）已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
由，可知函数的最小值为，当时，最大值为1，对应的y的整数值有6个，则，解得即可．
【详解】
，
，
抛物线的顶点坐标为，
当或时，，
当时，y有最小值为，
∵，
∴当时，的最大值为1，
，当时，对应的y的整数值有6个，
这6个整数值为：1、0、、、、，
解得：
故选：D．
【题型3】（2023·江苏扬州·模拟预测）已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识，先求出抛物线的对称轴，判断和关于对称轴对称，从而得到和的关系，再代入，求出的取值范围，再将代入抛物线的解析式，等到关于m和的二次函数关系式，即可求得答案．
【详解】解：∵抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为，
∵和的函数值相等，
∴和关于抛物线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入，
有，变形得，
当时，m最大，，
当时，m最小，，
∴m的取值范围为，
故选：B．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·浙江杭州·二模）已知，是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，得到当时，在对称轴的两侧，二次函数的函数值的范围为：，判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，是函数与图象两个交点的横坐标，
∴两个交点为，，
当时，随着的增大而增大，在对称轴的两侧，
∴，
∴当时，二次函数的函数值的范围为：，
∴当时，；
当时，可能大于，等于或小于；
故选D．
【题型2】（2023·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
图象开口向上，对称轴为直线
∵对称轴为直线，
∴
，
∴
，
当时，函数的最小值是时所对应的函数值，
且为
函数的最大值是时所对应的函数值，
∴，
∴，代入，得
故选：C．
【题型3】（2023·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由二次函数的图象与轴交于两点，得对称轴为直线，从而得，故①正确，当时，，进而得，，故②错误；先求得点，当时，，，当时，，，从而得的值有个，故③正确；由二次函数，得顶点，进而得，再分类讨论即可得解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点，
对称轴为直线，
，
，
故①正确，
当时，，
，
，
，
故②错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有个，
故③正确；
二次函数，
顶点，
，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，
的值有个，
故④错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小
C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：对于二次函数的图象，
∵，对称轴为直线，顶点为，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐标是，
故选项A、C、D错误，选项B正确．
故选：B
2．（2023·湖北宜昌·模拟预测）已知二次函数的图象上有，两点，则当时，二次函数y的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征．根据题意得出，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．
【详解】解：二次函数的图象上有两点和，
、是方程的两个根，
，
当时，
二次函数
．
故答案为：C．
3．（2023·内蒙古赤峰·一模）若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，直线经过一、二、四象限可判断的符号，再由抛物线求顶点坐标，判断象限，即可求解；熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：直线经过一、二、四象限，
∴，
∴抛物线的顶点必在第二象限，
故选：．
4．（2023·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．，则 D．若，则
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可．
【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误；
B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确；
C、根据函数图像可得当，则，故C错误；
D、根据函数的对称性得：，则，故D错误；
故选：B．
5．（2023九年级·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据图象可判断①，根据抛物线的对称轴判断②，根据图象与性质判断③④．
【详解】解：抛物线开口向下， ，
对称轴在轴右侧， ，
抛物线与轴交于正半轴， ，
，故①正确；
， ，
，故②正确；
对称轴是直线，其中一个点的坐标为，
，
， ，故③正确；
当、同在对称轴左侧时，
，在对称轴左侧，随增大而增大，
， ，
当、同在对称轴右侧时，
，在对称轴右侧，随增大而减小，
， ，故④错误．
故选：C．
6．（2023九年级·吉林四平·阶段练习）若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，根据抛物线与图象的形状相同且开口向下得到这条抛物线的二次项系数为，再根据顶点坐标即可得到对应的解析式．
【详解】解：∵一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，
∴这条抛物线的二次项系数为，
又∵这条抛物线的顶点坐标为，
∴这条抛物线的解析式为，
故答案为：．
7．（2023·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，可得该抛物线的顶点坐标为，再由顶点在第四象限，可得，即可．
【详解】解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∵顶点在第四象限，
∴，
即，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
8．（2023·浙江温州·二模）已知关于x的二次函数，该函数的最大值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，配方成顶点式，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，抛物线有最大值5．
故答案为：5．
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
10．（2023·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．
（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ．
【答案】 2 或
【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键．
（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，即可求解；
（2）由题意可知，当时，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：2；
（2）当时，，
将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，
当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意；
结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或；
故答案为：或．
11．（2023九年级·广东湛江·期末）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函数的解析式；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
【点睛】本题考查二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．
12．（2023九年级·天津武清·阶段练习）已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；
(2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积．
【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）由抛物线的性质可得答案；
（2）由、，顶点P坐标为；可得的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为；
（2）解：如图，
∵、，顶点P坐标为；
∴．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键．
13．（2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值．
【答案】(1)直线
(2)，
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式：
（1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可；
（2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵当，y的取值范围是，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴，
解得或（舍去）．
14．（2023九年级·北京通州·期中）已知二次函数在和时的函数值相等．
(1)求二次函数图像的对称轴；
(2)过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．
(2)设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线．
（2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，设，，
∵对称轴为直线，，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，．
15．（2023·江苏常州·二模）已知二次函数．
(1)若该二次函数的最大值为，求m的值；
(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题：
（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可；
（2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴当时，二次函数有最大值，
∵该二次函数的最大值为，
∴，
∴；
（2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为，
∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下，
∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，
∴．
