中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 二次函数与一元二次方程
·模块一 二次函数表达式的确定
·模块二 二次函数与一元二次方程
·模块三 课后作业
用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）一般式：y=ax +bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式；
（2）顶点式：y=a（x-h) +k，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x-x1)（x-x2).
【考点1 用“一般式”求二次函数表达式】
【例1.1】（2023九年级·浙江·专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
【例1.2】（2023·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可．
【详解】如图，作于点C
∵，，，
∴，
∴，
设函数解析式为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【例1.3】（2023九年级·江苏南通·阶段练习）已知抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标．
【详解】（1）将、两点代入，
，
解得，
抛物线解析式为，
，
顶点坐标为；
（2） 、，
，
设点，则，
，
当时，，
解得，，
此时或；
当时，，
此时方程无解；
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法，配方法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式．
【变式1.1】（2023九年级·河北唐山·期中）已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表：
x … 1 2 …
y … 0 m 3 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值等知识点．注意计算的准确性．
（1）将点，代入即可建立方程组求解；
（2）令代入解析式函数即可求m的值．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）解；令，则.
【变式1.2】（2023九年级·安徽芜湖·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值．
【答案】，
【分析】把点和点分别代入，即可作答
【详解】解：由题意知，把点和点分别代入，
得，
解得，
所以b，c的值分别为和．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的b，c的值，难度较小．
【变式1.3】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像经过，两点．
(1)求和的值；
(2)试判断点是否在此函数图像上？
【答案】(1)
(2)不在
【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；
（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上．
【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
【考点2 用“顶点式”求二次函数表达式】
【例2.1】（2023九年级·安徽淮北·阶段练习）若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则它的表达式为 ．
【答案】
【分析】利用顶点式求解即可．
【详解】图象顶点坐标为，
可以设函数解析式为，
又∵二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，
∴，
∴这个函数解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解，若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
【例2.2】（2023九年级·吉林松原·期末）一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式．
【答案】．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，设出顶点式，把，代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴．
【例2.3】（2023九年级·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，由抛物线的称轴为直线，且函数有最小值为可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入即可求解．
【详解】解：∵抛物线的称轴为直线，且函数有最小值为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入，得
，
解得．
∴抛物线的解析式．
【变式2.1】（2023九年级·广东东莞·期中）抛物线的对称轴为直线，最小值为，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据题意设出顶点式为，然后将代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，最小值为，
∴设顶点式为，
将代入得，，解得
∴抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解二次函数表达式．
【变式2.2】（2023九年级·福建·阶段练习）已知二次函数图象的顶点为P（－1，3），且与y轴交于点A（0，2），求该函数的解析式并画出该函数的图象．
【答案】；图象见解析
【分析】根据顶点 设出二次函数的顶点式 ，将点代入得到的值，即可得到答案，最后画出函数图象即可．
【详解】解：抛物线的顶点为
设出二次函数的顶点式，
将点代入，得，解得，
二次函数的解析式为，
图象如图所示．
【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式以及函数的图象，掌握求二次函数解析式得方法是解题的关键．
【变式2.3】（2023九年级·广东中山·开学考试）一个二次函数图象的顶点为，图象又过点．求二次函数的解析式，并求出该函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】，该函数图象与x轴的交点坐标为．
【分析】本题考查求二次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．设抛物线为顶点式，将代入解析式求解，再令得，解出方程，即可求得该函数与x轴的交点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，即，
令得，
解得：，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为．
【考点3 用“交点式”求二次函数表达式】
【例3.1】（2023九年级·河南南阳·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式．
【答案】/
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
设交点式，然后把C点坐标代入求a即可；
【详解】解：抛物线经过点，，
设抛物线的解析式为：，
代入得：，
解得：，
抛物线的解析式：．
【例3.2】（2023·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，
∵，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
故选：D．
【例3.3】（2023九年级·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．
【答案】；
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为，
∵，
∴，
把点C坐标代入中，得，
∴，
∴，
化为一般式为：；
∵，
∴，
由勾股定理得：．
【变式3.1】（2023九年级·广东湛江·课后作业）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点(0，-2)代入，求出a的值，最后改为一般式即可．
【详解】∵抛物线经过点(3，0)，(-1，0)，
故可设该抛物线的解析式为：，
∵该抛物线又经过点(0，-2)，
∴
解得：
∴该抛物线的解析式为：
整理，得：．
【点睛】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．
【变式3.2】（2023九年级·江苏淮安·阶段练习）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
【答案】
【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
∴．
∴该抛物线的函数关系式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．
【变式3.3】（2023九年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，函数，是常数，且的图象与轴的交点坐标为和，其中．
(1)当时，求，的值．
(2)求证：．
【答案】(1)、的值分别为，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式：
（1）根据题意可设抛物线解析式为，从而得到，求解；
（2）根据题意可设抛物线解析式为，从而得到，即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线与轴的交点坐标为和，
可设抛物线解析式为，
即，
，
解得，
，
即、的值分别为，；
（2）证明：设抛物线解析式为，
即，
，
，
，
，
．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·福建泉州·期末）选你喜欢的、、的值，使二次函数 的图象同时满足下列条件:
①它的图象不经过第三象限；
②图象经过点；
③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】首先由①得到；由③得到对称轴为，即 ；由②得到顶点，即可得出答案．
【详解】解：二次函数，
①它的图象不经过第三象限，
；
③当时，函数值随自变量的增大而增大，
故对称轴为，即；
②得到顶点，故可设顶点式为；
可取，二次函数的解析式是．故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
【题型2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案；
（2）利用一般式代入，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：，
把（0,﹣6）代入得：
，
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为：；
（2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得：
，
解得：，
故二次函数解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键．
【题型3】（2023·河北邯郸·二模）在直角坐标系中，设函数（是常数，）．
(1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
(2)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，第（2）小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围．
（1）使用待定系数法求二次函数解析式，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可．
（2）已知，则，容易得到，利用，即代入，对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证．
【详解】（1）由题意，得
解得,
所以，该函数表达式为．
（2）由题意，得，，
所以
，
由条件，知，
所以．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·吉林长春·一模）对于二次函数（，a为整数），有四种说法：①函数与x轴的一个交点为；②对称轴为直线；③当时，函数的最小值为3；④点在函数图象上．若其中只有一个说法是错误的，则a的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数图象与x轴的交点问题可判断A、C中有一个是错误的，进而判断选项①、②、④或②、③、④组合得到的解析式是否符合题意即可得出结论．
【详解】解：∵①选项中函数图象与x轴的一个交点为，
即函数图象与x轴有交点，
③选项中时函数的最小值为3，即函数图象与x轴无交点，
∴选项①和③中有一个是错误的．
若选项①、②、④均正确．
∵函数与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴函数与x轴另一个交点为．
∴该函数解析式可表示为．
∵点在函数图象上，
∴，
解得：．
∵a为整数，
∴不符合题意；
若选项②、③、④均正确．
∵对称轴为直线，函数的最小值为3，
∴设抛物线的解析式为．
∵点在函数图象上，
∴．
解得：，符合a为整数的条件．
故答案为：5．
【题型2】（2023·黑龙江·三模）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在y轴上，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键．
（1）用待定数法求二次函数的解析式即可．
（2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为
∴
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）令，则，
解得，
∴，，
∴，
∴．
①当时，
②当时，
综上：的长为1或．
【题型3】（2023九年级·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．待定系数法分别求出表达式比较的大小即可．
【详解】解：设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
，
的值最大为：．
故选：B．
直线与抛物线的交点：
（1）y轴与抛物线y=ax +bx+c的交点为(0, c);
（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax +bx+c有且只有一个交点(h,ah +bh+c).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax +bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，就是对应一元二次方程y=ax +bx+c的两个实数根.
抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 Δ＞0 抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上） Δ=0 抛物线与x轴相切；
③没有交点 Δ＜0 抛物线与x轴相离.
【考点1 二次函数与一元二次方程之间的关系】
【例1.1】（2023九年级·北京石景山·期末）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：．
解得：，
故选：D
【例1.2】（2023九年级·安徽阜阳·期中）若抛物线与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】A
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，理解关于x的方程的根就是函数与x轴的交点横坐标是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，，
∴一元二次方程的解为，，
故选A．
【例1.3】（2023九年级·湖北省直辖县级单位·期中）抛物线与轴的交点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用抛物线与轴交点个数与的关系得出即可．
【详解】解：，
抛物线与轴有个交点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，正确求出的值是解题关键．
【变式1.1】（2023九年级·重庆江津·阶段练习）小明画出二次函数的图像如下图，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键在于熟知二次函数与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．
【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故选：B．
【变式1.2】（2023九年级·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．5
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据抛物线与x轴没有交点，知无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
无解，
，
解得，
故选：D．
【变式1.3】（2023九年级·甘肃陇南·期末）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．
【详解】解：当时，，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和，
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．
【考点2 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
【例2.1】（2023九年级·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
即抛物线与x轴的另一个交点横坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
【例2.2】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可．
【详解】解：由图象可知，
当时，函数值的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【例2.3】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)或
【分析】
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出、B关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【详解】（1）
把和代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为，
，
顶点坐标为；
（2）
如图：
点关于对称轴直线的对称点，点关于对称轴直线的对称点，
由图像可得，当时，的范围是或．
【变式2.1】（2023九年级·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．根据函数图象求出与轴的交点坐标，再由图象得出答案．
【详解】解：由可得，，，
观察函数图象可知，当或时，函数值．
故答案为：或．
【变式2.2】（2023九年级·北京平谷·期中）已知二次函数．
(1)将化成的形式，并写出顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的示意图；
(3)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查二次函数的图象及性质：
（1）根据配方法配成顶点式解析式，即可求出顶点坐标；
（2）利用五点法画出函数图象；
（3）利用二次函数的性质解答即可；
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标为；
（2）
（3）当时，；当时，，
∵顶点坐标，
∴当时，函数有最小值，
∴当时， 的取值范围是．
【变式2.3】（2023·四川泸州·一模）设二次函数，当时，总有，当时，总有，那么c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据题意可知当时，，据此可得，再由当时，，得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数，当时，总有，当时，总有，
∴当时，，
∴，
∴，
∵当时，总有，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
故选；B．
【考点3 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例3.1】（2023九年级·河南洛阳·期末）根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表格数据，便可求值根的范围．
【详解】解：由表格数据可知：当时，；当，
∴一个根的范围是：
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键．
【例3.2】（2023九年级·江苏连云港·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 ．
【答案】6.18＜x＜6.19
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
【例3.3】（2023九年级·山西晋中·阶段练习）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是 ．
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
【答案】4
【分析】根据表格可得当时，；当时，，由此得到一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，由此得到答案．
【详解】解：由表格得，当时，；当时，，
故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，
∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键．
【变式3.1】（2023九年级·河北承德·期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是 ；
【答案】1.2
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2．
故答案为：1.2．
【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
【变式3.2】（2023九年级·北京房山·期中）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数值y的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… 1.4 7.0 14.6 24.2 35.8 …
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
（保留小数点后一位小数）．
【答案】3.7（答案不唯一）
【分析】根据题意和表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近．
【详解】解：由表格可知，
当时，，当时，，
则关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于3.7，
故答案为：3.7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合要求的即可，本题答案不唯一．
【变式3.3】（2023九年级·陕西安康·阶段练习）已知二次函数．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 …
(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据表格结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
【答案】(1)表见解析，图见解析
(2)两个近似根分别在之间和之间
【分析】（1）根据表格数据代入解析式即可求解，然后根据描点法画出函数图象即可；
（2）根据表格结合函数图象，根据抛物线与轴的交点，即可直接写出方程的近似解在哪两个连续整数之间．
【详解】（1）解：由，令，，
令，
填表如下：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 2 3 2 －1 －6 …
所画图象如图：
（2）由图象可知，方程的两个近似根分别在之间和之间．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，求函数值，图象法解一元二次方程，数形结合是解题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·辽宁大连·期末）已知抛物线经过点，当时，，则m的值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先求出抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象进行求解即可．
【详解】解：当时，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，
∴由函数图象可知，当时，，
∵抛物线经过点，当时，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，正确求出抛物线与x轴的两个交点坐标是解题的关键．
【题型2】（2023·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；
（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解．
（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；
（3）当 时，一次函数为y= 二次函数为
①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解；
②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为
联立方程组
解得 或
∴交点坐标为或；
（2）由
得
∵两个函数图象没有交点，
∴
得
（3）当 时，一次函数为二次函数为
①∵轴
设 ，
∴当 时，
②设
∵轴，
∴当 时，
【题型3】（2023·安徽池州·三模）已知抛物线的顶点坐标为，试求：
（1） ；
（2）若关于的一元二次方程在或的范围内有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】 1 或
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可求出b，c的值，从而可得结论；
（2）把一元二次方程变形为，画出函数图象，根据图象可得结论．
【详解】解：（1）
∴抛物线的顶点坐标为（，）
又∵顶点坐标为（1，2）
∴
解得，
∴
故答案为：1；
（2）∵
∴
∴
如图①，
在时，有实数根，的取值为
如图②
在时，有实数根，的取值为
故答案为：或
【点睛】本题考查抛物线与直线的交点问题，解题的关键画出函数图象，分情况讨论，从而求出的范围．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·江苏泰州·二模）函数与轴的交点至少有一个在轴的左侧，则的范围是 ．
【答案】
【分析】求出函数与轴的交点的坐标，由此即可得出答案．
【详解】解：方程可变形为，
解得或，
函数与轴的交点坐标为和，
函数与轴的交点至少有一个在轴的左侧，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是解题关键．
【题型2】（2023九年级·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数，当自变量x的取值在的范围时，函数的图像与x轴有两个公共点，则n的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=－1，若函数的图象与x轴有两个公共点，利用根的判别式得到4+4n≥0，再由在的范围时，函数的图象与x轴有两个公共点，利用函数的图象性质得到当x=－2时，y≥0，从而求解即可．
【详解】∵，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∵当自变量x的取值在的范围时，函数的图象与x轴有两个公共点，
∴，且当x=－2时，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，结合题意列出相应的不等式是解题的关键．
【题型3】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为，
∵，
∴函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴当时，
∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标，
∴，
故选：D．
1．（2023九年级·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表：
则其表达式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可．
【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是，
二次函数对称轴是直线，
二次函数顶点坐标是，
设二次函数解析式是，
把代入得：
，
解得：，
二次函数解析式是，
故选：B．
2．（2023九年级·内蒙古呼伦贝尔·期中）下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)．
【详解】解：由表可知当时，，
当时，，
∴抛物线与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点，
∴方程的一个根的近似值约为，
故选：B．
3．（2023·河南安阳·模拟预测）如图，二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先根据对称性求出点也在改二次函数图象上，再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，
∴点也在改二次函数图象上，
∴由函数图象可知，当时，或，
∴不等式的解集是或，
故选：D．
4．（2023·河南濮阳·二模）如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查抛物线与轴的交点判断一元二次方程根的情况，根据数形结合的方法可得答案．
【详解】解：函数图象开口向下．图象交x轴于点A、B，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
5．（2023·广东广州·二模）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把点代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式，再确定其与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为，可设解析式为，
代入点，得．
所以该二次函数的解析式为，
化成一般式为．
当时，，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：C．
6．（2023九年级·江苏常州·阶段练习）如果二次函数的图象经过原点，那么的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将原点坐标代入函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，则，
故答案为：1．
7．（2023九年级·北京·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是 ．
【答案】，
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，
即，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．
8．（2023·甘肃陇南·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
【详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，．
故答案为：．
9．（2023九年级·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ．
【答案】 4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长．
【详解】解：∵中，，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为 ，则，
令，则，
解得：
∴,
故答案为：，．
10．（2023·江苏淮安·三模）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键．
过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解．
【详解】解：过作轴于点．
由题意可知，
，
，
设，则，，
抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得：，
故答案为：．
11．（2023九年级·湖南郴州·期中）如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．
（1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标；
（2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
【详解】（1）令，则，
解得 ，，
∴，
令，则，
∴；
（2）∵，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为．
12．（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数的图象过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围____________．
(3)设此二次函数图象与x轴交点分别为、与轴交点为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)或
(3)3．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与不等式的关系，二次函数综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象求解即可；
（3）先求出点C的坐标，再求出的长即可根据三角形面积计算公式求出答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：在中，当时，记得或，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴由函数图象可知，
当时，的取值范围为或，
故答案为：或；
（3）解：如图所示，
在中，当时，，
∴，
∴，
由（2）可知二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴，
∴．
13．（2023九年级·广东中山·期中）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)结合图象填空：
①关于x的一元二次方程的解是 ；
②不等式的解集为 ．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
（1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得a的值；
（2）根据抛物线的对称性求得点，的对称点，然后根据图象即可求得．
【详解】（1）解：由图象可知抛物线顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴关于直线的对称点是，
∴关于x的一元二次方程的解是；
故答案为：；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴的对称点是，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
14．（2023·江苏苏州·二模）已知函数．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．
（1）利用根的判别式即可判断；
（2）解方程求得，，则，，，根据即可求得线段长度的取值范围．
【详解】（1）证明：令，则，
△，
该函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：由方程，
解得，，
，，
，
，
．
15．（2023·河南周口·二模）如图，抛物线 交x轴于、B两点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在抛物线上，横坐标设为m．
①当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
②若抛物线在点 P右侧部分（含点 P）的最高点的纵坐标为，求m的值．
【答案】(1)
(2)①；②或2
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与x轴交点问题，解一元二次方程等知识，
（1）利用待入系数法求解即可；
（2）①首先求出，然后根据图象求解即可；
（3）首先得到对称轴为，顶点坐标为，然后分和两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）由题意，将、两点坐标分别代入已知解析式得；
解得
将代入原解析式得
所求抛物线的解析式为．
（2）①由题意，抛物线交轴于、两点，又解析式为，，
令，有，解得，．
．
结合图象，当点在轴上方时，．
②由题意，的对称轴为，顶点坐标为．
当时，点右侧部分（含点的最高点的纵坐标为，
．
当时，点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，
解关于的方程得：
（不合题意，舍去），．
综上，符合题意的为或2．中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 二次函数与一元二次方程
·模块一 二次函数表达式的确定
·模块二 二次函数与一元二次方程
·模块三 课后作业
用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）一般式：y=ax +bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式；
（2）顶点式：y=a（x-h) +k，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x-x1)（x-x2).
【考点1 用“一般式”求二次函数表达式】
【例1.1】（2023九年级·浙江·专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【例1.2】（2023·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．
【例1.3】（2023九年级·江苏南通·阶段练习）已知抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标．
【变式1.1】（2023九年级·河北唐山·期中）已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表：
x … 1 2 …
y … 0 m 3 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求m的值．
【变式1.2】（2023九年级·安徽芜湖·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值．
【变式1.3】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像经过，两点．
(1)求和的值；
(2)试判断点是否在此函数图像上？
【考点2 用“顶点式”求二次函数表达式】
【例2.1】（2023九年级·安徽淮北·阶段练习）若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则它的表达式为 ．
【例2.2】（2023九年级·吉林松原·期末）一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式．
【例2.3】（2023九年级·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式．
【变式2.1】（2023九年级·广东东莞·期中）抛物线的对称轴为直线，最小值为，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为 ．
【变式2.2】（2023九年级·福建·阶段练习）已知二次函数图象的顶点为P（－1，3），且与y轴交于点A（0，2），求该函数的解析式并画出该函数的图象．
【变式2.3】（2023九年级·广东中山·开学考试）一个二次函数图象的顶点为，图象又过点．求二次函数的解析式，并求出该函数图象与x轴的交点坐标．
【考点3 用“交点式”求二次函数表达式】
【例3.1】（2023九年级·河南南阳·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式．
【例3.2】（2023·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．
【例3.3】（2023九年级·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．
【变式3.1】（2023九年级·广东湛江·课后作业）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．
【变式3.2】（2023九年级·江苏淮安·阶段练习）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
【变式3.3】（2023九年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，函数，是常数，且的图象与轴的交点坐标为和，其中．
(1)当时，求，的值．
(2)求证：．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·福建泉州·期末）选你喜欢的、、的值，使二次函数 的图象同时满足下列条件:
①它的图象不经过第三象限；
②图象经过点；
③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是 ．
【题型2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
【题型3】（2023·河北邯郸·二模）在直角坐标系中，设函数（是常数，）．
(1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
(2)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为若，求证：．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·吉林长春·一模）对于二次函数（，a为整数），有四种说法：①函数与x轴的一个交点为；②对称轴为直线；③当时，函数的最小值为3；④点在函数图象上．若其中只有一个说法是错误的，则a的值为 ．
【题型2】（2023·黑龙江·三模）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在y轴上，且，求线段的长．
【题型3】（2023九年级·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为( )
A． B． C． D．
直线与抛物线的交点：
（1）y轴与抛物线y=ax +bx+c的交点为(0, c);
（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax +bx+c有且只有一个交点(h,ah +bh+c).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax +bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，就是对应一元二次方程y=ax +bx+c的两个实数根.
抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 Δ＞0 抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上） Δ=0 抛物线与x轴相切；
③没有交点 Δ＜0 抛物线与x轴相离.
【考点1 二次函数与一元二次方程之间的关系】
【例1.1】（2023九年级·北京石景山·期末）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【例1.2】（2023九年级·安徽阜阳·期中）若抛物线与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．
C． D．，
【例1.3】（2023九年级·湖北省直辖县级单位·期中）抛物线与轴的交点个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（2023九年级·重庆江津·阶段练习）小明画出二次函数的图像如下图，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023九年级·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．5
【变式1.3】（2023九年级·甘肃陇南·期末）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点2 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
【例2.1】（2023九年级·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ．
【例2.2】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．
【例2.3】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【变式2.1】（2023九年级·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ．
【变式2.2】（2023九年级·北京平谷·期中）已知二次函数．
(1)将化成的形式，并写出顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的示意图；
(3)当时，直接写出的取值范围．
【变式2.3】（2023·四川泸州·一模）设二次函数，当时，总有，当时，总有，那么c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点3 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例3.1】（2023九年级·河南洛阳·期末）根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（2023九年级·江苏连云港·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 ．
【例3.3】（2023九年级·山西晋中·阶段练习）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是 ．
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
【变式3.1】（2023九年级·河北承德·期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是 ；
【变式3.2】（2023九年级·北京房山·期中）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数值y的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… 1.4 7.0 14.6 24.2 35.8 …
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
（保留小数点后一位小数）．
【变式3.3】（2023九年级·陕西安康·阶段练习）已知二次函数．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 …
(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据表格结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023九年级·辽宁大连·期末）已知抛物线经过点，当时，，则m的值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【题型2】（2023·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
【题型3】（2023·安徽池州·三模）已知抛物线的顶点坐标为，试求：
（1） ；
（2）若关于的一元二次方程在或的范围内有实数根，则的取值范围是 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·江苏泰州·二模）函数与轴的交点至少有一个在轴的左侧，则的范围是 ．
【题型2】（2023九年级·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数，当自变量x的取值在的范围时，函数的图像与x轴有两个公共点，则n的取值范围是 ．
【题型3】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023九年级·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表：
则其表达式为
A． B．
C． D．
2．（2023九年级·内蒙古呼伦贝尔·期中）下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
3．（2023·河南安阳·模拟预测）如图，二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
4．（2023·河南濮阳·二模）如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2023·广东广州·二模）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九年级·江苏常州·阶段练习）如果二次函数的图象经过原点，那么的值为 ．
7．（2023九年级·北京·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是 ．
8．（2023·甘肃陇南·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．
9．（2023九年级·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ．
10．（2023·江苏淮安·三模）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ．
11．（2023九年级·湖南郴州·期中）如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
12．（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数的图象过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围____________．
(3)设此二次函数图象与x轴交点分别为、与轴交点为，求的面积．
13．（2023九年级·广东中山·期中）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)结合图象填空：
①关于x的一元二次方程的解是 ；
②不等式的解集为 ．
14．（2023·江苏苏州·二模）已知函数．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围．
15．（2023·河南周口·二模）如图，抛物线 交x轴于、B两点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在抛物线上，横坐标设为m．
①当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
②若抛物线在点 P右侧部分（含点 P）的最高点的纵坐标为，求m的值．
