2024年天津市河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题（含答案）

2024年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．
参考公式
柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
球的体积公式，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
（1）已知全集，集合，，则集合（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）不等式的解集为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）命题“，”的否定是（ ）
（A）， （B），
（C）， （D），
（5）函数的定义域为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）如图所示，，，为的中点，则为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知，，则用，表示（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知，则（ ）
（A）3 （B）
（C）5 （D）
（11）射击运动员甲、乙分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中恰有一人射中目标的概率是（ ）
（A）0.06 （B）0.16
（C）0.26 （D）0.72
（12）为了得的图象，只需把，图象上所有点的（ ）
（A）纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
（B）纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
（C）横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
（D）横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
（13）函数的零点所在的区间为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（14）兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中，，三位游客所在位置如图所示，则的大小为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是，数据的分组依次为：，，，，．已知活动时间在内的人数为300，则活动时间在内的人数为（ ）
（A）600 （B）800
（C）1000 （D）1200
第Ⅱ卷（非选择题 共55分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上）
（16）函数的最大值为______．
（17）据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取人，若青年旅客抽到60人，则______．
（18）若复数，则______．
（19）在中，，，，则的长度为______．
（20）已知，，且，则的最小值为______．
三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（21）（本小题满分8分）
已知，是第二象限角．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值．
（22）（本小题满分10分）
已知向量，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与的夹角的余弦值．
（23）（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
（24）（本小题满分12分）
已知，函数．
（Ⅰ）函数的图象经过点，且关于的不等式的解集为，求的解析式；
（Ⅱ）若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差，若对，恒成立，求实数的取值范围．
2024年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测
数学答案
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 A D B C B B A C
题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15）
答案 C D C D A B D
第Ⅱ卷（非选择题 共55分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上）
（16）1； （17）200； （18）；
（19）6； （20）2．
三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（21）（本小题满分8分）
解：（Ⅰ），是第二象限角，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
．
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由，得，解得，
，则．
（Ⅱ）由题意，
又，，解得，
则，，，
，
即向量与的夹角的余弦值为．
（23）（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）在中，，分别是，的中点，
，
又平面，
平面，
平面．
（Ⅱ）四边形是正方形，
，
又平面，
，
又，
平面．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，
为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成角．
由题意，在中，，，
，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
（24）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数的图象经过点，
，
又关于的不等式的解集为，
，为方程的两个实根，
因此，解得
所以的解析式为．
（Ⅱ）解法一：，
由题意得，即，
令，解得，
即，，
对于任意，设，则，
，
又，
，
而，即，
因此，
函数在区间上是单调递减的．
解法二：，
由题意得，即，
令，解得，
即，，
由，
则函数图象的对称轴方程为，