2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练1　利用基本不等式求最值(范围)（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
专题强化练1　利用基本不等式求最值(范围)
1.(2024江苏南京期中联考)若命题“对任意x∈(0,+∞),2x+-m>0恒成立”为假命题,则m的取值范围为(　　)
A.{m|m>2}　　　　B.{m|m≥2}
C.{m|m≤2}　　　　D.{m|m<2}
2.(2024江苏徐州期中统考)已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则a+b的最小值是(　　)
A.4　　　　B.3+2　　　　C.16　　　　D.32
3.(2024江苏无锡天一中学期中)已知x+y=1,x>0,y>0,则+的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
4.(多选题)(2024江苏盐城期中)已知a,b为正数,且2a+b=4,则下列说法正确的是(　　)
A.+有最大值2
B.a2+b2有最小值
C.+有最小值
D.ab有最小值2
5.(2023江苏苏州期中)已知正实数a,b满足a+b=,则+的最小值是(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2023辽宁大连育明高级中学月考)已知a>0,b>0,且ab=1,不等式++≥4恒成立,则正实数m的取值范围是　　　　.
7.(2023江苏南京十三中月考)已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,则x+y的最小值为　　　　.
8.(2024江苏期中统考)海伦公式亦叫海伦-秦九韶公式,相传最早是由古希腊数学家阿基米德得出的,而这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中,所以被称为海伦公式,它是利用三角形三条边的长直接求三角形面积的公式,其面积S=,其中a,b,c分别是三角形的三边长,p=.已知把一根长为10 cm的木棒截成三段构成一个三角形,若其中有一段的长度为3 cm,则该三角形的最大面积为　　　　cm2.
9.(2024江苏无锡期中)如图,P是矩形ABCD的对角线BD上一点,且点P不与点B,D重合,过P作PM⊥AB,PN⊥AD,分别交AB,AD于M,N两点.
(1)当AB=3,AD=2时,设PM=x(x>0),PN=y(y>0),找出x、y的关系式,求四边形AMPN面积的最大值,并指出此时P点的位置;
(2)当矩形ABCD的面积为6时,四边形AMPN的面积是否有最大值 若有,求出最大值;若没有,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　利用基本不等式求最值(范围)
1.B　由题意得,命题“存在x∈(0,+∞),2x+-m≤0恒成立”为真命题解题技巧,
即2x+≤m,x∈(0,+∞).
又因为2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时取等号,所以m≥2.故选B.
2.B　由a+2b=ab,得+=1,又因为a>0,b>0,
所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即b=1+,a=2+时取等号.故选B.
3.B　因为x+y=1,x>0,y>0,
所以+=+=+=+=++≥+2=,
当且仅当=,即x=,y=时取等号.
故选B.
4.AB　由a>0,b>0,且2a+b=4,可知0对于A,因为≤+=2a+b=4,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时,等号成立,
所以+≤2,当且仅当2a=b=2时,等号成立,即+有最大值,为2,故A正确;
对于B,因为2a+b=4,所以b=4-2a,所以a2+b2=a2+(4-2a)2=5a2-16a+16=5+,
根据二次函数的性质,得当a=时,a2+b2取得最小值,为,故B正确;
对于C,+=×(2a+b)=+×≥+=,当且仅当=,即a=4-2,b=4-4时取等号,
所以+有最小值,为,故C错误;
对于D,2ab≤=4,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时,等号成立,
所以ab≤2,所以ab有最大值,为2,故D错误.
故选AB.
5.B　因为正实数a,b满足a+b=,所以4a2+4b2=25-8ab,所以+=+=+·[(2a+2)+(2b+1)]=2a2+++2b2=-4ab++≥×-4ab+2=×=,当且仅当=时,等号成立,故+的最小值为.故选B.
6.答案　[8,+∞)
解析　因为a>0,b>0,且ab=1,所以++=+=+,又++≥4,所以m≥4(a+b)-,设x=a+b,则x≥2=2,则m≥4x-x2=-(x-4)2+8,所以m≥=8.
7.答案　
解析　因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,
因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,
所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,
(积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用x+3y-1和2x+y-1表示,然后利用基本不等式求解)
x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+
≥2+=,当且仅当(x+3y-1)=(2x+y-1),即即时取等号,所以x+y的最小值为.
8.答案　
解析　依题意得p==5,不妨令a=3 cm,
则b+c=7 cm,其中0则S=≤×= cm2,当且仅当5-b=5-c,即b=c=时取等号,
所以该三角形的最大面积为 cm2.
9.解析　(1)在矩形ABCD中,PM⊥AB,PN⊥AD,
所以PM∥AD,PN∥AB,因为AB=3,AD=2,
所以=,= ,所以+=1,
因为x>0,y>0,所以+≥2=2,
当且仅当=,即x=1,y=时取等号,
又+=1,所以2≤1,所以xy≤,
此时P是BD的中点,
故当P是BD的中点时,四边形AMPN的面积取得最大值,为.
(2)由题知,AB·AD=6,由(1)可知+=1,
因为x>0,y>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x=AD,y=AB时取等号,
又+=1,所以2≤1,所以xy≤,
此时P是BD的中点,
故当P是BD的中点时,四边形AMPN的面积取得最大值,为.
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