2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练3　分段函数及其性质

中小学教育资源及组卷应用平台
2025苏教版高中数学必修第一册
专题强化练3　分段函数及其性质
1.(2023江苏徐州期中)已知函数f(x)=则f(3)+f(4)=(　　)
A.37　　　　B.41　　　　
C.19　　　　D.23
2.(2023江苏南通启东中学期中)若函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有 >0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2]　　　　B.(1,2)
C.[2,6)　　　　D.
3.(2024江苏天一中学期中)已知函数f(x)=的最小值是-1,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.(2024江苏响水中学期中)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.
5.(2023江苏常熟中学期初)已知函数f(x)=的值域为R,则实数m的取值范围为　　　　.
6.(2023江苏南京高淳高级中学月考)某生态基地种植某种药材的年固定成本为250万元,每产出x吨需另外投入可变成本C(x)万元,已知C(x)=通过市场分析,该种药材以每吨50万元的价格全部售完,设基地种植该种药材年利润(利润=销售额-成本)为L(x)万元,当基地产出该种药材40吨时,年利润为190万元.(≈1.41)
(1)求出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:吨)的函数关系式;
(2)当年产量为多少时,所获年利润最大 最大年利润是多少(精确到0.1)
7.(2024江西丰城拖船中学期中)已知函数f(x)=ax2-|x-a|,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间(不必写证明过程);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)当a∈[-1,1]时,对任意的x∈[1,3], f(x)+bx≤0恒成立,求a2+3b的最大值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　分段函数及其性质
1.B　由题意得, f(3)=f(9)=3×9+1=28, f(4)=3×4+1=13,所以f(3)+f(4)=41.故选B.
2.D　由题意得,函数f(x)是R上的增函数,所以解得2≤a≤,故实数a的取值范围是.故选D.
3.A　若x≤1,则f(x)=x2-1,显然f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,
此时f(x)在x=0处取得最小值,则f(0)=0-1=-1;
若x>1,则当a>0时, y=ax2-x+2的图象开口向上,对称轴为直线x=,
当a>0,>1,即0此时f(x)在x=处取得最小值,为f =≥-1,解得a≥,又0当a>0,0<≤1,即a≥时,f(x)=ax2-x+2,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,
此时f(x)在x=1处取得最小值,为f(1)=a-1+2≥-1,解得a≥-2,又a≥,所以a≥;
当a<0时, y=ax2-x+2的图象开口向下,则f(x)在(1,+∞)上必存在比-1小的值,不满足题意;
当a=0时, f(x)=-x+2,易得f(4)=-2<-1,不满足题意.
综上所述,a≥.故选A.
4.答案　
解析　y=-x2+ax+的图象的对称轴为直线x=-=4a,
若x≥2,则函数f(x)=|x-a|的单调递减区间为(-∞,a),单调递增区间为[a,+∞),
若函数f(x)在R上单调递增,则解得≤a≤,故实数a的取值范围为.
5.答案　
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-2x和y=-x的图象,如图所示:
令x2-2x=-x,解得x=0 或x=,所以y=-x的图象与y=x2-2x的图象有两个交点,且交点坐标分别为(0,0),.
若m>,则当x>m时, f(x)∈,当x≤m时, f(x)∈[-1,+∞),
显然-m<-1,此时函数f(x)的值域不为R,不符合题意;
若m<0,则当x>m时, f(x)∈,当x≤m时, f(x)∈[m2-2m,+∞),
此时m2-2m-=m2-m=m>0,即m2-2m>-m,此时函数f(x)的值域不为R,不符合题意;
若0≤m≤,则当x∈(0,m)时,m2-2m<-m,
此时f(x)的值域为R,符合题意;
若m时, f(x)∈,
当x≤m时, f(x)∈[-1,+∞),
此时-1-=m-1≤0,即-1≤-m,此时函数f(x)的值域为R,符合题意.
综上,0≤m≤.
6.解析　(1)当基地产出该种药材40吨时,年成本为(1 600a+49×40+250)万元,年利润为50×40-(1 600a+49×40+250)=190,解得a=-,
所以L(x)=
(2)当x∈(0,50],L(x)=x2+x-250,其图象的对称轴为直线x=-2,所以函数在(0,50]上单调递增,所以当x=50时,L(x)max=425.
当x∈(50,100]时,L(x)=-x-+620=-+620=620.5-≤620.5-120≈451.3,当且仅当=,即x=60-≈84.1时取等号.
因为425<451.3,所以当年产量为84.1吨时,所获年利润最大,最大年利润是451.3万元.
7.解析　(1)当a=1时, f(x)=x2-|x-1|=
当x≥1时, f(x)=x2-x+1=+,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,
当x<1时, f(x)=x2+x-1=-,所以f(x)在上单调递增,
因为12-1+1=12+1-1=1,
所以f(x)的单调递增区间为.
(2)f(x)为偶函数,理由如下:当a=0时, f(x)=-|x|,其定义域为R,关于原点对称,
又因为f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),
所以f(x)为偶函数,
当a≠0时,f(0)=-|a|≠0,所以f(x)不是奇函数,
因为f(1)=a-|1-a|, f(-1)=a-|1+a|,且|1-a|≠|1+a|,
所以f(1)≠f(-1),所以f(x)不是偶函数.
综上所述,当a=0时, f(x)为偶函数,当a≠0时, f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)当a∈[-1,1]时,对任意的[1,3],f(x)+bx≤0恒成立等价于“b≤-a+1在[1,3]上恒成立”,然后分0≤a≤1和-1≤a<0两种情况求解即可
当a∈[-1,1],x∈[1,3]时,x-a≥0,
所以f(x)+bx=ax2-|x-a|+bx=ax2+(b-1)x+a≤0,
整理,得b≤-a+1,
即b≤-a+1在[1,3]上恒成立,
易知函数y=x+在[1,3]上单调递增.
若0≤a≤1,则y=-a+1在[1,3]上单调递减,
所以当x=3时,y=-a+1取得最小值,为1-a,则b≤1-a,
所以a2+3b≤a2-10a+3≤3,
当且仅当a=0,b=1时,a2+3b=3;
若-1≤a<0时,y=-a+1在[1,3]上单调递增,
所以当x=1时,y=-a+1取得最小值,为1-2a,则b≤1-2a,
所以a2+3b≤a2-6a+3≤10,当且仅当a=-1,b=3时,a2+3b取得最大值10.
综上,a2+3b的最大值为10.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)