2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练4　函数的基本性质

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2025苏教版高中数学必修第一册
专题强化练4　函数的基本性质
1.(多选题)(2022江苏南京第一中学质量检测)若 x∈R,f(x+1)=f(1-x),当x≥1时,f(x)=x2-4x,则下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)为奇函数
B.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增
C.f(x)min=-4
D.函数f(x)在(-∞,1)上单调递减
2.(2024江苏常州期中)若定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞),都有>-1.若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,则实数a的取值范围为(　　)
A.a<-2或a>-1　　　　B.a<1或a>2
C.a<-1或a>2　　　　D.a<-2或a>1
3.(2023江苏苏州期末)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数.记函数g(x)=2f(2x+1)+1,则g=(　　)
A.25　　　　B.27　　　　C.29　　　　D.31
4.(多选题)(2024江苏天一中学期中)已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对任意的x1,x2∈(1,2),且x1A.-2　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1
5.(2024江苏奔牛高级中学期中)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,则函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为　　　　;f(-2 021)+f(-2 020)+f(-2 019)+…+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)的值为　　　　　.
6.(2024浙江丽水期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2x+3.
(1)求f(x)在(0,+∞)上的取值范围;
(2)求f(x)的函数关系式;
(3)设g(x)=x-1,若对任意的x1∈[2,3],都存在x2∈[m,m+1],使得f(g(x1))=g(f(x2)),求正数m的取值范围.
7.(2023江苏太湖高级中学月考)已知函数f(x)=x2,对任意的实数t,gt(x)=-tx+1.
(1)判断函数y=g0(x)-f(x)的奇偶性;
(2)若h(x)=-gt(x)在(0,2]上单调递减,求实数t的取值范围;
(3)若f(x)<|mg2(x)|对任意的x∈恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　函数的基本性质
1.ABD　由 x∈R, f(x+1)=f(1-x)可知, x∈R,f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又当x≥1时, f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,所以当x<1时,2-x>1, f(2-x)=(2-x-2)2-4=x2-4,所以f(x)=
作出f(x)=的图象,如图所示:
由图可知, f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(-∞,0),(1,2)上单调递减,则f(x)min=-4, f(x)不是奇函数,故A,B,D错误,C正确.故选ABD.
2.D　任取x1,x2∈[0,+∞),不妨设x1>x2,
则由>-1,得f(x1)-f(x2)>-x1+x2,
∴f(x1)+x1>f(x2)+x2,
设g(x)=f(x)+x,则g(x)在[0,+∞)上单调递增,
又g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),
∴g(x)为定义在R上的奇函数,
∴g(x)在R上单调递增,
由f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2得, f(a2-1)+a2-1>-f(a-1)-a+1=-[f(a-1)+(a-1)],
即g(a2-1)>-g(a-1)=g(1-a),∴a2-1>1-a,
解得a<-2或a>1.故选D.
3.D　f(x+1)为奇函数, f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,则f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(2-x)=-f(x),f(1)=0.
f(x+2)为偶函数, f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,则f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2-x)=f(2+x),则f(3)=0,所以f(x+2)=-f(x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)的值每4个为一组重复出现,所以f(2k-1)=0,k∈Z,
因为f(x)的图象关于直线x=2对称,也关于点(1,0)对称,所以f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(2)+f(4)=0,所以f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0,
所以f(k+1)=7[f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+[f(2)+f(3)+f(4)]=0,
因为g=2f(k+1)+1,k∈Z,
所以g=2f(k+1)+31=31,故选D.
4.ABC　由题意得, f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x),
g(x)为偶函数,则g(x)=g(-x),
将x=-x代入f(x)+g(x)=ax2+x+2,得f(-x)+g(-x)=ax2-x+2,与f(x)+g(x)=ax2+x+2联立可得,g(x)=ax2+2,
又因为<-1,1所以x2g(x1)-x1g(x2)>-(x1-x2),
整理,得->-,
令h(x)=-=-=ax+,则h(x)在(1,2)上单调递减,
当a=-2时,h(x)=-2x+,则h(x)在(1,2)上单调递减,故A正确;
当a=0时,h(x)=,则h(x)在(1,2)上单调递减,故B正确;
当a=时,h(x)=+,根据对勾函数的性质可知h(x)在(1,2)上单调递减,故C正确;
当a=1时,h(x)=x+,所以h(x)在(1,2)上单调递增,故D错误.
故选ABC.
5.答案　(1,-2);-8 090
解析　令g(x)=f(x+a)-b,
则g(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b
=x3+3ax2+3a2x+a3-3x2-6ax-3a2-b
=x3+(3a-3)x2+(3a2-6a)x+a3-3a2-b,
因为g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即解得
所以函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(1,-2).
所以f(1-x)+f(1+x)=-4,即f(-2 021)+f(2 023)=f(-2 020)+f(2 022)=…=f(0)+f(2)=-4,
所以f(-2 021)+f(-2 020)+f(-2 019)+…+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=-4×2 022-2=-8 090.
6.解析　(1)因为y=x2-2x+3的图象的对称轴为直线x=1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为f(1)=2,所以f(x)在(0,+∞)上的取值范围为[2,+∞).
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3,
所以f(x)=
(3)因为对任意的x1∈[2,3],都存在x2∈[m,m+1],使得f(g(x1))=g(f(x2)),所以f(g(x1))的值域是g(f(x2))值域的子集破题关键.
因为x1∈[2,3],所以1≤g(x1)≤2,所以2≤f(g(x1))≤3,
当m≥1时,m+1≥2,因为f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在[m,m+1]上单调递增,
所以m2-2m+3≤f(x2)≤m2+2,所以m2-2m+2≤g(f(x2))≤m2+1,所以所以≤m≤2;当0因为f(x)在[m,1]上单调递减,在[1,m+1]上单调递增,
所以2≤f(x2)≤max{f(m), f(m+1)},(max{a,b}表示a,b中较大的值)
因为0所以1≤g(f(x2))<2,又[2,3] [1,2),所以0综上,≤m≤2.
7.解析　(1)记p(x)=g0(x)-f(x)=1-x2,易知其定义域为R,p(-x)=1-(-x)2=1-x2=p(x),所以y=g0(x)-f(x)为偶函数.
(2)易知h(x)=-gt(x)=+tx-1.
任取x1,x2∈(0,2],且x1要使h(x)在(0,2]上单调递减,只需h(x1)-h(x2)>0恒成立.
因为x1,x2∈(0,2],且x10,00,即t<恒成立即可.
因为0(3)易知g2(x)=-2x+1在上的值域为,
所以要使f(x)<|mg2(x)|对任意的x∈恒成立,只需|m|>对任意的x∈恒成立.
记q(x)==,则只需|m|>q(x)max.
任取x1,x2∈,且x1=.
因为x1,x2∈,且x10,-2x2+1>0,x1-x2<0,-2x1x2+x1+x2>0,
所以q(x1)-q(x2)=<0,即q(x1)所以q(x)max=q==,所以|m|>,解得m>或m<-,
所以实数m的取值范围是∪.
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