2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练5　指数(型)函数与对数(型)函数的性质及应用

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2025苏教版高中数学必修第一册
专题强化练5　指数(型)函数与对数(型)函数的性质及应用
1.(2023江西南昌一中月考)函数f(x)与g(x)=的图象关于直线y=x对称,则f(4-x2)的单调递增区间是(　　)
A.[0,2)　　　　B.(-2,0] C.[0,+∞)　　　　D.(-∞,0]
2.(2024江苏运河中学阶段检测)已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(　　)
　　　　
　　　　
3.(2023江苏天印高级中学期中)已知函数f(x)=x2+3|x|,设a=f,b=f(100-0.1),c=f ,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>c>b　　　　B.c>a>b
C.a>b>c　　　　D.c>b>a
4.已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:当x>0时,f(x)>0,且对任意的x,y∈(-1,1),均有f(x+y)[1-f(x)f(y)]=f(x)+f(y).若f(ln x)A.　　　　B. C.(,e)　　　　D.∪(,e)
5.(2023江苏苏州中学期末)设常数a∈R,函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不相等的实数根x1,x2,x3,且x1A.实数a的取值范围为
B.x3的取值范围为(4,+∞)
C.x1x2=2
D.的取值范围为[5,+∞)
6.(多选题)(2024江苏宿迁泗阳实验高级中学期末)已知函数f(x)=下列结论不正确的是(　　)
A.若f(a)=1,则a=3
B.f =
C.若f(a)≥2,则a≤1或a≥5
D.若方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k≥
7.(2024江苏如皋石庄高级中学阶段检测)已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2024江苏南京金陵中学期末)已知f(x)=-x2-6x-3,记max{a,b}表示a,b二者中较大的一个,当x>-3时,函数g(x)=max,log2(x+3),若 x1∈[m,n], x2∈[0,+∞),使f(x1)=g(x2)成立,则n-m的最大值为　　　　.
9.(2024广东汕头期中)已知函数f(x)的图象与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(3x-1)>g(-x+5)成立,求x的取值范围;
(3)若 x∈(1,+∞),g(x+2)10.(2024江苏南通期中)已知函数f(x)=2-log2x,g(x)=
(1)求g(x)的最大值;
(2)若对任意的x1∈[4,16],x2∈R,不等式f(2kx1)·f()>g(x2)恒成立,求实数k的取值范围.
11.已知函数f(x)=ln为奇函数,g(x)=-2x+1.
(1)求实数a的值;
(2)若存在x1,x2∈(0,+∞),使得f(2x)在区间[x1,x2]上的值域为ln,ln,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　指数(型)函数与对数(型)
函数的性质及应用
1.A　因为函数f(x)与g(x)=的图象关于直线y=x对称,所以f(x)是g(x)的反函数,则f(x)=lox,
所以函数y=f(4-x2)=lo(4-x2),
该函数的定义域为(-2,2),且y=lox在定义域上单调递减.
结合复合函数“同增异减”的单调性法则破题关键,得①当x∈[0,2)时,y=4-x2单调递减,所以函数y=lo(4-x2)单调递增;
②当x∈(-2,0)时,y=4-x2单调递增,所以函数y=lo(4-x2)单调递减.故选A.
2.B　因为lg a+lg b=0,所以lg(ab)=0,即ab=1,
所以g(x)=-logbx=lox=logax,
故函数f(x)=ax与g(x)=logax单调性相同,
因为A,C,D中函数单调性不同,B中函数单调性相同,故A,C,D错误,B正确.
3.A　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2+3|-x|=x2+3|x|=f(x),所以f(x)为偶函数,所以a=f =f(-log23)=f(log23),易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且log23>log22==>1=1000>100-0.1,所以f(log23)>f >f(100-0.1),即a>c>b.故选A.
4.B　令x=,y=0,则f >0,且f 1-f ×f(0)=f +f(0),整理,得-f(0)=f(0).
若f(0)≠0,则-=1,又f>0,所以-<0,矛盾,所以f(0)=0.
令y=-x,则f(0)[1-f(x)f(-x)]=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
设x1,x2为区间(0,1)上的任意两个值,且x1f(x2-x1)[1-f(x2)f(-x1)]=f(x2)+f(-x1),
即f(x2-x1)[1+f(x2)f(x1)]=f(x2)-f(x1).
易得00.
因为f(x2)>0,f(x1)>0,所以1+f(x2)f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x)为(-1,1)上的增函数.
由f(ln x)故选B.
方法技巧　抽象函数奇偶性的探究,需采用赋值法求f(0)的值,这样才能找出f(x)与f(-x)的联系;抽象函数单调性的探究,需根据定义证明.
5.D　在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与直线y=a,如图所示:
由图可知,a∈(0,2],故A错误;
易得f(x3)==a,又0易得lox1=a=log2x2,所以log2x1+log2x2=0,
即log2(x1x2)=0,所以x1x2=1,故C错误;
由上述分析知,=x3∈[5,+∞),所以的取值范围为[5,+∞),故D正确.
6.ABC　对于A,当a>1时,log2(a-1)=1,解得a=3,当a≤1时,=1,解得a=0,所以a=0或a=3,故A中结论不正确;
对于B, f=log2=log2=-log22 022<0, f=f(-log22 022)===2 022,故B中结论不正确;
对于C,当a>1时,log2(a-1)≥2=log24,即a-1≥4,解得a≥5,当a≤1时,≥2,解得a≤-1,所以a≤-1或a≥5,故C中结论不正确;
对于D,函数y=log2(x-1)在(1,+∞)上单调递增,值域为R,当log2(x-1)=k时,k∈R,函数y=在(-∞,1]上单调递减,值域为,当=k时,k≥,
故当方程f(x)=k有两个不同的实数根时,k≥,故D中结论正确.
故选ABC.
7.答案　(-∞,-1]
解析　由题意得
解得a≤-1.
8.答案　4
解析　y=在(-3,+∞)上单调递减,y=log2(x+3)在(-3,+∞)上单调递增,
当x=1时,=log2(1+3)=2,
所以g(x)=
易得当x=1时,g(x)取最小值,为g(1)=2,
所以当x≥0时,g(x)≥2,即g(x)在区间[0,+∞)上的值域为[2,+∞).
f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,
令f(x)=-x2-6x-3=2,解得x=-1或x=-5,
画出g(x)在[0,+∞)上的图象及f(x)的图象如图所示,
x1∈[m,n], x2∈[0,+∞),使f(x1)=g(x2)成立,等价于f(x)在[m,n]上的值域是g(x)在[0,+∞)上的值域的子集,所以mmin=-5,nmax=-1,
所以n-m的最大值为-1-(-5)=4.
9.解析　(1)因为g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象过点,所以loga=2,解得a=,
所以g(x)=lox.
又因为函数f(x)的图象与g(x)=lox的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=.
(2)易知g(x)=lox在(0,+∞)上单调递减,
由g(3x-1)>g(-x+5),
得lo(3x-1)>lo(-x+5),
则解得所以x的取值范围为.
(3)因为 x∈(1,+∞),g(x+2)=lo(x+2)所以m≥-1.
故实数m的取值范围是[-1,+∞).
10.解析　(1)当x≤1时,g(x)=|2x-1|,此时0<2x≤2,-1<2x-1≤1,则0≤g(x)=|2x-1|≤1;
当x>1时,g(x)=f(x)-1=1-log2x,其单调递减,此时g(x)综上所述,当x=1时,g(x)取最大值,为1.
(2)由(1)得g(x)≤1,
所以对任意的x1∈[4,16], f(2kx1)·f()>1恒成立,
由题意得, f(2kx1)·f()=[2-log2(2kx1)](2-log2)=2(2-k-log2x1)(1-log2x1),
令m=log2x1,2≤m≤4,
则对任意的x1∈[4,16],f(2kx1)·f()>1恒成立等价于对任意的m∈[2,4],2(2-k-m)(1-m)>1恒成立,
即2m2+2(k-3)m-2k+3>0对任意的m∈[2,4]恒成立.
令h(m)=2m2+2(k-3)m-2k+3,m∈[2,4],
易知h(m)=2m2+2(k-3)m-2k+3的图象开口向上,对称轴为直线m=-=.
当≤2,即k≥-1时,h(m)min=h(2)=8+4(k-3)-2k+3>0,解得k>,符合题意;
当2<<4,即-50,即k2-2k+3<0,无解,舍去;
当≥4,即k≤-5时,h(m)min=h(4)=32+8(k-3)-2k+3=6k+11>0,解得k>-,不符合题意,舍去.
综上所述,实数k的取值范围为.
方法点睛　不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],
　　(1)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],则f(x1)　　(2)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],则f(x1)　　(3)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],则f(x1)　　(4)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],则f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集.
11.解析　(1)因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,所以ln+ln=0在定义域内恒成立,即=1在定义域内恒成立,
整理,得(2-a)2-a2x2=1-x2在定义域内恒成立,
所以解得a=1.
当a=1时, f(x)=ln,则函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,且f(-x)=ln=ln=-f(x),满足题意,所以a=1.
(2)由(1)知, f(x)=ln,则f(2x)=ln(x>0),易得f(2x)=ln在(0,+∞)上单调递减,
所以其在闭区间[x1,x2]上的值域为[f(), f()],
则
即
整理,得
这表明方程2t·22x+(t-2)·2x+2-t=0在(0,+∞)内有两个不相等的实数根x1,x2.
令2x=u,当x>0时,u>1,以上结论等价于关于u的方程2tu2+(t-2)·u+2-t=0在(1,+∞)内有两个不相等的实数根.
设函数h(u)=2t·u2+(t-2)·u+2-t,其图象的对称轴为直线u=.
可得
或
化简得或
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