2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练6　同角三角函数关系及诱导公式的运用

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2025苏教版高中数学必修第一册
专题强化练6　同角三角函数关系及诱导公式的运用
1.(2024河南安阳月考)已知A为三角形ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则三角形ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形　　　　B.钝角三角形
C.等腰直角三角形　　　　D.等腰三角形
2.(2024江苏滨海中学期中)已知sin α+cos α=-,则的值为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
3. (2024河南郑州期末)已知3cossin(π-θ)=2,且θ为第二象限角,则=(　　)
A.-1-　　　　B.1+　　　　C.-1　　　　D.1-
4. (2024吉林长春外国语学校期末)若θ为第四象限角,且sin(θ+π)=,则-的值是(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.　　　　D.-
5.(2024江苏泰州期末统考)已知sin=,则cos+cos2=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
6.(2023江苏奔牛高级中学期末)已知△ABC中,sin A-2cos A=,则tan A=(　　)
A.-3　　　　B.3
C.-3或　　　　D.3或-
7.(多选题)(2024陕西西安月考)已知θ和φ都是任意角,若θ+φ=+2kπ,k∈Z,则称θ与φ广义互余.若sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α广义互余的有(　　)
A.sin β=　　　　B.cos(π+β)=
C.tan β=　　　　D.tan β=
8.计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　　　.
9.证明下列三角恒等式:
(1)=;
(2)=.
10.(2023北京师大附中期末)已知α是第四象限角.
(1)若cos α=,求的值;
(2)若5sin2α+5sin αcos α+1=0,求tan α的值.
11. (2024江苏常州期末)在平面直角坐标系xOy中,角α的始边在x轴的非负半轴上,终边经过第四象限内的点P(1,m),且cos α=-m.
(1)求m的值;
(2)求的值.
12. (2024江苏天一中学期末)(1)已知tan α是关于x的方程2x2+x-1=0的一个实数根,且α是第一象限角,求3sin2α-sin αcos α+2cos2α的值;
(2)已知sin α+cos α=,且α∈(0,π),求-的值.
13. (2024江苏盐城第一中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的顶角与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,且OA⊥OB.
(1)求的值;
(2)若cos α+cos β=,求tan β的值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　同角三角函数关系及诱导公式的运用
1.B　因为sin A+cos A=,所以(sin A+cos A)2=,即1+2sin Acos A=,所以sin Acos A=-<0.
又00,cos A<0,所以A为钝角,
所以三角形ABC是钝角三角形.故选B.
2.A　因为sin α+cos α=-,
所以(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,
所以sin αcos α=-,
所以======-.故选A.
3.D　因为3cossin(π-θ)=3sin2θ=2,
所以sin2θ=,所以tan2θ==2.
因为θ为第二象限角,所以tan θ=-,
则===1-.故选D.
4.A　因为sin(θ+π)=-sin θ=,所以sin θ=-,
所以-=-=-
=-=-+
=-,
因为θ为第四象限角,所以结合sin2θ+cos2θ=1可知cos θ=,所以原式==4,故选A.
5.C　cos+cos2=cos+1-sin2=sin+1-sin2=+1-=.故选C.
6.A　∵sin A-2cos A=,∴=,即=,
∵A∈(0,π),∴cos2A≠0,∴=,
解得tan A=或tan A=-3.
∵sin A-2cos A=>0,∴sin A>2cos A,
∴tan A>2(cos A>0)或tan A<0(cos A<0),
∴tan A=-3.故选A.
7.AC　若角α与β广义互余,则α+β=+2kπ(k∈Z),即β=+2kπ-α(k∈Z).
由sin(π+α)=-,可得sin α=.
对于A,若α与β广义互余,则sin β=sin=cos α=±=±,
由sin β=可得α与β可能广义互余,故A正确;
对于B,若α与β广义互余,则cos β=cos=sin α=,
而由cos(π+β)=得cos β=-,故B错误;
对于C、D,若α与β广义互余,则sin β=±,cos β=,所以tan β==±,由此可得C正确,D错误.故选AC.
名师点睛　解决新定义问题的关键是准确理解定义,如本题中的“α与β广义互余”的定义,由α+β=+2kπ(k∈Z)得β=+2kπ-α(k∈Z),建立角α和β的三角函数间的关系,由此即可判断各项是否正确.
8.答案　
解析　易知sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,
∴原式=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos23°+cos22°+cos21°=44+=.
9.证明　(1)左边=====+=+==右边,
所以原等式得证.
(2)左边=
==
===
===右边,
所以原等式得证.
10.解析　(1)∵α是第四象限角,
∴sin α=-=-,
∴tan α==-2,
则原式===-.
(2)∵5sin2α+5sin αcos α+1=0,
∴sin2α+sin αcos α=-,
∴==-,
∴tan α=-或tan α=-.
11.解析　(1)因为角α的始边在x轴的非负半轴上,终边经过第四象限内的点P(1,m),cos α=-m,
所以cos α==-m,且m<0,
所以m=-2.
(2)
=
=cos α·tan α=cos α·=sin α,
由(1)知P(1,-2),
所以原式=sin α==-.
12.解析　(1)设方程2x2+x-1=0的两根分别为x1,x2,解方程2x2+x-1=0,得x1=-1,x2=,
因为tan α是关于x的方程2x2+x-1=0的一个实数根,且α是第一象限角,
所以tan α=,
所以3sin2α-sin αcos α+2cos2α
==
==.
(2)因为sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-,即sin αcos α=-,
又α∈(0,π),
所以α∈,
故cos α-sin α=-
=-=-=-,
所以-===.
13.解析　由题意知α∈,β∈,且β=α+.
(1)
=
==-1.
(2)由cos α+cos β=可得cos+cos β=,
即sin β+cos β=,所以(sin β+cos β)2=,
即1+2sin βcos β=,所以sin βcos β=-,
即=-,即=-,
解得tan β=-或tan β=-.
因为β为钝角,且sin β+cos β>0,
所以β∈,
所以tan β<-1,故tan β=-.
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