2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练7　三角函数图象与性质的应用

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2025苏教版高中数学必修第一册
专题强化练7　三角函数图象与性质的应用
1.(2024天津和平期末)已知函数f(x)=sin(2x+φ),0≤φ<2π,若 x∈R, f(x)≤f恒成立,则φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2023江苏南京期中)“sin x0=0”是“函数y=tan x的图象关于(x0,0)中心对称”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3. (2024江苏南通期末)设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为T.若2πA.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4. (2024浙江杭州期末)已知函数f(x)=2sin(ω∈N*)的图象的一条对称轴为直线x=,当ω取最小值时,关于x的方程f(x)=a在区间上恰有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.[-1,1)
C.[-1,2)　　　　D.[1,2)
5.(多选题)(2023河北石家庄二中月考)若函数f(cos x)=1-cos nx,n∈Z,则下列说法正确的是(　　)
A.若n=1,则f(sin x)=1-sin x
B.若n=1,则 x∈R, f(cos x)≥0恒成立
C.若n=1,则方程f(sin x)=有8个根
D.若f(sin x)=f(cos x),则n=4k,k∈Z
6.(2022四川绵阳一诊)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ),=3,且对任意x∈R,都有f +f =0,若f(x)在上单调,则ω的最大值为(　　)
A.11　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.5
7. (2024江苏镇江期末)已知函数f(x)=2sin 3ωx(ω>1),若f(x)的最小正周期为,则ω=　　　　;若f(x)的一个单调递增区间为,一个单调递减区间为,且β-α≥,则ω=　　　　.
8.(2024四川成都月考)函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是　　　　.(填序号)
①　②
③　④
9.(2024江西南昌新建二中开学考试)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(-π<φ<0,ω>0)的图象关于直线x=对称,且两相邻对称中心之间的距离为.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数,求|a|的最小值;
(3)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间上总有实数解,求实数k的取值范围.
10.已知定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,当x≥时, f(x)=-sin x.
(1)作出y=f(x)的图象;
(2)求y=f(x)的解析式;
(3)若关于x的方程f(x)=-有解,记方程所有解的和为M,结合(1)中的图象,求M的值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练7　三角函数图象与性质的应用
1.D　因为 x∈R, f(x)≤f恒成立,
所以函数f(x)=sin(2x+φ)在x=时取最大值,
即f=sin=1,
所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ=-+2kπ,k∈Z,
又因为0≤φ<2π,所以φ=,故选D.
2.A　当sin x0=0时,x0=kπ,k∈Z,此时tan x0=0,y=tan x的图象关于(x0,0)中心对称,
当函数y=tan x的图象关于(x0,0)中心对称时,x0=,k∈Z,此时sin x0不一定为0.
所以“sin x0=0”是“函数y=tan x的图象关于(x0,0)中心对称”的充分不必要条件.故选A.
3.B　因为2π0,所以2π<<3π,即<ω<1.
由对任意x∈R, f(x)+f≥0恒成立,可知-f 为f(x)的最小值,又f(x)∈[-1,1],所以f =1,即+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+6k(k∈Z),结合选项得,ω=.故选B.
4.D　由题意可知,ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=+(k∈Z),
又因为ω∈N*,
所以ω的最小值为2,此时f(x)=2sin.
令t=2x+,x∈,则t∈,
作出y=2sin t,t∈的大致图象如图所示,
要想关于x的方程f(x)=a在区间上恰有两个不相等的实根,则只需y=2sin t的图象与直线y=a有两个交点即可,
根据图象知,实数a的取值范围是[1,2).
故选D.
5.ABD　对于A,当n=1时, f(cos x)=1-cos nx=1-cos x,令t=cos x,则f(t)=1-t,t∈[-1,1],
所以f(sin x)=1-sin x,故A正确;
对于B,当n=1时, f(cos x)=1-cos x,因为 x∈R,cos x∈[-1,1],所以f(cos x)=1-cos x≥0,故B正确;
对于C,当n=1时, f(sin x)= 1-sin x=,
画出y=1-sin x,y=的图象,如图所示,
由图可得两函数图象有7个交点,
故方程f(sin x)=有7个实数根,故C错误;
对于D,因为sin x=cos,
所以 f(sin x)=f=1-cos=1-cos,
因为f(cos x)=1-cos nx, f(sin x)=f(cos x),
所以cos=cos nx,
所以=kπ(k∈Z),
所以n=4k,k∈Z,故D正确.故选ABD.
6.D　由=3,得ω+φ=kπ+,k∈Z.①
由对任意x∈R,都有f +f =0,得函数f(x)图象的一个对称中心是,∴-ω+φ=mπ,m∈Z,②
由①②,得3φ=(k+2m)π+(k,m∈Z),
又|φ|<,∴φ=或φ=-.
当φ=时,ω=3k+1,k∈Z且ω=-6m+1,m∈Z.
当ω=7时, f(x)=3sin,若x∈,
则<7x+<,∴f(x)在上不单调.
当φ=-时,ω=3k+2,k∈Z且ω=-6m-1,m∈Z.
当ω=11时, f(x)=3sin,若x∈,则<11x-<,∴f(x)在上不单调.
当ω=5时, f(x)=3sin,若x∈,则<5x-<,∴f(x)在上单调.故选D.
7.答案　;
解析　因为函数f(x)=2sin 3ωx(ω>1)的最小正周期为=,所以ω=.
由f(x)的一个单调递增区间为,一个单调递减区间为,得当x=时,函数取得最大值,即3ω×=2kπ+,k∈Z,即ω=2k+,k∈Z,
又因为β-α≥,所以T=≥,解得ω≤4,
又ω>1,所以1<ω≤4,
所以取k=1,此时ω=2+=.
8.答案　①②④③
解析　∵|tan x|≥0,
∴y=|tan x|的图象在x轴及其上方,
∴y=|tan x|的图象是题图①.
易知y=tan x的图象是题图②,y=tan(-x)=-tan x的图象是题图④.
易知y=tan|x|是偶函数,
∴y=tan|x|的图象关于y轴对称,
∴y=tan|x|的图象是题图③.
故四个函数对应的图象依次是①②④③.
9.解析　(1)因为函数f(x)图象的两相邻对称中心之间的距离为,所以最小正周期T=2×=π,即=π,所以ω=2.
又函数f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,
又-π<φ<0,所以φ=-,故f(x)=2sin,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)g(x)=f(x+a)=2sin为偶函数,
所以2a-=kπ+,k∈Z,解得2a=kπ+,k∈Z.
当k=-1时,|a|取得最小值,为.
(3)关于x的方程f(x)+log2k=0在区间上总有实数解,即y=log2k与y=-f(x)的图象在区间上总有交点,
因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-1≤-2sin≤2,即-1≤log2k≤2,解得≤k≤4,
故k的取值范围是.
10.解析　(1)y=f(x)的图象如图所示.
(2)任取x∈,则-x∈.
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,
所以f(x)=f ,
又当x≥时, f(x)=-sin x,
所以f(x)=f =-sin=-cos x,
所以f(x)=
(3)当x=时, f =-.因为-∈,所以结合(1)中图象可知,f(x)=-有4个解,分别设为x1,x2,x3,x4,且x1所以M=x1+x2+x3+x4=π.
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