2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--1.1　集合的概念与表示（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第1章　集合
1.1　集合的概念与表示
基础过关练
题组一　集合的概念与集合中元素的特性
1.(2024湖北孝感部分学校月考)下列各组对象不能构成集合的是(　　)
A.参加杭州亚运会的全体电竞选手
B.小于的正整数
C.2023年高考数学试题中的所有难题
D.所有无理数
2.(2023江苏扬州宝楠国际学校月考)如果集合M={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是　　(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形
3.(2024重庆万州第二高级中学月考)下列说法正确的是(　　)
A.我校爱好足球的同学组成一个集合　　　　
B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D.数1,0,5,,,,组成的集合有7个元素
4. (2024江苏常熟月考)由a2,2-a,4所构成的集合记为A.
(1)是否存在实数a,使得A中只含有一个元素 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)若A中只含有两个元素,求实数a的值.
题组二　元素与集合的关系
5.(2024山东淄博月考)给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3 Z;④|-3| N;⑤0∈ .其中正确的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
6.(2024湖南长沙麓山教育共同体第一次联考)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x Q},则M=(　　)
A.{1}　　　　B.{2}　　　　
C.{3}　　　　D.{1,2,3}
7.(多选题)(2024江苏响水中学阶段检测)已知集合A={a-2,2a2+5a,1+2a},-3∈A,则a的值可能为　　(　　)
A.-1　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.-2
8.(2023河北石家庄二中适应性考试)已知集合P={x|x2+2ax+a<0},若2 P,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>-　　　　B.a≥-
C.a<-　　　　D.a≤-
9.(2023江苏靖江高级中学期中)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},集合B={x|x=3k,k∈Z},集合C={x|x=6k-1,k∈Z},若a∈A,b∈B,c∈C,则(　　)
A.c-b A　　　　B.a-c∈B
C.a+b∈C　　　　D.a+b+c∈B
10.(2024江苏南通统考)若集合A={x|ax2+2x-1=0}中至多有一个元素,则实数a的取值范围是　　　　　.
11.(2023江苏扬州江都育才中学阶段测试)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A是不是双元素集合 说明理由.
题组三　集合的表示方法
12.下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为　　(　　)
A.{x|1B.{x|1≤x≤5}
C.{x|1≤x≤5,x∈N*}　　　　
D.{x|x∈N*}
13.(2024湖南株洲期中)下列与集合{2 023,1}表示同一集合的是(　　)
A.(2 023,1)
B.{(x,y)|x=2 023,y=1}
C.{x|x2-2 024x+2 023=0}
D.{x=2 023,y=1}
14.(2024江苏江阴期中)已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=(　　)
A.{-1}　　　　 B.{1,2}
C.{0,1,2}　　　　D.{-1,0,1,2}
15.(2024江苏溧阳中学阶段检测)集合A=用列举法表示为(　　)
A.{-2}　　　　 B.{-2,2}　　　　
C.{-2,2,4}　　　　D.{-2,2,4,5}
16.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有被3除余2的正整数构成的集合;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标构成的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合.
题组四　集合相等
17.(教材习题改编)若{a2,0,-1}={a,b,0},则a2 023+b2 023的值是(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
18.(2024上海新中高级中学月考)设集合M={x||x-1|<2,x∈Z},N={y|y=-x2+2x+1,y∈N},则集合M与N的关系是　　　　.
19.(2023辽宁朝阳建平实验中学月考)已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　.
20.(2024重庆璧山来凤中学月考)已知a,b∈R,集合A={x|ax2+x+1=0},B={x|b2+bx+1=0},若A=B,则ab=　　　　.
答案与分层梯度式解析
1.1　集合的概念与表示
基础过关练
1.C　选项A,B,D中的对象均是确定的,能构成集合.选项C中,难题的标准是不确定的,不能构成集合.故选C.
2.D　由集合中元素的互异性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.
3.C　A中说法错误,“爱好足球的同学”不满足集合中元素的确定性,故不能组成一个集合;B中说法错误,不大于3的自然数组成的集合为{0,1,2,3};C中说法正确;D中说法错误,因为=,=,所以这些数组成的集合有5个元素.
4.解析　(1)存在.
若A中只含有一个元素,则a2=2-a=4.
由2-a=4,解得a=-2,此时a2=4,符合题意.
故当a=-2时,A中只含有一个元素.
(2)由题意可知,三个数中有且只有两个数相等,即a2=2-a≠4或a2=4≠2-a或2-a=4≠a2.
当a2=2-a≠4时,解得a=1;
当a2=4≠2-a时,解得a=2;
当2-a=4≠a2时,无解.
综上,当a=1或a=2时,集合A中只含有两个元素.
5.A　由元素与集合的关系知①正确.故选A.
6.A
7.BD　由题意,得-3=a-2或-3=2a2+5a或-3=1+2a,
解得a=-1或a=-或a=-2.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,1+2a=-2,满足题意;
当a=-2时,a-2=-4,2a2+5a=-2,1+2a=-3,满足题意.故选BD.
8.B　由题意得4+4a+a≥0,解得a≥-.故选B.
9.B　由题意设a=3m-1,b=3n,c=6p-1,m,n,p∈Z,则c-b=6p-1-3n=3(2p-n)-1,即c-b∈A;a-c=3m-1-(6p-1)=3m-6p=3(m-2p),即a-c∈B;a+b=3m-1+3n=3(m+n)-1,当m+n不是偶数时,a+b C;a+b+c=3m-1+3n+6p-1=3(m+n+2p)-2,即a+b+c B.故选B.
10.答案　a≤-1或a=0
解析　当a=0时,A={x|2x-1=0}=,符合题意;
当a≠0时,Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
综上所述,实数a的取值范围为a≤-1或a=0.
11.解析　(1)证明:由题意得,若2∈A,则=-1∈A,所以 = ∈A,所以=2∈A,
所以集合A中还有另外两个元素-1,.
(2)不是.理由如下:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A,所以=1- =∈A,所以 =x∈A,其中x≠,≠,x≠,
所以集合A中包含x,,.因为x,,互不相等,所以集合A不是双元素集合.
12.C　由题图知,集合是由正整数1,2,3,4,5组成的,用描述法可表示为{x|1≤x≤5,x∈N*}.故选C.
13.C　选项A不是集合,选项B表示点集,选项D是两条直线构成的集合.
由x2-2 024x+2 023=0,解得x=2 023或x=1,
所以{x|x2-2 024x+2 023=0}={2 023,1},故C正确.
易错警示　在用描述法表示数集与点集时,数集的代表元素用一个字母表示,点集的代表元素用有序实数对表示.
14.C　因为y=|x|,x∈A,所以当x=-1或x=1时,y=1;当x=0时,y=0;当x=2时,y=2.因此集合B={0,1,2}.故选C.
15.D　因为x∈Z,∈N,所以6-x的取值为1或2或4或8,即x的取值为5或4或2或-2,即A={-2,2,4,5}.故选D.
16.解析　(1){x|x=3n+2,n∈N}.
(2).
(3){x|x=|x|,x∈Z}.
17.B　由题意得a≠0,b≠0,且或所以或将两组解分别代入a2 023+b2 023,得a2 023+b2 023=0.故选B.
18.答案　M=N
解析　由|x-1|<2,解得-1又x∈Z,所以M={0,1,2},
因为y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≤2,且y∈N,
所以N={0,1,2}.所以M=N.
19.答案　A=B
解析　A==…,-,-,-,,,,…,B=xx=k±,k∈Z=…,-,-,-,,,,…,故A=B.
20.答案　0或
解析　当b=0时,B={x|1=0}= ,
因为A=B,所以A= ,
则a≠0,且Δ=1-4a<0,解得a>,此时ab=0.
当b≠0时,B={x|b2+bx+1=0}=,
由A=B得A中只含有一个元素,
若a=0,则A={x|x+1=0}={-1},所以=-1,即b2-b+1=0,显然此方程无解,故不符合题意;
若a≠0,则Δ=1-4a=0,解得a=,此时A=={-2},
所以=-2,解得b=1(二重根),经检验符合题意,此时ab=.综上可得,ab=0或ab=.
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