2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--1.3　交集、并集（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
1.3　交集、并集
基础过关练
题组一　交集的运算
(2024江苏扬中高级中学期中)已知集合A={x|-≤x≤},
B={1,2,3,4},则A∩B=(　　)
A.{1}　　　 B.{1,2}
C.{-2,-1,1,2}　　　　D.{-2,-1,0,1,2,3,4}
2.(教材习题改编)已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={-2,-1,0,3,4},则A∩B中的元素个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.(2024江苏淮安期末)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时,甲说:我去过的景点比乙多,但没去过淮安方特;乙说:我没去过龙宫大白鲸世界;丙说:我们三个人去过同一个景点.则乙一定去过的景点是　　　　 .
题组二　并集的运算
(2024江苏无锡梅村高级中学期中)已知集合A={x|x2-3x=0},
B={1,2,3},则A∪B=(　　)
A.{3}　　　　 B.{1,2,3}
C.{0,1,2}　　　　D.{0,1,2,3}
5.(2024江苏扬州邵伯高级中学期中)已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1A.{x|1C.{x|1≤x≤3}　　　　D.{x|06.(2024上海徐汇阶段检测)已知集合A={x|y=},B={y|y=x2-4x+5},则A∪B=　　　　.
题组三　集合的综合运算
7.(2024江苏扬州期中)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则( UA)∩B等于(　　)
A.{-1}　　　　B.{0,1}
C.{-1,2,3}　　D.{-1,0,1,3}
8.(2024江苏淮安中学阶段检测)已知全集 U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0A.{x|x<2}　　　　B.{x|1C.{x|19.(教材习题改编)如图,U为全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)
A.(M∩P)∩S　　　　 B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( US)　 D.(M∩P)∪( US)
题组四　利用集合运算解参数问题
10.(2024江苏南通阶段测试)设全集U={2,3,m2+m-4},集合A={m,2}, UA={3},则m=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.±2　　　　D.-4
11.(2023江苏扬中第二高级中学开学考试)已知集合A={x|ax≤1},B={2,},若A∪B=A,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.(0,2)　　　　D.
12.(2023江苏苏州外国语学校期中)已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|-113.(2024广东佛山期末)集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax+b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},则ab=　　　　.
能力提升练
题组一　集合的综合运算
1.(多选题)(2024江苏南京期中)已知集合U,A,B的关系如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.A∩B=B
B.B∩( UA)=
C. U(A∪B)= U(A∩B)
D.若U为自然数集,A={1,2,3,4},B={1,3,4},则A∩( UB)={2}
2.(2024江苏沭阳如东高级中学期末)已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U有18个元素,A∩B≠ .设集合( UA)∩( UB)中有x(x∈N*)个元素,则x的取值范围是(　　)
A.{x|3≤x≤8,x∈N*}
B.{x|2≤x≤8,x∈N*}
C.{x|8≤x≤12,x∈N*}
D.{x|10≤x≤15,x∈N*}
3.(2024广东东莞期末)设U={0,1,2,3,4},A与B是U的两个子集,若A∩B={1,2},则称(A,B)为一个“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”(规定:当A≠B时,(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)的个数是(　　)
A.25　　　　B.26　　　　
C.27　　　　D.28
4.(教材习题改编)某校高中部举行数学、物理、化学三科竞赛,参赛学生中至少参加一科竞赛的有:数学807人,物理738人,化学437人;至少参加其中两科的有:数学和物理593人,数学和化学371人,物理和化学267人;三科都参加的有213人.则该校参加竞赛的学生总人数为　　　　.
题组二　集合运算中的参数问题
5.已知集合A={x|00},若(A∪B) C,则实数m的取值范围为(　　)
A.{m|-2≤m≤1}　　　　B.
C.　　　　D.
6.(2022江苏盐城响水中学期中)已知U=R,集合A={x|-6≤2x-2≤0},B={x|-m≤x≤m}.若A∩( UB)≠ ,则实数m的取值范围为　　　　.
7.(2024江苏常州期中)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-bx+2=0}.
(1)若A∪B=A,求a的取值集合;
(2)若A∩C=C,求b的取值集合.
8.(2024江苏江浦高级中学期末)已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若( RA)∪B= RA,求实数m的取值范围;
(2)若( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.3　交集、并集
基础过关练
1.B
2.B　由集合A的描述知:x是除以3余数为1的整数,
显然-1 A,0 A,3 A,而-2∈A,4∈A,
所以A∩B={-2,4},有2个元素.故选B.
3.答案　西游乐园
信息提取　(1)甲去过龙宫大白鲸世界、西游乐园;(2)乙去过淮安方特或西游乐园;(3)三个人去过同一个景点.
数学建模　本题以甲、乙、丙三位同学是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点为背景,构建“集合思想”来判断乙一定去过的景点. 先从乙说的推断,可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园,再从甲说的推断,可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园,则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个,最后结合丙说的,利用集合交集的思想,即可推断出乙一定去过西游乐园.
解析　根据甲、乙、丙三位同学的说法,可推断出乙一定去过西游乐园.
4.D　因为A={x|x2-3x=0}={0,3},B={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.故选D.
5.B　在数轴上表示出集合A,B,如图:
所以A∪B={x|0≤x<4}.故选B.
6.答案　{x|x≥-1}
解析　由题意得,x+1≥0,解得x≥-1,
故A={x|x≥-1},
y=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1,故B={y|y≥1},
故A∪B={x|x≥-1}.
7.A　由已知,得 UA={-1,3},所以( UA)∩B={-1}.
故选A.
8.D　因为A={x|x≥2},所以 UA={x|x<2},
因为B={x|0所以( UA)∩B={x|19.C　题图中的阴影部分是M∩P的子集,不属于集合S,而属于集合S的补集,即是 US的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩ US.故选C.
10.A　因为A={m,2}, UA={3},
所以全集U=( UA)∪A={2,3,m}={2,3,m2+m-4},
所以m=m2+m-4,解得m=±2,
当m=2时,集合A中的元素不满足互异性,舍去;
当m=-2时,集合A={-2,2}, UA={3},U={-2,2,3},满足题意.
综上所述,m=-2.故选A.
易错警示　本题易忽略“集合中的元素具有互异性”这一隐含条件,所以在求出m的值之后需要代到具体集合中验证是否满足元素之间的互异性.
11.D　因为A∪B=A,所以B A.
当a=0时,ax≤1的解集为R,显然有B A;
当a>0时,ax≤1的解集为,由B A得≥2,所以 0当a<0时,ax≤1的解集为,显然有B A.综上,a≤.故选D.
12.答案　a≤-4或a≥5
解析　易得A≠ ,所以要使A∩B= ,需满足a+3≤-1或a≥5,解得a≤-4或a≥5.
13.答案　30
解析　因为集合A={x|x2-8x+15=0}={3,5},A∪B={2,3,5},A∩B={3},所以B={2,3},
即2,3为方程x2-ax+b=0的两个实数根,
所以2+3=a,2×3=b,即a=5,b=6,所以ab=30.
能力提升练
1.ABD　对于A,由题图可知,B A,所以A∩B=B,故A正确;
对于B,由题图可知,B∩( UA)= ,故B正确;
对于C,由题图可知,A∪B=A,A∩B=B,且 UA≠ UB,故 U(A∪B)≠ U(A∩B),故C错误;
对于D,若U为自然数集,A={1,2,3,4},B={1,3,4},则A∩( UB)={2},故D正确.
2.A　因为集合A中有10个元素,B中有6个元素,A∩B≠ ,
所以A∩B中至少有1个元素,至多有6个元素,
所以A∪B中至多有15个元素,至少有10个元素,
因为集合( UA)∩( UB)= U(A∪B)中有x个元素,所以18-15≤x≤18-10,且x∈N*,即3≤x≤8,x∈N*,
即x的取值范围是{x|3≤x≤8,x∈N*}.故选A.
3.C　对子集A分类讨论:
若A={1,2},此时集合B可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},
{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4},共8个;
若A={0,1,2},此时集合B可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个;
若A={1,2,3},此时集合B可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,4},{0,1,2,4},共4个;
若A={1,2,4},此时集合B可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{0,1,2,3},共4个;
若A={0,1,2,3},此时集合B可以为{1,2},{1,2,4},共2个;
若A={0,1,2,4},此时集合B可以为{1,2},{1,2,3},共2个;
若A={1,2,3,4},此时集合B可以为{1,2},{1,2,0},共2个;
若A={0,1,2,3,4},此时集合B可以为{1,2},共1个.
所以共有8+4+4+4+2+2+2+1=27个.
故选C.
4.答案　964
解析　解法一:只参加物理和数学的人数为593-213=380,
只参加数学和化学的人数为371-213=158
只参加物理和化学的人数为267-213=54,
画出Venn图如图所示:
所以参加竞赛的学生总人数为56+91+12+380+158+54+213=964.
解法二:设集合A={x|x为参加数学竞赛的学生},集合B={x|x为参加物理竞赛的学生},集合C={x|x为参加化学竞赛的学生},则card(A)=807,card(B)=738,card(C)=437,card(A∩B)=593,card(B∩C)=267,card(A∩C)=371,card(A∩B∩C)=213,利用容斥原理得,该校参加竞赛的学生总人数为card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=807+738+437-593-267-371+213=964.
方法技巧　一般地,用列举法表示的集合或研究抽象集合之间的关系时,用Venn图比较简便,要熟悉集合的交集、并集、补集的Venn图表示,如图所示:
①表示A∩B;②表示A∩( UB);③表示B∩( UA);④表示 U(A∪B)=( UA)∩( UB).
教材拓展　把含有有限个元素的集合A叫作有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,如A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
5.B　易得A∪B={x|-1①当m<0时,集合C=,若(A∪B) C,
则-≥2,解得-≤m<0.
②当m=0时,集合C=R,满足题意.
③当m>0时,集合C=,若(A∪B) C,
则-≤-1,解得0综上所述,实数m的取值范围是.
故选B.
6.答案　(-∞,2)
解析　易得A={x|-2≤x≤1}.
当B= 时,m<0, UB=U,A∩( UB)=A,符合题意;
当B≠ 时,m≥0, UB={x|x<-m或x>m},
由A∩( UB)≠ ,得-m>-2或m<1,所以m<2,所以0≤m<2.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,2).
7.解析　(1)解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,于是A={1,2},
解方程x2-ax+(a-1)=0,即(x-1)[x-(a-1)]=0,得x=1或x=a-1.
由A∪B=A,得B A,
当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意;
当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意.
综上所述,a的取值集合为{2,3}.
(2)由(1)知,A={1,2},由A∩C=C,得C A,
当C= 时,满足C A,则方程x2-bx+2=0无解,即Δ=b2-8<0,解得-2当C≠ 时,若集合C中只含有一个元素,即C={1}或C={2},则方程x2-bx+2=0有重根1或2,
即x2-bx+2=(x-1)2或x2-bx+2=(x-2)2恒成立,显然两个等式都不恒成立,故无解;
若集合C中含有两个元素,即C={1,2},则方程x2-bx+2=0有两个不相等的实数根,分别是x1=1,x2=2,此时b=3.
故b的取值集合是(-2,2)∪{3}.
8.解析　(1)由题意知, RA={x|-3≤x≤7}.
因为( RA)∪B= RA,所以B ( RA).
①当B= 时,满足B ( RA),则m+1>2m-1,解得m<2;
②当B≠ 时,若B ( RA),则解得2≤m≤4.
综上所述,m的取值范围为{m|m≤4}.
(2)因为( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,所以B≠ ,即m+1≤2m-1,解得m≥2,
则m+1≥3,2m-1≥3.
①当2m-1≤7,即m≤4时,( RA)∩B={x|m+1≤x≤2m-1},故2m-1-(m+1)≥1,所以3≤m≤4;
②当即4③当m+1>7,即m>6时,( RA)∩B= ,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为{m|3≤m≤5}.
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