2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--2.3.1　全称量词命题与存在量词命题（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
2.3　全称量词命题与存在量词命题
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
基础过关练
题组一　全称量词命题与存在量词命题
1.(多选题)下列命题中,与“ x∈R,x2>3”表述的内容相同的是(　　)
A.能找到一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题.
(1)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除;
(4)某个四边形不是平行四边形.
题组二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断
3.(2024辽宁鞍山期中)下列命题中为真命题的是　　(　　)
A.p1: x∈R,x2+1<0
B.p2: x∈R,x+|x|>0
C.p3: x∈Z,|x|∈N
D.p4: x∈R,x2-7x+15=0
4.(多选题)(2022吉林长春北师大附属中学月考)下列四个命题中,为假命题的是(　　)
A. x∈R,x+≥2　　　　B. x∈R,x2-x>5
C. x∈R,|x+1|<0　　　　D. x∈R,|x|+x≥0
5.指出下列命题中哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对任意一个无理数x,x2也是无理数;
(2)对任意实数a,b,若a>b,则<;
(3)对任意一个实数x,都有|x|+2≥2;
(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
题组三　全称量词命题与存在量词命题的参数问题
6.(教材习题改编)若命题p:“ x∈(2,3),3x2-a>0”是真命题,则实数a的取值范围为(　　)
A.a>27　　　　B.a≤12
C.a<12　　　　D.a≥27
7.(2024江苏南京师大附中期中)若命题“ x∈R,使得x2-2x+m=0”是真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.[1,+∞)
C.(-∞,1)　　　　D.(-∞,1]
8.(2024福建泉州期中)命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≥3　　　　B.a≥4
C.a≤3　　　　D.a≥5
9.(2024江苏淮安期中)若命题“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
答案与分层梯度式解析
2.3　全称量词命题与存在量词命题
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
基础过关练
1.ABD　C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD.
2.解析　(1)全称量词命题,表示为 x∈{x|x>-1},3x+4>0.
(2)全称量词命题,表示为 a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)存在量词命题,表示为 x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除.
(4)存在量词命题,表示为 x∈{y|y是四边形},x不是平行四边形.
方法总结　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法:判断的关键是看量词.因为某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.存在量词命题的存在量词一般不能省略.
3.C　对于A, x∈R,x2+1≥1>0,故p1是假命题;
对于B,当x=0时,x+|x|=0,故p2是假命题;
对于C, x∈Z,|x|∈N,故p3是真命题;
对于D,方程x2-7x+15=0中Δ=(-7)2-4×1×15<0,此方程无解,故p4是假命题.故选C.
4.AC　对于A,当x<0时,该命题显然不成立,故A中命题是假命题;
对于B,取x=10,显然该不等式成立,故B中命题是真命题;
对于C,|x+1|≥0恒成立,故C中命题是假命题;
对于D,|x|+x≥0恒成立,故D中命题是真命题.
故选AC.
5.解析　(1)全称量词命题,假命题.如:是无理数,但()2=2是有理数,所以该命题是假命题.
(2)全称量词命题,假命题.当a=1,b=-1时,满足a>b,此时=1,=-1,>,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题,真命题.对任意一个实数x,都有|x|≥0,则|x|+2≥2,故该命题是真命题.
(4)存在量词命题,假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线,所以该命题是假命题.
6.B　因为命题p:“ x∈(2,3),3x2-a>0”为真命题,
所以a<3x2在x∈(2,3)上恒成立,
当x∈(2,3)时,12<3x2<27,所以a≤12.故选B.
7.D　由题意可知“ x∈R,使得x2-2x+m=0”成立,即方程x2-2x+m=0有实数解,所以Δ=4-4m≥0,所以m≤1.故选D.
8.A　因为命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,
所以a≥x2对任意x∈[1,2]恒成立,
所以a≥(x2)max,所以a≥4,
所以命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥4.
对于A,a≥3 /a≥4,a≥4 a≥3,所以a≥3是a≥4的必要不充分条件;
对于C,a≤3 /a≥4,a≥4 /a≤3,所以a≤3是a≥4的既不充分也不必要条件;
对于D,a≥5 a≥4,a≥4 /a≥5,所以a≥5是a≥4的充分不必要条件.故选A.
9.答案　[-4,0]
解析　因为命题“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1<0”是假命题,
所以“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1≥0”是真命题,
则Δ=(a+2)2-4=a2+4a≤0,解得-4≤a≤0,
所以实数a的取值范围是[-4,0].
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