2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--3.1　不等式的基本性质（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025苏教版高中数学必修第一册
第3章　不等式
3.1　不等式的基本性质
基础过关练
题组一　用不等式(组)表示不等关系
1.下列说法正确的是(　　)
A.某人的月收入为x元,则其不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.若小明的身高为x cm,小华的身高为y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2.已知某学生共有10元,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,设买铅笔x支,练习本y本,则满足条件的不等式组为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.(2024河南洛阳第一高级中学段考)某杂志以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本.设提价后该杂志的单价为x元,则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为　　　　　　　　.
题组二　实数(代数式)的大小比较
4.(教材习题改编)P=a(4a+7)+4,Q=(2a+1)(a+2),则(　　)
A.P>Q
B.P=Q
C.PD.P与Q的大小与a有关
5.(2024江苏南京临江高级中学月考)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y的大小关系是(　　)
A.x>y　　　　
B.x=y
C.xD.x,y的大小关系随c而定
6.(2024江苏南京联考)设P=,Q=+,R=-3,则P,Q,R的大小关系是(　　)
A.P>Q>R　　　　B.Q>R>P
C.R>P>Q　　　　D.Q>P>R
7.(2024江苏连云港学情调研)甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,步行速度小于跑步速度,那么下列结论中正确的是(　　)
A.甲先到教室　　　　B.乙先到教室
C.两个人同时到教室　　　　D.谁先到教室不确定
8.(2023江苏宿迁泗阳实验高级中学调研)“高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护,2020年起,某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内,鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x,y(单位:元/kg),甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买4 kg鸡蛋,乙每周购买12元鸡蛋.
(1)若x=8,y=12,分别求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格;
(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠),并说明理由.
题组三　不等式的性质及其应用
9.(2024江苏锡东期中)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.<
B.a2>b2
C.-a+c<-b+c
D.若a>b>c>0,则<
10.(2024江苏苏州期中)设a,b,c为实数,且a0,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.<　　　　B.>
C.<　　　　D.>
11.(2023北京首都师范大学第二附属中学月考)已知a,b∈R,下列四个条件中,使“a>b”成立的必要不充分条件是(　　)
①a>b-1;②a>b+1;③|a|>b;④a>|b|.
A.②③　　　　B.①④　　　　C.①③　　　　D.②④
12.(多选题)(2023江苏镇江中学期中)下列说法正确的是(　　)
A.若a>b,c<0,则a2c>b2c
B.若a>b,c<0,则a3cC.若aab>b2
D.若a>b>0,则>
13.(2023湖南长沙开物中学月考)若a>b>0,c|c|,求证:<.
题组四　求代数式的取值范围
14.(2024江苏镇江统考)若实数x,y满足:-2A.(0,5)　　　　B.(-1,6)　　　　
C.(-4,9)　　　　D.(-2,2)
15.(2024江苏南通模拟)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是(　　)
A.[1,5]　　　　B.[2,7]
C.[1,6]　　　　D.[0,9]
16.(2024河北张家口期末)已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则ab的最大值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.4
17.(2023江苏连云港海州高级中学段考)已知30答案与分层梯度式解析
3.1　不等式的基本性质
基础过关练
1.C　对于A,应为x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x2.C
3.答案　x≥20
解析　若提价后该杂志的单价为x元,则销售量为万本,则提价后销售的总收入为x万元,所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为x≥20.
4.A　因为P-Q=a(4a+7)+4-(2a+1)(a+2)=2a2+2a+2=2+>0,所以P>Q.
故选A.
5.C　由题意得x>0,y>0,则==<1,所以x6.D　由题意,得P-Q=-(+)=-,
因为=+5-=-=,=7=,而<,所以P-Q<0,所以P因为=,()2=11=,而>,
所以P-R>0,所以P>R,
综上,Q>P>R.故选D.
解题模板　比较两式大小时,若两式不好直接比较,可对两式进行相同的变形,如比较含有根式的两式的大小时,可先对两式平方,再比较不同部分的大小.
7.B　设甲、乙两人同时从寝室到教室的时间分别为t1,t2,寝室到教室的距离为s,两人步行速度、跑步速度分别为x,y,且0则t1=+,s=x·+y· t2=,
所以t1-t2=+-==·,
因为00,
所以t1-t2>0,即t1>t2,因此乙先到教室.故选B.
8.解析　(1)根据题意,得甲两周购买鸡蛋的平均价格为=10(元/kg);乙两周购买鸡蛋的平均价格为=(元/kg).
(2)乙的购买方式更实惠.理由如下:
由题意知,甲两周购买鸡蛋的平均价格为=(元/kg);乙两周购买鸡蛋的平均价格为=(元/kg).
因为x>0,y>0,x≠y,
所以-==>0,
即>,所以乙的购买方式更实惠.
9.C　当a=1,b=-1时,<,a2>b2显然不成立,故A、B错误;
因为a>b,所以-a<-b,即-a+c<-b+c成立,故C正确;
因为a>b>c>0,所以b-a<0,b+c>0,
所以-==<0,即>,故D错误.
故选C.
10.A　对于A,-==,
因为a0,所以b-a>0,c-a>0,
所以<0,即<,故A正确;
对于B,当a=-2,b=-1,c=1时,=<=,故B错误;
对于C,因为a0,所以>,所以>,故C错误;
对于D,因为a0,所以a2>b2>0,所以<,所以<,故D错误.
故选A.
11.C　a>b成立的必要不充分条件满足:可由a>b推出,但推不出a>b.
对于①,若a>b,则a>b>b-1,即a>b a>b-1;另一方面,若a>b-1,不妨取a=b=2,则a=b,即a>b-1 /　a>b.所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件,故①满足题意.
对于②,若a>b,不妨取a=2,b=1,则a=b+1,即a>b /　a>b+1,故②不满足题意.
对于③,若a>b,则|a|≥a>b,即|a|>b,即a>b |a|>b;另一方面,若|a|>b,不妨取a=-2,b=1,则ab /　a>b.所以“|a|>b”是“a>b”的必要不充分条件,故③满足题意.
对于④,若a>b,不妨取a=1,b=-1,则a=|b|,即a>b /　a>|b|,故④不满足题意.
故选C.
12.BCD　对于A,当a=1,b=0,c=-1时,a2c=-1,b2c=0,即a2c>b2c不成立,故A错误.
对于B,因为a3c-b3c=(a3-b3)c,当a>b,c<0时,a3-b3>0,故(a3-b3)c<0,即a3c对于C,a2-ab=a(a-b),当a0,故a2>ab,ab-b2=b(a-b),当a0,故ab>b2,所以a2>ab>b2,故C正确.
对于D,-=,若a>b>0,则a+1>0,a-b>0,所以>0,即>,故D正确.
故选BCD.
13.证明　因为c-d>0,又因为a>b>0,
所以a-c>b-d>0,所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<.因为a>b,d>c,所以a+d>b+c.因为|b|>|c|,所以b+c>0,所以0所以<.
解题模板　证明不等式时,先观察不等号左、右两边的结构特征,再利用不等式的运算性质进行证明.
14.B　由0因此-1所以x+2y的取值范围为(-1,6).故选B.
15.B　设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,则解得
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),
又a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],
所以3(a-b)∈[0,3],所以4a-2b∈[2,7].故选B.
16.A　因为1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,所以1≤(a-b)2≤4,9≤(a+b)2≤16,所以-4≤-(a-b)2≤-1,
所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15,即5≤4ab≤15,所以≤ab≤,则ab的最大值为.故选A.
17.答案　(-18,10);
解析　由16又3021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)