2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--4.1.1　根式　4.1.2　指数幂的拓展（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第4章　指数与对数
4.1　指数
4.1.1　根式　　4.1.2　指数幂的拓展
基础过关练
题组一　根式的概念与性质
1.(2023江苏淮安期中)若正数x,y满足x3=8,y4=81,则x+y=(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7
2.(2023吉林省实验中学期中)化简:+=(　　)
A.0　　　　B.2π-8
C.2π-8或0　　　　D.8-2π
3.若=,则实数a的取值范围为(　　)
A.R　　　　B.{2}　　　　
C.(2,+∞)　　　　D.(-∞,2]
4.已知实数a满足等式=,求实数a的值.
题组二　根式与分数指数幂的互化
5.(2024上海徐汇中学期中)已知a>0,将表示成有理指数幂,其结果是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2024浙江杭州期中)下列各式中一定成立的是　　(　　)
A.=n7　　　　B.=
C.=　　　　D.=
7.(2024江苏连云港板浦高级中学期中)下列各式正确的是(　　)
A.=　　　　
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)　　　　
D.=a(n>1,n∈N*)
题组三　利用指数幂的运算性质化简或求值
8.(2024江苏徐州期中)已知2a=5,8b=3,则2a-3b的值为(　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.　　　　D.
9.(2023江苏扬州江都中学月考)下列式子中错误的是　　(　　)
A.(27a3÷0.3a-1=10a2(a≠0)
B.(-)÷(+)=-(a,b>0)
C.[(2+3)2(2-3)2=-1
D.=(a>0)
10.(2023天津南开中学期中)已知a>0,b>0,则=(　　)
A.ab3　　　　B.b-3　　　　C.ab-3　　　　D.a2b-5
11.(2024江苏句容高级中学阶段检测)化简:--+=　　　　 .
12.解方程:
(1)x-3=;(2)=.
13.化简:
(1)0.008 -×81-0.25+-10×0.02;
(2)(a,b>0);
(3)·(a,b>0).
题组四　条件求值问题
14.(2024江苏镇江中学期中)若x+x-1=3,则=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
15.已知5m=2,5n=3,则54m-3n的值为　　　　.
16.(2024江苏淮安楚州中学阶段检测)已知,是方程x2-5x+3=0的两个不相等的实数根,则的值为　　　　 .
17.(教材习题改编)已知+=4,求下列各式的值.
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2;
(3).
答案与分层梯度式解析
4.1　指数
4.1.1　根式　　4.1.2　指数幂的拓展
基础过关练
1.C　由题意得x==2,y==3,所以x+y=2+3=5.故选C.
易错警示　正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个.
2.A　原式=|π-4|+(π-4)=4-π+π-4=0,故选A.
3.D　易知=≥0,所以≥0,即2-a≥0,解得a≤2.故选D.
4.解析　由题意得,≥0,所以≥1,故≥1.设=t,则a=t3(t≥1),
∵=,∴=t,
∴1+=t2,∴=t2-1,
∴1+t3=,∴1+t3=t4-2t2+1,
∴t4-t3-2t2=0,∴t2(t2-t-2)=0,
即t2(t-2)(t+1)=0,
解得t=2或t=0(舍)或t=-1(舍).
∴=t=2,∴a=8.
5.C　∵a>0,∴=====.故选C.
6.D　对于A,=n7m-7,故A错误;
对于B,==,故B错误;
对于C,当x=1,y=2时,===,=,而≠,故C错误;
对于D,=====,故D正确.故选D.
7.D　=-2,===2,故A错误;
=|3-π|=π-3,故B错误;
∵n>1,n∈N*,∴当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|,故C错误;
=a(n>1,n∈N*)成立,故D正确.故选D.
8.D　∵8b=3,∴=23b=3,∴2a-3b==.故选D.
9.C　对于A,原式=[(3a)3÷0.3a-1=3a×a=10a2(a≠0),故A正确;
对于B,原式===-(a,b>0),故B正确;
对于C,原式=[(2+3)2(3-2)2=[(2+3)2[(3-2)2=(2+3)(3-2)=1,故C错误;
对于D,原式=====(a>0),故D正确.故选C.
10.C　====ab-3.故选C.
11.答案　19
解析　--+=-1-+=+2-1-(-2)+16=19.
12.解析　(1)∵x-3==2-3,∴x=2.
(2)∵=,∴=(=[(32=,
∴x=3.
13.解析　(1)原式=-(3×1)-1×-10×(0.33=-×-10×0.3=--3=0.
(2)原式==·
=.
(3)原式=·=·=.
14.A　将x+x-1=3的等号的两边平方,得x2+x-2+2=9,则x2+x-2=7,所以===.故选A.
15.答案　
解析　54m-3n=54m·5-3n=·=24×3-3=.
16.答案　22
解析　由根与系数的关系得+=5,=3,所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
17.解析　(1)将+=4的等号的两边平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14.
(2)将a+a-1=14的等号的两边平方,得a2+a-2+2=196,所以a2+a-2=194.
(3)因为+=()3+()3,所以==a+a-1-1=14-1=13.
解题模板　在条件求值问题中,将结论根据条件进行适当变形,利用整体代入求值;在与一元二次方程的两根有关的问题中,结合根与系数的关系,利用整体代入求解.
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