2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--4.2.1　对数的概念　4.2.2　对数的运算性质（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
4.2　对数
4.2.1　对数的概念　4.2.2　对数的运算性质
基础过关练
题组一　对数的概念与性质
1.下列说法:
①只有正数有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以5为底25的对数等于±2;
④=-5成立.
其中正确的个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.(多选题)(2023吉林省实验中学期中)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A.=m与lom=e(m>0)
B.10x=6与lg 6=x
C.2=与lo27=-
D.=3与log93=
题组二　对数的运算性质
3.(2024江苏盐城第一中学期末)我们知道,任何一个正数N可以用科学记数法表示成N=a×10n(1≤a<10,n为正整数),此时lg N=n+lg a(0≤lg a<1),当n>0时,称N的位数是n+1.根据以上信息可知360的位数是(lg 3≈0.477 12)(　　)
A.27　　　　B.28　　　　C.29　　　　D.30
4.(多选题)(2024山东青岛统考)已知a=lg 2,b=lg 3,则(　　)
A.a+b=lg 6　　　　B.=log34
C.2+=log212　　　　D.b-a=lg
5.(2023江苏南京中华中学期中)一个10位正整数a的16次方根为正整数b,则b=(　　)
(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.7
6.(2023天津耀华中学月考)计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2=　　　　.
7.(2024上海浦东实验学校期中)已知x>0,y>0,若-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,则lg的取值范围是　　　　　　.
8.(2024江苏扬中高级中学期中)已知a>0,a≠1,x,y为正实数,loga=,则=　　　　.
9.(2024河北石家庄二中期中)已知a=log3-,b=log38×log2,c=,求a+b+c的值.
题组三　换底公式的运用
10.(2023江苏南通期中)计算:lg 2×log810=(　　)
A.3　　　　B.log310　　　　C.　　　　D.lg 3
11.设a=log36,b=log520,则log215用a,b表示为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.(2024江苏连云港高级中学期中)已知3a=4b=6,则+的值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
13.(2024江苏镇江第一中学阶段检测)荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看成每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.783 4,而把(1-1%)365看成每天的“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.025 5,这样,一年后的“进步”率是“退步”率的≈1 481倍,那么当“进步”率是“退步”率的5倍时,大约经过(参考数据:lg 101≈2.004 3,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)(　　)
A.70天　　　　B.80天　　　　C.90天　　　　D.100天
14.(2023江苏宿迁期中)已知a=lg 2,10b=3,则log185=　　　　.(用a,b表示)
15.(2024天津南开中学期中)(1)已知a,b,c均为正数,且3a=4b=6c,求+-的值;
(2)若60a=3,60b=5,求的值.
题组四　对数的实际应用
16.(2024江苏学业考试)2023年2月6日,土耳其发生强烈地震,造成重大人员伤亡和财产损失,江苏救援队伍紧急赴当地开展救援行动.尽管目前人们还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,里氏8.0级地震释放的能量是里氏6.0级地震释放能量的(　　)
A.6倍　　　　B.102倍　　　　C.103倍　　　　D.106倍
17.(2024江苏盐城时杨中学阶段检测)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er=Ep×10-7,其中Ep是激光器输出的单脉冲能量,Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量,S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位:km2,光斑面积与卫星高度有关).若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足:Γ=10lg(单位:dB).当卫星达到一定高度时,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,则此时Γ的大小约为(参考数据:lg 2≈0.301)(　　)
A.-76.02　　　　B.-83.98　　　　
C.-93.01　　　　D.-96.02
18.为了提高资源利用率,全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时代的要求.假设某地2022年全年用于垃圾分类的资金为500万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1 600万元的年份是(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.2027年　　　　B.2028年 C.2029年　　　　D.2030年
答案与分层梯度式解析
4.2　对数
4.2.1　对数的概念 4.2.2　对数的运算性质
基础过关练
1.B　对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.
2.BD　=m化成对数式应为logem=,即ln m=,故A错误;10x=6可化为lg 6=x,故B正确;2=化成对数式应为log27=-,故C错误;=3可化为log93=,故D正确.故选BD.
解题模板　指数式与对数式互化,关键是弄清各部位的去向,其中a>0且a≠1,N>0.
3.C　lg 360=60×lg 3≈60×0.477 12=28.627 2=28+0.627 2,则360的位数是28+1=29.故选C.
4.ACD　对于A,lg 6=lg 2+lg 3=a+b,故A正确;
对于B,log34===≠,故B错误;
对于C,log212=log24+log23=2+=2+,故C正确;
对于D,lg=lg 3-lg 2=b-a,故D正确.
故选ACD.
5.C　由题意,得109≤a<1010,b=,其中a∈N*,b∈N*,所以1≤b=<1,
所以0.562 5=≤lg b<=0.625.
由lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85,得lg 7-lg 2=lg=lg 3.5≈0.55,lg 5=lg=lg 10-lg 2=1-lg 2≈0.7,所以lg 3.56.答案　3
解析　原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2×(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
7.答案　[0,6]
解析　因为x>0,y>0,-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,
所以lg=lg=lg+lg x∈[0,6],
所以lg的取值范围是[0,6].
8.答案　
解析　∵loga==loga(xy,
∴=,即+=3,等号两边同除以,得=3,即+=3,
设=t,则+t=3,故t2-3t+1=0,解得t=,
故=t2==.
9.解析　依题意得,a=log333-2=-2=-,b=×log323×log23=log32×log23=,c==,
所以a+b+c=-++=.
10.C　lg 2×log810=lg 2×=lg 2×=lg 2×=.故选C.
11.D　∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=+=.故选D.
12.A　因为3a=4b=6,所以a=log36,b=log46,
所以+=2log63+log64=log6(32×4)=2.故选A.
13.B　设x天后的“进步”率是“退步”率的5倍,则=5,即=5,所以x=5==≈≈80.
故当“进步”率是“退步”率的5倍时,大约经过80天.故选B.
14.答案　
解析　因为10b=3,所以b=lg 3.因为a=lg 2,lg 2+lg 5=lg 10=1,所以lg 5=1-a,
所以log185===.
方法总结　换底公式在应用时究竟换成以什么为底数要由具体的已知条件来确定,一般情况下换成以10为底的常用对数.
15.解析　(1)设3a=4b=6c=t,则t>1,
所以a=log3t,b=log4t,c=log6t,
所以+-=2logt3+logt4-2logt6=logt=0.
(2)因为60a=3,60b=5,所以a=log603,b=log605,
所以=====log122,因此=1=2.
16.C　设里氏8.0级地震释放的能量为E1焦耳,里氏6.0级地震释放的能量为E2焦耳,则lg E1=4.8+1.5×8=16.8,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,所以E1=1016.8,E2=1013.8,故==103.故选C.
17.B　因为Er=Ep×10-7,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,
所以=×10-7=×10-7=4×10-9,
则Γ=10lg=10lg(4×10-9)=10lg 4-90=20lg 2-90≈20×0.301-90=-83.98.故选B.
18.C　设经过n年后的投入资金为y万元,
则y=500(1+20%)n,
令y≥1 600,即500(1+20%)n≥1 600,则1.2n≥,
∴n≥log1.2===
=≈≈6.39,
∴第7年即2029年该市用于垃圾分类的资金开始不低于1 600万元.
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