2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--5.1　函数的概念和图象（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第5章　函数概念与性质
5.1　函数的概念和图象
基础过关练
题组一　函数的概念
1.(教材习题改编)图中给出的四个对应关系,其中能构成函数的是(　　)
A.①②　　　　B.①④　　　　C.①②④　　　　D.③④
2.(2024江苏徐州高级中学期中)已知集合A={0,1,2},B={0,1,,2,4},下列对应关系不能作为从A到B的函数的是(　　)
A.f:x→y=　　　　B.f:x→y=x2
C.f:x→y=　　　　D.f:x→y=|x|
3.(多选题)(2022江苏涟水中学期中)下列各组函数中,表示同一个函数的是(　　)
A.y=与y=x+3
B.y=-1与y=x-1
C.y=x0与y=1(x≠0)
D.y=x2-3x与y=t2-3t
4.(2023江苏南京高淳高级中学月考)设集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤4},则下列图形能表示以集合P为定义域,集合Q为值域的函数关系的有(　　)
A　　　　B
C　　　　D
题组二　函数的定义域
5.(2024江苏无锡期中)函数f(x)=+的定义域为(　　)
A.[1,+∞)　　　　B.(3,+∞)
C.[1,3)∪(3,+∞)　　　　D.(1,3)∪(3,+∞)
6.(2024江苏连云港灌云高级中学期中)函数f(x)=+(2-x)0的定义域为(　　)
A.[-2,2)　　　　B.[-2,+∞)
C.(-2,2)∪(2,+∞)　　　　D.[-2,2)∪(2,+∞)
7.(2024四川成都七中期中)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标,炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域为(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(0,845]
C.[0,26]　　　　D.[0,845]
8.(2023湖南长沙长郡中学期中)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=的定义域为　　　　　　　　.
题组三　函数的值及值域
9.(2023江苏徐州睢宁高级中学月考)函数f(x)=x+1,x∈{-1,1,2}的值域是(　　)
A.0,2,3　　　　B.(0,3)　　　　
C.{0,2,3}　　　　D.[0,3]
10.(2024江苏南京期中)已知集合M=,N={y|y=x2-2x},则M∩N=(　　)
A.(-,)　　　　B.[-1,+∞)
C.[-1,)　　　　D.(0,)
11.(2024江苏南京金陵中学期中)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(　　)
A.y=
B.y=,x∈(0,+∞)
C.y=,x∈N
D.y=
12.(教材习题改编)已知函数f(x)=x2-3x+1,g(x)=,则f(g(3))=　　　　.
13.(2024江苏宿豫中学期中)已知函数f(x)=ax7+bx-2,若f(2 023)=10,则f(-2 023)=　　　　.
14.(2024江苏兴化中学阶段测试)已知函数f(x)=.
(1)若f(a)=,求a的值;
(2)求函数f(x)的值域.
题组四　函数的图象及其应用
15.(2024浙江嘉兴期中)函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点(　　)
A.至少有1个　　　　B.至多有1个
C.仅有1个　　　　D.可能有无数多个
16.函数y=f(x)的图象如图所示,则
(1)f(0)=　　　　;
(2)f(f(2))=　　　　;
(3)若-117.作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2-2x,x∈[-1,2].
能力提升练
题组一　函数的定义域
1.(2024江苏宿迁期中)函数f(x)=+,则f(x-1)的定义域是(　　)
A.[0,2]　　　　B.(1,3)　　　　
C.[2,4]　　　　D.[1,3]
2.(2024江苏天一中学期中)已知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(1,6)　　　　B.(1,2)　　　　C.(-1,6)　　　　D.(1,4)
3.(2024江苏泰州姜堰中学阶段测试)若函数f(2x-1)的定义域为[-3,1],则y=的定义域为(　　)
A.{1}　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(2024江苏宿迁泗洪中学期中)若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,1)　　　　C.[0,2]　　　　D.[0,2)
5.(2023吉林长春东北师大附中期中)函数f(x)=的定义域为R的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≥　　　　B.m≥
C.m≥　　　　D.m≥
题组二　函数的值或值域
6.(2024江苏苏州中学期中)函数y=1-x+的值域为(　　)
A.　　　　B.[0,+∞)
C.　　　　D.
7.(2024北京八一学校期中)对于集合A,称定义域与值域均为A的函数y=f(x)为集合A上的等域函数.若 A=[m,n],使得f(x)=a(x-1)2-2为A上的等域函数,则负数a的取值范围是　　(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.(2023辽宁丹东四中期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
9.(2024江苏启东汇龙中学阶段检测)求下列函数的值域.
(1)f(x)=x++1;
(2)f(x)=;
(3)y=.
答案与分层梯度式解析
5.1　函数的概念和图象
基础过关练
1.B　对于①和④,集合M中的每一个数,在集合N中都有唯一确定的数和它对应,符合函数的概念,故①和④满足题意.对于②,集合M中的1,4在集合N中无元素对应,不满足题意.对于③,集合M中的1,2在集合N中都有两个数对应,出现一对多的情况,不满足题意.故选B.
2.C　对于A,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,,故A能;
对于B,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,4,故B能;
对于C,集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应,故C不能;
对于D,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,2,故D能.故选C.
解题模板　　　判断一个对应关系是不是函数,需满足下列3个条件:①两个非空实数集A,B;②A中的每一个实数x,在B中都有唯一的实数y和它对应,即一对一或多对一;③A中不能有剩余元素.
3.CD　对于A,函数y=的定义域为{x|x≠3},函数y=x+3的定义域为R,两函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;对于B,两函数的定义域均为R,而y=-1=|x|-1,则两函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数;对于C,两函数的定义域均为{x|x≠0},而y=x0=1,所以两函数是同一个函数;对于D,两函数的定义域均是R,对应关系相同,所以是同一个函数.故选CD.
解题模板　　　判断两个函数是不是同一个函数,要从两方面进行判断,一是两个函数的定义域是否相同,二是两个函数的对应关系是否相同,与自变量用什么字母表示无关.
4.B　对于A,当25.C　由题意得解得x≥1且x≠3,
所以函数f(x)=+的定义域为[1,3)∪(3,+∞).故选C.
6.C　要使函数有意义,则解得x>-2且x≠2,
所以函数的定义域为(-2,2)∪(2,+∞).故选C.
7.C　由题意可知,炮弹发射后共飞行了26 s,
所以0≤t≤26,即函数h=130t-5t2的定义域为[0,26].故选C.
8.答案　∪(-1,1]
解析　由题意得解得-≤x≤1且x≠-1.故所求定义域为∪(-1,1].
9.C　易得f(-1)=0, f(1)=2, f(2)=3,所以函数f(x)的值域为{0,2,3}.故选C.
10.C　在集合M中,由3-x2>0,解得-11.D　对于A,当x=0时,y=0,即值域含0,故A错误;
对于B,=1+≠1,即值域不含1,故B错误;
对于C,函数的定义域为x∈N,所以函数的值域不连续,故C错误;
对于D,因为|x-1|>0,所以y=>0,所以函数的值域为(0,+∞),故D正确.故选D.
12.答案　5
解析　因为g(3)==-1,所以f(g(3))=f(-1)=(-1)2-3×(-1)+1=5.
13.答案　-14
解析　因为f(x)+f(-x)=ax7+bx-2-ax7-bx-2=-4,
所以f(2 023)+f(-2 023)=10+f(-2 023)=-4,
所以f(-2 023)=-14.
14.解析　(1)函数f(x)=,由f(a)=,得=,即a2-2a+1=0,所以a=1.
(2)易得函数f(x)=的定义域为R,
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当且仅当x=1时取等号,所以0<≤,
所以f(x)的值域为.
15.B　若2 023在定义域内,则函数y=f(x)的图象与直线x=2 023有唯一交点;
若2 023不在定义域内,则函数y=f(x)的图象与直线x=2 023没有交点.
故函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点至多有一个.故选B.
16.答案　(1)4　(2)2　(3)f(x1)≥f(x2)
解析　(1)由题图得f(0)=4.
(2)由题图得f(2)=2,所以f(f(2))=f(2)=2.
(3)由题图知,当-117.解析　(1)列表:
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
当x∈[0,2]时,图象是一次函数y=2x+1的图象的一部分,如图所示:
由图可知,函数y=2x+1,x∈[0,2]的值域为[1,5].
(2)列表:
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2,+∞)时,图象是函数y=的图象的一部分,如图所示:
由图可知,函数y=,x∈[2,+∞)的值域为(0,1].
(3)易知函数y=x2-2x的图象的对称轴为直线x=1,因为y=x2-2x,所以当x=-1时,y=3;当x=1时,y=-1;当x=2时,y=0,所以函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的图象如图所示:
由图可知,函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域为[-1,3].
能力提升练
1.C　由f(x)=+,可得解得1≤x≤3,即f(x)的定义域为{x|1≤x≤3},
则1≤x-1≤3,所以2≤x≤4,即f(x-1)的定义域为[2,4].故选C.
2.A　因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4),所以-3又x-1>0,所以x>1,故函数g(x)=的定义域为(1,6),故选A.
3.D　由题意可知-3≤x≤1,所以-7≤2x-1≤1,
要使y=有意义,则需解得14.B　若函数f(x)=的定义域为R,
则ax2-2ax+1>0对任意x∈R恒成立,
当a=0时,不等式ax2-2ax+1>0可化为1>0,恒成立;
当a≠0时,只需解得0综上,实数a的取值范围是[0,1).故选B.
5.C　若f(x)的定义域是R,则mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
当m=0时,显然不成立;
当m≠0时,只需解得m≥.
故函数f(x)=的定义域为R的充分不必要条件构成的集合是的真子集,结合选项知选C.
6.C　令=t,则t≥0,x=,将函数y=1-x+转化为函数y=1++t=+t+=,且函数y=在[0,+∞)上单调递增,当t=0时,y有最小值,所以函数y=1-x+的值域为.故选C.
易错警示　　　求函数的值域时,要考虑函数的定义域,换元后要考虑新元的取值范围.
7.A　当a<0时, f(x)=a(x-1)2-2≤-2<0,依题意有n<0,从而f(x)在[m,n]上的函数值随着自变量x的增大而增大,
于是则方程f(x)=x,即a(x-1)2-2=x,即ax2-(2a+1)x+a-2=0有两个不相等的负实根,
因此
又a<0,所以-所以负数a的取值范围是.故选A.
8.C　解法一:对于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,解得f(0)=0;
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,又f(1)=2,所以f(-1)=0;
令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;
令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.
解法二:因为f(1)=2,
所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,
所以f(0)=f [3+(-3)]=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.
解题模板　　　解决与抽象函数有关的问题时常用赋值法,赋值的关键是找到条件与结论的关系.如本题已知f(1),在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R)中,可赋值求f(0), f(-1), f(-2),进而求出f(-3),也可赋值求f(2), f(3), f(0),进而求出f(-3).
9.解析　(1)设t=(t≥0),则x=-,
则g(t)=-+t+1=-+t+,t≥0,其图象的对称轴为直线t=1,由二次函数的性质可知g(t)≤g(1)=3,故f(x)的值域为(-∞,3].
(2)f(x)=====-,其中x≠1,且x≠-,
又因为≠0,所以f(x)=≠.
当x=1时,==-.
故函数f(x)的值域为∪∪.
(3)解法一:y==2+,
令t=x2-x+1,则t=+≥,
所以0<≤4,所以2<2+≤6,即2故函数y=的值域为(2,6].
解法二:易知函数的定义域为R.
由y=得(y-2)x2-(y-2)x+y-5=0,此方程必有实数解,
则Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-5)≥0,
整理,得(y-2)(y-6)≤0,
所以2≤y≤6,
当y=2时,方程为-3=0,不成立,故y≠2,
故函数y=的值域为(2,6].
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