2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--5.4　函数的奇偶性（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
5.4　函数的奇偶性
基础过关练
题组一　函数奇偶性的概念及判断
1.(2024福建泉州阶段检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论错误的是(　　)
A.f(x)+f(-x)=0　　　　B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0　　　　D.=1
2.(2024江苏天一中学期中)函数f(x)=的图象大致是(　　)
　　
　　
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;(4)f(x)=
题组二　函数奇偶性的应用
4.(2024北京大兴期中)已知函数f(x)=(x+1)·(ax+b)是偶函数,其定义域为[2a-3,a],则a-b=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
5.(2024江苏南通期中)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x)=f(x);②对任意x1,x2∈(-∞,0],当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2).则f(2), f(π), f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(2)>f(-3)　　　　B.f(π)>f(-3)>f(2)
C.f(π)6.(多选题)(2024江苏连云港期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2+x,则下列说法正确的是(　　)
A.f(-2)=-6
B.当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+x
C.f(x)在定义域R上为减函数
D.不等式f(x-1)<6的解集为(-∞,3)
7.(2024天津蓟州阶段测试)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若实数a满足f(a)>f(-),则a的取值范围是　　　　.
8.(2023江苏歌风中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的　　　　,且当x≤0时, f(x)=x2+4x.
在下列两个条件中任选一个,补充在上面的横线处,并解答问题.
条件①:奇函数;条件②:偶函数.
(1)求f(f(5))的值;
(2)求函数f(x)的解析式.
能力提升练
题组一　函数奇偶性的图象与判断
1.已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,且f(x)不恒等于0,则函数f(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
2.(2024江苏扬州期中)函数f(x)=的图象大致是(　　)
　　
　　
题组二　函数奇偶性的综合应用
3.(2024江苏田家炳中学期中,)已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=(　　)
A.0　　　　B.-16　　　　C.-10　　　　D.-26
4.(2024江苏无锡期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(3)=0,则不等式(2x-5)·f(x-1)<0的解集为(　　)
A.∪(4,+∞)　　　　B.(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪　　　　D.∪(3,+∞)
5.(2023湖南常德一中期中,)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-2,1)
C.　　　　D.
6.(2024江苏常州第一中学期中,)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=2-|x+2|.若对任意的x∈[-1,2], f(x+a)≥f(x)恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,2]　　　　B.[0,2]∪[8,+∞)
C.[-2,0]　　　　D.[-2,0]∪[6,+∞)
7.(2024江苏南京期末,)已知函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,且f(x)=g(x-1),若g(-2)=3,则f(2 023)=(　　)
A.-3　　　　B.0　　　　
C.2　　　　D.3
8.(多选题)(2024江苏扬州中学阶段检测)定义域为R的函数f(x)满足以下条件:① x,y∈R, f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y);②f(0)≠0;③ k>0,使得f(k)=0.则(　　)
A.f(0)=1
B.f(x)为奇函数
C.函数f(x)图象的对称中心为(3k,0)
D.f(x+4k)=f(x)
9.(2023江苏南京师范大学附属中学期末,)已知函数f(x)是定义在R上不恒为0的偶函数,且对任意实数x都有(x-1)·f(x)=xf(x-1)成立,则f =　　　　.
10.(2023江苏靖江高级中学期中,)已知f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+ax+2,若 x1,x2∈(-1,2),都有<1(x1≠x2),则实数a的取值范围是　　　　.
11.(2024江苏宿迁期中)已知函数f(x)=x2-(a-1)x+1为偶函数,函数g(x)=的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(1)判断并用定义证明g(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(2)解不等式g(x-1)+g(3x)<0;
(3)若存在实数a,b(112.(2023江苏南京外国语学校期中)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f ,且当x∈(-1,0)时, f(x)>0.
(1)求证:函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数;
(2)求证:f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)在(2)的条件下,解不等式:f(x+1)+f >0.
答案与分层梯度式解析
5.4　函数的奇偶性
基础过关练
1.D　对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,且f(0)=0,故A,B正确;
对于C,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,当x=0时,等号成立,故C正确;
对于D,当x=0时, f(-x)=0,此时无意义,故D错误.
故选D.
2.D　由题可得,-x2+1≠0,解得x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),关于原点对称,
又因为f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,故排除A;
当x∈(0,1)时,-x2+1>0,所以f(x)>0,故排除B;
当x∈(1,+∞)时,-x2+1<0,所以f(x)<0,故排除C.
故选D.
3.解析　(1)f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.
(2)依题意得x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,∴函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(4)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
4.D　因为f(x)的定义域为[2a-3,a],所以2a-3+a=0,即a=1,
所以f(x)=(x+1)(ax+b)=(x+1)(x+b),又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(1-x)(b-x)=(x+1)·(x+b),解得b=-1,所以a-b=2.故选D.
5.D　∵y=f(x)是R上的偶函数,且对任意的x1,x2∈(-∞,0],当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),∴对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1>x2时,都有f(x1)∵2<3<π,∴f(π)∴f(π)6.ABD　由题意可知f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6,故A正确;
令-x>0,则x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),
∴f(x)=-x2+x,故B正确;
易知f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,
由函数的性质可知f(x)在定义域R上为增函数,故C错误;
由A,C的结论可知, f(x-1)<6=f(2),∴x-1<2,∴x<3,故D正确.
故选ABD.
7.答案　(-,)
解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),
由f(a)>f(-), f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,得-由f(a)>f(-)=f(), f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,得0≤a<.
综上,-8.解析　若选条件①:
(1)易得f(5)=-f(-5)=-[(-5)2+4×(-5)]=-5,
所以f(f(5))=f(-5)=-f(5)=5.
(2)当x>0时,-x<0,则f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x,所以f(x)=
若选条件②:
(1)易得f(5)=f(-5)=(-5)2+4×(-5)=5,所以f(f(5))=f(5)=5.
(2)当x>0时,-x<0,则f(x)=f(-x)=x2-4x,
所以f(x)=
能力提升练
1.A　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,
又f(x)不恒等于0,所以f(x)不可能既是奇函数,也是偶函数.故选A.
2.D　因为函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A;
当x>0时, f(x)=≥0,故排除C;
当x>1时, f(x)==x-,因为y=x和y=-在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,故排除B.故选D.
3.D　令g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,其定义域关于原点对称,
所以g(-x)=(-x)5+a(-x)3-bx=-(x5+ax3+bx)=-g(x),
所以g(x)=x5+ax3+bx为奇函数,
则f(x)=g(x)-8,又f(-2)=10,所以f(-2)=g(-2)-8=10,即g(-2)=18,
所以g(2)=-g(-2)=-18,所以f(2)=g(2)-8=-26.
故选D.
4.A　由题设,得f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-3)=f(3)=0,所以当x∈(-∞,-3)∪(3,+∞)时, f(x)<0;当x∈(-3,3)时, f(x)>0.
因为(2x-5)f(x-1)<0,
所以或即或
或所以x>4,或-2所以不等式的解集为∪(4,+∞).故选A.
5.D　易知函数f(x)的定义域是R,关于原点对称,因为f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
因为函数y=x3与函数y=x都是R上的增函数,所以f(x)在R上单调递增,由f(mx-2)+f(x)<0,即f(mx-2)<-f(x)=f(-x),得mx-2<-x,即mx+x-2<0.
因为对任意的m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0恒成立,所以对任意的m∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,
所以解得-26.D　由题设知, f(x)=因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
当0当x>2时,-x<-2,即f(-x)=(-x)+4=4-x, f(x)=-f(-x)=x-4.
综上, f(x)=
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
f(x+a)的图象可以看成是将f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位长度而得到的,
若对任意的x∈[-1,2], f(x+a)≥f(x)恒成立,
则当a>0时, f(x)的图象至少向左平移6个单位长度;
当a<0时, f(x)的图象至多向右平移2个单位长度.
所以-2≤a≤0或a≥6.故选D.
7.D　因为f(x)=g(x-1),
所以f(x+1)=g(x),
又因为g(x)为偶函数,
所以g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
故f(-x+1)=-f(x-1),
所以f(x+1)=-f(x-1),
所以f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(2 023)=f(3)=g(2),
因为g(-2)=3,所以g(2)=3,所以f(2 023)=3.
故选D.
8.ACD　对于A,令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),所以2f(0)=2[f(0)]2,
因为f(0)≠0,所以f(0)=1,故A正确;
对于B,令x=,y=-,则f(t)+f(-t)=2f(0)f(t),即f(t)+f(-t)=2f(t),所以f(t)=f(-t),所以f(x)为偶函数,故B错误;
对于D,令x=+k,y=,则f(t+2k)+f(t)=2f(t+k)f(k),因为 k>0,使得f(k)=0,
所以f(t+2k)+f(t)=0,即f(t+2k)=-f(t),
所以f(t+4k)=f(t+2k+2k)=-f(t+2k)=f(t),故D正确;
对于C,由D可知, f(x+2k)=-f(x), f(x+4k)=f(x),
两式相加得, f(x+2k)+f(x+4k)=0,
因为f(x)为偶函数,所以f(-x+2k)+f(x+4k)=0,所以得到f(x)图象的对称中心为(3k,0),故C正确.
故选ACD.
9.答案　0
解析　已知对任意实数x都有(x-1)f(x)=xf(x-1)成立,令x=0,得f(0)=0,令x=,得-f =f ,
由f(x)是偶函数,得f =f ,则f =0,
当x≠0,1时,若f(x-1)=0,则f(x)=0,
则f =f =f =f =0,
则f =f(0)=0.
10.答案　
解析　因为f(x)+g(x)=x2+ax+2①,所以f(-x)+g(-x)=x2-ax+2,又f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(x)-g(x)=x2-ax+2②.
①-②,得g(x)==ax.
x1,x2∈(-1,2),都有<1(x1≠x2),即<0,
令h(x)=xg(x)-x=ax2-x,则h(x)在(-1,2)上单调递减.
当a=0时,h(x)=-x,满足题意;
当a>0时,需满足≥2,所以a∈;
当a<0时,需满足≤-1,所以a∈.
综上,实数a的取值范围为.
11.解析　(1)函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
证明如下:因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)图象的对称轴方程为x==0,解得a=1,所以f(x)=x2+1,即g(x)=,
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1则g(x1)-g(x2)=-
==,
因为11,
即1-x1x2<0,+1>0,+1>0,所以g(x1)>g(x2),
所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知,g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,所以g(-x)==-g(x),
所以函数g(x)为奇函数,故函数g(x)在(-∞,-1)上单调递减.
因为g(x-1)+g(3x)<0,所以g(x-1)<-g(3x),
即g(x-1)因为函数g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,
所以或或
所以x<-,
故不等式g(x-1)+g(3x)<0的解集为.
(3)由(1)知,函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)在[a,b]上的值域为[g(b),g(a)],
由题意得,又由(1)知g(x)=,
所以化简,得
所以a,b为方程(1-λ)x2+x-λ=0的两个实数根,
因为存在实数a,b(1所以方程(1-λ)x2+x-λ=0有两个大于1的不相等的实数根,
由条件,得>1,所以λ-1>0,
故解得1<λ<,
所以实数λ的取值范围为.
12.解析　(1)证明:令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0;令y=-x,则f(x)+f(-x)=f =f(0)=0,即f(x)=-f(-x),
∴f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且x1∵-10,
∴<0.
又-(-1)==>0,
∴-1<<0,又当x∈(-1,0)时, f(x)>0,
∴f >0,
∴f(x1)+f(-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)由f(x+1)+f>0,得f(x+1)>-f=f .
由题意及(2)知, f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴所以-2∴不等式的解集为(-2,-).
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