2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--6.1　幂函数（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第6章　幂函数、指数函数和对数函数
6.1　幂函数
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.(2023江苏淮安马坝高级中学期中)下列函数是幂函数的是(　　)
A.y=x2-1　　　　B.y=0.3x
C.y=　　　　D.y=x0.3
2.(2024安徽安庆新安中学期中)已知幂函数y=kxa的图象过点(4,2),则k+a等于(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2
3.(2023江苏南京秦淮中学期中)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则2n+m=　　　　.
题组二　幂函数的图象及其应用
4.(2024江苏苏州中学期中)已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是　　(　　)
5.(2024江苏太仓沙溪高级中学期中)如图,C1,C2,C3,C4是四个幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　)
A.-1,,1,2　　　　B.2,1,,-1
C.,-1,2,1　　　　D.2,,-1,1
题组三　幂函数的性质及其应用
6.(多选题)(2024江苏南京期中)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x2+2x　　　　B.y=-
C.y=|x-1|　　　　D.y=
7.(2024江苏镇江中学期中)幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上单调递增,则实数m=　　(　　)
A.2　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.2或-1
8.(2024江苏盐城射阳中学期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则不等式f(x2-x+1)<1的解集为　　　　　.
9.(2024江苏南通天星湖中学期中)已知幂函数f(x)=(a2-3a+3)xa为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,g(x)=f(x)+x,求函数g(x)的解析式.
能力提升练
题组一　幂函数的图象及其应用
1.(2024山东青岛期中,)已知函数y=(m,n∈N*,且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.m,n是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是偶数,且>1
2.(2023山东日照一中月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x),f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=,则函数f(x)的图象与g(x)=的图象的交点个数为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　
C.7　　　　D.8
题组二　幂函数的性质及其应用
3.(2024江苏句容实验高级中学期中)已知幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上单调递增,则满足(2a+1)-m<(1-a)-m的a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.∪(1,+∞)
C.(0,1)　　　　D.∪(0,1)
4.(2024江苏宿迁中学阶段检测)已知函数f(x)=-,则f(x)的(　　)
A.最大值为　　　　B.最大值为1
C.最小值为1　　　　D.最小值为0
5.(2023浙江浙北G2联盟期中)若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=+的值域是(　　)
A.[0,]　　　　B.[1,]　　　　
C.[,2]　　　　D.[2,3]
6.(2024湖南株洲二中期中)求“方程+=1的解”有如下解题思路:构造函数y=f(x),其表达式为f(x)=+,易知函数y=f(x)在R上是减函数,且f(2)=1,故原方程存在唯一实数解x=2.类比上述解题思路,不等式x6-2x-3<(2x+3)3-x2的解集为　　　　　.
7.(2024广东江门期中)已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求k的值,并写出函数f(x)的解析式;
(2)对于(1)中的函数f(x),是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
8.(2023重庆八中期中)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1,且f(x)=f(-x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=,g(a)+g(b)=1且a,b均为正数,求f(a)+f(b)的最小值.
答案与分层梯度式解析
6.1　幂函数
基础过关练
1.D　由幂函数的定义知,幂函数满足三个条件:①幂的底数为自变量;②自变量的系数为1;③幂的指数为常数.故选D.
2.A　由幂函数的定义得k=1,将(4,2)代入y=xa,得2=4a,解得a=,所以k+a=.故选A.
3.答案　0或4
解析　由题意得解得m=-3或m=1,n=,所以2n+m=0或2n+m=4.
4.D　设幂函数的解析式为f(x)=xα,由幂函数的图象经过点P,可得=2α,解得α=-4,所以f(x)=x-4,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
因为f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A、B错误;又因为f(x)=x-4,-4<0,所以当x>0时, f(x)单调递减,故C错误,D正确.
5.B　根据幂函数的图象与性质可知,>=1>>,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为2,1,,-1.故选B.
方法技巧　幂函数y=xα(α为常数)在第一象限内的图象特征:
(1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增,如y=x2;
(2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如y=;
(3)当α<0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向坐标轴无限逼近,如y=x-1.
6.ABD　y=x2+2x的图象的对称轴是直线x=-1,则y=x2+2x在(0,+∞)上单调递增,故A正确;
y=-在(0,+∞)上单调递增,故B正确;
y=|x-1|=则y=|x-1|在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,故C错误;
由幂函数的性质可知,y=在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD.
7.B　因为f(x)=(m2-m-1)是幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2>0,
所以m=-1.故选B.
8.答案　{x|0解析　设幂函数的解析式为f(x)=xa,由题意得9a=3,解得a=,故f(x)=,所以f(1)=1,
则f(x2-x+1)<1,即f(x2-x+1)根据f(x)=在[0,+∞)上单调递增,得0≤x2-x+1<1,解得09.解析　(1)∵f(x)为幂函数,
∴a2-3a+3=1,解得a=1或a=2.
当a=1时, f(x)=x是奇函数,不满足题意;
当a=2时, f(x)=x2是偶函数,满足题意,∴a=2.
故f(x)的解析式为f(x)=x2.
(2)由(1)得,当x≥0时,g(x)=f(x)+x=x2+x,
当x<0时,-x>0,∴g(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,
又∵函数g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(-x)=-g(x),即-g(x)=x2-x,x<0,
∴g(x)=-x2+x,x<0,
∴函数g(x)的解析式为g(x)=
能力提升练
1.B　由题图可知,y=为偶函数,又m,n∈N*,且m,n互质,所以m为偶数,n是奇数.当x∈(1,+∞)时,y=的图象在直线y=x的下方,所以<1,故选B.
2.A　由题意得,f(x)的值每2个为一组重复出现,其图象关于直线x=1对称.
作出函数f(x)和g(x)=的图象,如图所示.
由图可知,两函数图象的交点个数为5.故选A.
3.D　由题得-m2+2m+3(m∈N*)为正偶数,
易得y=-m2+2m+3的值域为(-∞,4],
则-m2+2m+3可取2,4,
当-m2+2m+3=2时,m=1+或m=1-,不符合m∈N*,舍去,
当-m2+2m+3=4时,m=1(二重根),符合题意.
故m=1,
则不等式(2a+1)-m<(1-a)-m,即(2a+1)-1<(1-a)-1,
整理得<0,
即或
解得0故a的取值范围为∪(0,1).故选D.
4.B　由得0≤x≤1,所以f(x)=-的定义域为[0,1],
因为y=在[0,1]上单调递增,y=在[0,1]上单调递减,
所以由增函数-减函数=增函数破题关键,知f(x)=-在[0,1]上单调递增,
所以当x=0时, f(x)取最小值,为f(0)=-1,
当x=1时, f(x)取最大值,为f(1)=1.故选B.
5.B　∵点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,
∴解得
∴函数g(x)=+=+,
∴∴3≤x≤4,
[g(x)]2=1+2=1+2,
∵x∈[3,4],∴-x2+7x-12∈,
∴[g(x)]2∈[1,2],
∴函数g(x)的值域为[1,].故选B.
6.答案　(-1,3)
解析　将不等式x6-2x-3<(2x+3)3-x2变形为x6+x2<(2x+3)3+(2x+3),即(x2)3+x2<(2x+3)3+(2x+3),
设g(x)=x3+x,因为y=x3与y=x在R上均为增函数,所以函数g(x)在R上是增函数,
由于g(x2)所以原不等式的解集为(-1,3).
7.解析　(1)由题意可得
所以k=1或k=0,所以f(x)=x2.
(2)假设存在正数m满足题意.
由(1)可得,f(x)=x2,则g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,
由m>0可知,g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,则=1-<1.
当0<1-<1,即m>时,g(x)在上单调递增,在上单调递减,则g(x)在区间[0,1]上的最大值为g==5,解得m=或m=(舍去);
当1-≤0,即0故存在正数m=,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5.
8.解析　(1)因为函数f(x)为幂函数,所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数,
经检验,当m=2时, f(x)=x,为奇函数,不满足题意;当m=3时, f(x)=x2,为偶函数,满足题意.
故f(x)的解析式为f(x)=x2.
(2)结合(1)知g(x)===1-,
因为g(a)+g(b)=1,所以+=1,整理得a2+b2+2=(a2+1)(b2+1),即a2b2=1,
又a,b>0,所以ab=1.
故f(a)+f(b)=a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号,故f(a)+f(b)的最小值为2.
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