2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--6.2　指数函数（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
6.2　指数函数
基础过关练
题组一　指数函数的概念及其应用
1.(多选题)(2024江苏南京燕子矶中学阶段检测)下列函数中,是指数函数的是(　　)
A.y=(-3)x
B.y=(2m-1)x
C.y=0.19x
D.y=2·3x
2.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.1
3.(2024吉林长春外国语学校期中)函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则(　　)
A.a=2或a=3　　　　B.a=3 C.a=2　　　　D.a>2,且a≠3
题组二　指数(型)函数的图象
4.已知函数y=的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称,则实数a的值是(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
5.(2024江苏无锡期中)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(教材习题改编)函数f(x)=·2x的图象大致是　　(　　)
　　　　
　　　　
7.已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为(　　)
8.(2023北京朝阳期中)已知函数f(x)=+2-1(a>0,且a≠1)的图象过定点P,且点P在幂函数h(x)=xa的图象上,则a=　　　　.
题组三　指数(型)函数的性质
9.(2024江苏淮安洪泽中学阶段检测)“a3>b3”是“2a+1>2b-2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.(教材习题改编)设a=,b=1.5-0.2,c=0.80.2,则　　(　　)
A.aC.b11.(2023江苏盐城响水中学期中)若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.或2　　　　D.或
12.(2024江苏无锡锡东高级中学期中)函数f(x)=+的定义域为　　　　.
13.(2024江苏盐城期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x-a·2-x,当x<0时, f(x)=　　　　.
14.(2024江苏邳州运河中学阶段检测)已知函数f(x)=则不等式f(x)≤2的解集为　　　　.
15.(2023江苏徐州期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x.
(1)求f(0);
(2)当x>0时,求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)+f(a)<0,求实数a的取值范围.
16.(2024辽宁铁岭期末)已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=+是偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)题组四　指数(型)函数的实际应用
17.(2024吉林长春二实验中学期末)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0　℃,经过一段时间t min后的温度是T ℃,则T-Tα=(T0-Tα)·,其中Tα(单位:℃)表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃,需要的时长为(　　)
A.25 min　　　　B.30 min C.35 min　　　　D.40 min
18.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足f(x)=《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升,则该驾驶员至少要过　　　　小时才能开车.(精确到1小时)
能力提升练
题组一　指数(型)函数的图象及应用
1.(2024江苏苏州吴江中学阶段检测)“a>1”是“函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)的图象经过第三象限”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024四川成都期中)函数f(x)=的图象大致为(　　)
　　　　
　　　　
3.(2023江苏东台三仓中学期中)若直线y=3a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的值可以是(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(2022福建莆田二中期中)已知函数f(x)=若实数a,b,c满足aA.(4,8)　　　　B.(4,16)
C.(8,32)　　　　D.(16,32)
题组二　指数(型)函数的性质及应用
5.(2024江苏常州第一中学期中)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(2,+∞)
C.　　　　D.
6.(2024江苏宿迁期中)设函数f(x)满足f(2x)=x2-2ax+a2-2,且f(x)在[2a-1,]上的值域为[-2,-1],则实数a的取值范围是(　　)
A.[-,0)∪(0,]　　　　
B.[-,-1]∪[1,]
C.[-2,0)∪(0,2]
D.[-2,-1]∪[1,2]
7.(多选题)(2022广东广州一中期中,)已知函数f(x)=a+b(a,b∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.存在实数a,b使得函数f(x)既是奇函数又是偶函数
B.若函数f(x)的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则b=2
C.若函数f(x)在区间[0,π]上单调递减,则a>0
D.当a∈[-1,1]时,若 x∈[-1,1],函数f(x)≤1恒成立,则b的取值范围为b<1
8.(多选题)对于函数f(x)和f(-x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相同,则把区间[m,n]叫作f(x)的“稳定区间”,已知区间[1,2 020]为函数f(x)=的“稳定区间”,则实数a的可能取值是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.0　　　　D.
9.(2023浙江温州期中)已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=f(2x)+2m,若 x1∈[2,4], x2∈[-1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围为　　　　.
10.(2023江苏淮安期中)已知函数f(x)=,其中m∈R.
(1)当f(x)为偶函数时,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若函数g(x)=f(x)+k()x-1,x∈[-2,0],是否存在实数k,使得g(x)的最小值为0 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
11.(2023江苏淮安淮阴中学期中)已知函数f(x)=1+为定义域内的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)设函数g(x)=,若对任意的x1∈[3,+∞),总存在x2∈(-∞,2],使得[f(x1)-1]答案与分层梯度式解析
6.2　指数函数
基础过关练
1.BC　指数函数的形式为y=ax,a>0,且a≠1易错点,显然A、D不符合,C符合;对于B,因为m>,且m≠1,所以2m-1>0且2m-1≠1,故B符合.故选BC.
解题模板　判定一个函数是指数函数的依据:①形如y=ax的函数,ax的系数必须是1;②底数a满足a>0,且a≠1;③自变量为x,而不是a,且自变量的取值范围为R.
2.B　设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由函数y=f(x)的图象过点(2,4),得a2=4,
所以a=2或a=-2(舍去),即f(x)=2x,
所以f(3)=23=8,故选B.
3.B　由指数函数的概念,得a2-5a+7=1且6-2a=0,解得a=3.故选B.
4.C　由题意得与a互为倒数,即=1,解得a=4.
5.C　∵f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,
∴g(x)为减函数,且其图象过点(0,1),(1,0),如图所示,
∴函数g(x)的图象不经过第三象限.故选C.
6.B　f(x)=·2x=易得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数值大于1;函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,此时函数值大于-1且小于0,
结合所给选项,只有B项满足条件.故选B.
7.A　y2=3x与y4=10x是增函数,y1=与y3=10-x=是减函数,在第一象限内作直线x=1(图略),该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,故选A.
8.答案　3
解析　函数f(x)=+2-1中,令x-=0,解得x=,则f()=1+2-1=2,
所以函数f(x)的图象过定点P(,2).
因为点P在幂函数h(x)=xa的图象上,
所以()a=2,解得a=3.
9.A　根据2a+1>2b-2及y=2x在定义域上单调递增,得a+1>b-2,即a>b-3,
因为a3>b3 a>b,所以a>b a>b-3,a>b-3 / a>b,
所以“a3>b3”是“2a+1>2b-2”的充分不必要条件.
故选A.
10.D　b=1.5-0.2==,
因为y=在R上单调递减,0.2<,
所以>,所以b>a,
因为y=x0.2在(0,+∞)上单调递增,0.8>,
所以0.80.2>,所以c>b,故a11.D　当0当a>1时,y=ax在[1,2]上单调递增,所以a2-a=,解得a=或a=0(舍去).
综上,a=或a=.故选D.
12.答案　(1,2]
解析　因为函数f(x)=+,
所以解得1所以函数f(x)的定义域为(1,2].
13.答案　2x-2-x
解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=20-a·20=0,解得a=1.
令x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x-2x,
又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2x-2-x,
所以当x<0时, f(x)=2x-2-x.
14.答案　[-1,3]
解析　当x≤0时,∵f(x)≤2,∴≤,解得x≥-1,则-1≤x≤0;
当x>0时,∵f(x)≤2,∴|x-1|≤2,即-2≤x-1≤2,解得-1≤x≤3,则0综上,不等式f(x)≤2的解集为[-1,3].
15.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),令x=0,得f(0)=-f(0),
所以f(0)=0.
(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=2-x,
又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2-x,
所以当x>0时, f(x)=-2-x.
(3)由(1)和(2),得f(x)=作出其图象如图所示:
因为函数f(x)为奇函数,所以不等式f(a-1)+f(a)<0等价于f(a-1)由图可知, f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,所以a-1<-a<0或016.解析　(1)由题意得f(-x)=f(x)恒成立,即+=+恒成立,故(3x-3-x)=0恒成立.
因为3x-3-x不可能恒为0,
所以当-a=0时,f(-x)=f(x)恒成立,
又a>0,所以a=1.
(2)函数f(x)=3x+在(0,+∞)上单调递增.
证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=(-)+=.
因为01,>1,
所以<0,
即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)=3x+在(0,+∞)上单调递增.
(3)不存在.理由如下:
由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)0对任意的t∈R恒成立,则Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,得到(m-4)2<0,此不等式无解,所以不存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)17.B　由题得T-24=(88-24)×=64×,将T=40,t=20代入,得40-24=64×,解得h=10,所以T-24=64×,当T=32时,t=30.故选B.
18.答案　4
解析　当0≤x≤1时,≤5x-2≤,与题意不符.
当x>1时,由f(x)≤0.02,得×≤0.02,即31-x≤0.1,当x=3时,3-2=>0.1,当x=4时,3-3=<0.1,所以该驾驶员至少要过4小时才能开车.
能力提升练
1.C　当a>1时, f(0)=1-a<0,再结合指数函数y=ax(a>1)的图象可知f(x)的图象经过第一、三、四象限,充分性成立;
要想f(x)的图象经过第三象限,则f(0)=1-a<0,
所以a>1,必要性成立.故选C.
2.D　由3-3|x|≠0,得|x|≠1,即x≠±1,所以该函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),关于原点对称,
因为f(-x)===f(x),
所以该函数是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项A,C;
当x>1时,3-3|x|=3-3x<0,则f(x)<0,排除选项B.
故选D.
3.C　当0图1
由图1可得0<3a<1,∴0当a>1时,y=|ax-1|的图象如图2所示.
图2
由图2可得0<3a<1,∴01矛盾.
综上,实数a的取值范围为.结合选项知选C.
4.D　作出函数y=f(x)的图象,如图,
当x<0时, f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0,1),
由图可知, f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),即4-c∈(0,1),得3由f(a)=f(b),得|2a-1|=|2b-1|,可得1-2a=2b-1,即2a+2b=2,
∴2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16,32).故选D.
5.C　∵f(x)满足对任意x1≠x2,都有 <0成立,∴f(x)在R上是减函数,
∴解得0∴a的取值范围是.故选C.
6.B　f(2x)=x2-2ax+a2-2=(x-a)2-2在[2a-1,]上的值域为[-2,-1],等价于g(x)=(x-a)2-2在[a-1,a2+a-1]上的值域为[-2,-1],
易得g(x)的图象开口向上,其对称轴为直线x=a,g(a-1)=g(a+1)=-1,g(a)=-2,作出函数g(x)的图象如图所示,
由图象可知,a≤a2+a-1≤a+1,解得-≤a≤-1或1≤a≤,所以实数a的取值范围为[-,-1]∪[1,].故选B.
7.ABC　A中,当a=b=0时, f(x)=0(x∈R),此时f(x)既是奇函数又是偶函数,故A正确.
B中,易知y=为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递减,其图象过点(0,1),且无限接近于x轴,若函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则a=-2,b=2,故B正确.
C中,因为y=为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递减,故若函数f(x)=a+b在区间[0,π]上单调递减,则a>0,故C正确.
D中,当a∈(0,1]时, x∈[-1,1],有+b≤f(x)≤a+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则a+b≤1,即b≤1-a,而0≤1-a<1,故b≤0;
当a=0时, f(x)=b,若 x∈[-1,1], f(x)≤1恒成立,则b≤1;
当a∈[-1,0)时, x∈[-1,1],有a+b≤f(x)≤+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则+b≤1,即b≤1-,而1<1-≤,故b≤1.
综上,b的取值范围为b≤0.故D错误.
故选ABC.
8.AB　由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1,2 020]上同时单调递增或同时单调递减.
若同时单调递增,则在x∈[1,2 020]上恒成立,可得所以-2≤a≤-;
若同时单调递减,则在x∈[1,2 020]上恒成立,可得该不等式组无解.
综上,-2≤a≤-.结合选项知选AB.
9.答案　
解析　因为 x1∈[2,4], x2∈[-1,2],使得f(x1)≥g(x2),所以f(x)在[2,4]上的最小值大于或等于g(x)在[-1,2]上的最小值.
f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,故f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以在[2,4]上,f(x)min=f(2)=3.
令t=2x,-1≤x≤2,则t∈,y=t2-2t+3+2m,易知该函数在上单调递减,在(1,4]上单调递增,所以当t=1时,函数取得最小值,为2+2m,即在[-1,2]上,g(x)min=2+2m.
所以3≥2+2m,解得m≤,则实数m的取值范围为.
10.解析　(1)因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即|x-m|=|-x-m|,解得m=0.
经检验,m=0符合题意,故m=0.
(2)由(1)得f(x)=,所以g(x)=+k·()x-1=[()x]2+k·()x-1,x∈[-2,0].
令t=()x,x∈[-2,0],则t∈,设h(t)=t2+kt-1=--1.
当-<,即k>-时,h(t)在上单调递增,所以+k-1=0,解得k=,符合题意;
当≤-≤1,即-2≤k≤-时,--1=0,无解;
当->1,即k<-2时,h(t)在上单调递减,所以1+k-1=0,解得k=0,不符合题意.
综上,当k=时,g(x)的最小值为0.
11.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即1++1+=0,解得a=2.
(2)由(1)知, f(x)=1+.当x≥3时,2x≥8,故2x-1≥7,即0<≤,则f(x)=1+∈,又因为g(x)=>0恒成立,
所以当m<0时,[f(x)-1]当m>0时,[f(x)-1]∈,
当m≥2时,根据复合函数的单调性可得,y=在(-∞,2]上单调递增,故当x∈(-∞,2]时,∈(0,34m-13],所以34m-13>,
令h(m)=34m-13-,因为y=34m-13,y=-在[2,+∞)上均单调递增,
所以h(m)在[2,+∞)上单调递增,
又h(3)=0,所以m>3,
当0,
令t(m)=-,
因为y=,y=-在(0,2)上均单调递增,
所以t(m)=-在(0,2)上单调递增,
当m=2时,y=3-5-<0,故-<0在(0,2)上恒成立,
故>在(0,2)上无解,即0综上所述,实数m的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞).
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