2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.1.2　弧度制（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
7.1.2　弧度制
基础过关练
题组一　弧度制
1.(2024安徽亳州期末)将-315°化为弧度,正确的是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
2.(2024江苏南京江东中学期初)从2024年2月21日13:00到当天13:25,某时钟的分针转动的弧度为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
3.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为　　　　　　.
4.图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆弧四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为　　　　.
　　
题组二　用弧度制表示终边相同的角
5.(2024江苏泰州第二中学期中)下列与45°角的终边相同的角的集合表述正确的是(　　)
A.{α|α=2kπ+45°,k∈Z}
B.
C.
D.
6.(多选题)(2023江苏南京一中月考)下列给出的各角中,与-终边相同的角有(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
7.(2024江苏射阳中学月考)用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.
　　
题组三　扇形的弧长公式和面积公式
8. (2024江苏苏州期末)已知扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角为(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.2
9. (2024湖北葛洲坝中学期中)已知扇形的面积为2,圆心角是4,则扇形的周长为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
10.(2024浙江大学附属中学期中)已知一个扇形的周长为20,则当该扇形的面积最大时,其圆心角为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5
11. (2024江苏镇江期末)下图是一个扇子形的窗户,其所在的扇形半径为120 cm,圆心角为,窗户的左右两边的边框长度都为60 cm,则该窗户的面积约为(参考数据:π≈3.14)(　　)
A.1 884 cm2　　　　B.3 768 cm2
C.5 652 cm2　　　　D.7 536 cm2
12. (2024山西运城期末)《九章算术》是我国古代的数学名著.第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法,其中将圆环或不足一匝(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝)的圆环形田地称为“环田”.书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为(　　)
A.600平方步　　　　B.640平方步
C.660平方步　　　　D.700平方步
13. (2024陕西安康期末)若圆心角为的扇形的弦长为4,则该扇形的弧长为　　　　.
14.(2022浙江金华期末)分别以等边三角形每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是　　　　.
15.(2024陕西西安期末)图1是杭州2022年第19届亚运会会徽,名为“潮涌”,钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心,绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特质,江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质,整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是一个与会徽近似的几何图形,设弧的长度是l,弧的长度是l',几何图形ABCD的面积为S,扇形BOC的面积为S',已知=2,∠BOC=α.
(1)求;
(2)若几何图形ABCD的周长为4,则当α为多少时,S最大
　
答案与分层梯度式解析
7.1.2　弧度制
基础过关练
1.B　-315°=-315×=-.故选B.
2.C　因为分针是按照顺时针方向旋转的,
所以转动的角为负角,
所以分针转动的弧度为-π=-.故选C.
3.答案　α<β<γ<θ=φ
解析　解法一(角度化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,因为<<1<,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β==×°=18°,γ=1≈57.30°,φ=×°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
4.答案　
信息提取　①每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);②15分钟时回到出发点A;③3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点).
数学建模　利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点)”列出不等式,解不等式得出结论.
解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度,由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z,又小明3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C,D点),所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,所以k=3,所以θ=.
5.C　角度制和弧度制不能混用易错点,故A、B错误;
因为45°×=,而-2π=-,所以45°角的终边与-的终边相同,故C正确;
对于D,因为α-=-=kπ≠2kπ,k∈Z,
所以α=kπ+,k∈Z与45°角的终边不相同,故D错误.
故选C.
6.ABD　与-终边相同的角为α=-+2kπ,k∈Z.
令-+2kπ=,k∈Z,解得k=1,故A符合题意;令-+2kπ=,k∈Z,解得k=3,故B符合题意;令-+2kπ=-,k∈Z,解得k= Z,故C不符合题意;令-+2kπ=-,k∈Z,解得k=-2,故D符合题意.故选ABD.
7.解析　题图1中,α-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z;
题图2中,α-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z;
题图3中,α+2kπ≤α≤+2kπ或+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z
=α+2kπ≤α≤+2kπ或+π+2kπ≤α≤+π+2kπ,k∈Z
=α+2kπ≤α≤+2kπ或+(2k+1)π≤α≤+(2k+1)π,k∈Z
=α+kπ≤α≤+kπ,k∈Z.
8.D　设扇形的弧长为l cm,半径为R cm,
则解得
则该扇形的圆心角为=2.故选D.
9.C　设扇形的弧长为l,半径为r,
∵扇形的圆心角是4,∴l=4r,
由S扇形=lr=×4r2=2,得r=1,∴l=4,
∴扇形的周长为l+2r=6.故选C.
10.B　设扇形的半径为r,弧长为l,则l=20-2r,0所以扇形的面积S=rl=r(10-r)=-(r-5)2+25,0所以所求圆心角为=2.故选B.
11.C　由题意可知,扇形的圆心角为,大扇形的半径为120 cm,小扇形的半径为60 cm,
所以该窗户的面积为××1202-××602=1 800π≈5 652(cm2).故选C.
规律总结　运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下扇形的弧长公式与面积公式要简单得多,若角以“度”为单位,通常先将其化为弧度,再计算.
12.C　设中周围成扇形的半径是R1步,外周围成扇形的半径是R2步,圆心角为α,
则即解得
则该“环田”的面积S=α-α=×5×252-×5×192=660(平方步).故选C.
13.答案　
解析　如图,∠AOB=,AB=4,
取弦AB的中点C,连接OC,则OC⊥AC,∠AOC=,AC=2,设OC=x,则OA=2x,
所以在Rt△ACO中,4x2=x2+12,所以x=2,
所以OA=4,即扇形的半径为4,
所以该扇形的弧长l=×4=.
14.答案　18π-18
解析　由弧长公式可得·AB=2π,可得AB=6,所以由弧和线段AB所围成的弓形的面积为×6×2π-×62=6π-9,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9)+×62=18π-18.
15.解析　(1)由弧长公式,得l=|α|·OA,l'=|α|·OB,则==,
又=2,所以=2,l=2l',即OA=2OB,
所以=
==3.
(2)由(1)知,AB=CD=OB,则几何图形ABCD的周长为AB+l+l'+CD=2OB+3l'=4,
S=l×OA-l'×OB=×2l'×2OB-l'×OB=l'×OB=×3l'×2OB≤=×=1,当且仅当即α=时,等号成立,此时S最大.
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