2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.2.1　任意角的三角函数（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
7.2　三角函数概念
7.2.1　任意角的三角函数
基础过关练
题组一　三角函数的概念及其应用
1. (2024江苏南通期末)若角θ的终边经过点P(1,3),则sin θcos θ+cos2θ=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
2.(2024江苏南京期末)已知角θ的终边经过点P(x,-5),且tan θ=,则x的值是(　　)
A.-13　　　　B.-12　　　　C.12　　　　D.13
3. (2024湖北荆州中学期末)单位圆上一点P从(0,1)出发,按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.(教材习题改编)已知角θ的终边经过点P(m,2m)(m≠0),求sin θ,cos θ,tan θ的值.
题组二　三角函数值的符号
5. (2024江苏镇江期末)已知命题p:α为钝角,命题q:tan α<0,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2024江苏淮安期末)若角α的终边经过点P(m,2)(m≠0),则(　　)
A.sin α>0　　　　B.sin α<0
C.cos α>0　　　　D.cos α<0
7.(2024江苏连云港期末)已知cos α<0,且tan α>0,则角α是第　　　　象限角.
题组三　三角函数线的简单应用
8.(教材习题改编)若-<α<-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是(　　)
A.sin αB.tan αC.cos αD.sin α9.使sin x≤cos x成立的x的一个取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.[0,π]
10.(2024云南昆明期末)已知a=0.33π,b=,c=tan 1,比较a,b,c的大小关系为　　　　　.
11.函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为　　　　.
能力提升练
题组一　三角函数的概念及其应用
1. (2024江苏盐城期末,)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3,2cos α),则sin α=(　　)
A.　　　　B.-　　　　
C.　　　　D.-
2.(2024湖北宜昌期中)如图,将大小为45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将大小为37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)(　　)
A.2.5 cm　　　　B.2.6 cm　　　　
C.2.7 cm　　　　D.2.8 cm
3.(多选题)(2023江苏百校联考)一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值,,分别叫作角α的余切、余割、正割,分别记作cot α,csc α,sec α.cot α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.下列叙述正确的有(　　)
A.cot=1
B.sin α·sec α=1
C.y=sec x的定义域为
D.设角α的终边经过点P(2,4),则csc α+sec α=
4. (2024福建莆田一中期末)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是　　　　.
题组二　三角函数值的符号
5.(2024吉林通化期末,)θ为第二或第四象限角,则下列结论一定正确的是(　　)
A.sin θtan θ<0　　　　B.cos θtan θ<0
C.>0　　　　D.sin θcos θ<0
6.(2024江苏泰州第二中学期末,)若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则的终边位于　　(　　)
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴非负半轴上
D.第二、四象限或在x轴上
7.(2023江苏丁蜀高级中学期末)函数y=+-的值域是　　　　.
答案与分层梯度式解析
7.2　三角函数概念
7.2.1　任意角的三角函数
基础过关练
1.C　因为角θ的终边经过点P(1,3),所以sin θ==,cos θ==,
故sin θcos θ+cos2θ=×+=+=.故选C.
2.B　根据任意角的三角函数定义,得tan θ==,所以x=-12.故选B.
3.A　易得∠QOx=+=(O为坐标原点),所以Q, 其中cos=-,sin=,即点Q的坐标为.故选A.
4.解析　①当m>0时,r==3m,
则sin θ==,cos θ==,tan θ==2;
②当m<0时,r==-3m,
则sin θ==-,cos θ==-,tan θ==2.
5.A　若α为钝角,则α必为第二象限角,则tan α<0,所以p是q的充分条件;
若tan α<0,则α可能为第二或第四象限角,未必就是钝角,所以p不是q的必要条件.
综上,p是q的充分不必要条件.故选A.
6.A　由角α的终边经过点P(m,2),可得|OP|=(O为坐标原点),则sin α=>0,而cos α=的符号不确定.故选A.
名师点睛　正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,余弦值的符号取决于横坐标x的符号.
7.答案　三
解析　因为cos α<0,所以α是第二或第三象限角,或终边在x轴的非正半轴上,
因为tan α>0,所以α是第一或第三象限角,
故α是第三象限角.
8.D　如图,在单位圆中,作内的一个角α及其正弦线、余弦线、正切线.
由图知,|OM|<|MP|<|AT|,又有向线段OM,MP分别与x轴,y轴的正方向相反,有向线段AT与y轴的正方向相同,所以sin α9.A　如图,分别作出角,-的正弦线和余弦线.
由图可得,sin=cos,sin=cos,且当-sin x;当0≤x<时,cos x>sin x,故当-≤x≤时,sin x≤cos x.
10.答案　c>b>a
解析　由三角函数线可得不等式tan x>x>sin x,x∈,则c=tan 1>1,
又函数y=xe在(0,+∞)上单调递增,y=0.33x在定义域上单调递减,
所以1>>>0.33e>0.33π>0,所以1>b>a.
综上所述,c>b>a.
11.答案　(k∈Z)
解析　要使原函数有意义,必须有
即在[0,2π]内,当sin x=时,x=或x=;当cos x=时,x=或x=.
如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,
由图得
故2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.
所以原函数的定义域为2kπ+,2kπ+(k∈Z).
能力提升练
1.A　由角α的终边经过点A(3,2cos α),可得|OA|=(O为坐标原点),
根据三角函数的定义,可得cos α=,整理得4cos4α+9cos2α-9=0,解得cos2α=或cos2α=-3(舍去),所以cos α=或cos α=-(舍去),
所以sin α===.故选A.
2.C　以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设B(xB,yB),C(xC,yC),
由题意得yC=yB=2tan 45°=2,
则xC=≈≈2.7.
故点C在尺上的读数约为2.7 cm.故选C.
3.ACD　cot==1,故A正确;sin α·sec α=sin α·=1不一定成立,故B不正确;y=sec x=,则cos x≠0,即x≠kπ+,k∈Z,故C正确;
∵角α的终边经过点P(2,4),∴r==2,
∴csc α==,sec α==,∴csc α+sec α=,故D正确.故选ACD.
4.答案　
解析　由题可知,点P,Q在第1 804次相遇的时间t=1 804×2π÷=3 608(秒),
故点P转过的角度为×3 608=300π+,
故对应坐标为,即P.
5.D　当θ为第二象限角时,sin θ>0,cos θ<0,tan θ<0;当θ为第四象限角时,sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
对于A,当θ为第四象限角时,sin θtan θ>0,故A错误;对于B,当θ为第二象限角时,cos θtan θ>0,故B错误;对于C,当θ为第二象限角时,<0,故C错误;对于D,无论θ为第二象限角还是第四象限角,sin θcos θ<0均成立,故D正确.
6.D　因为|cos θ|=cos θ,所以cos θ≥0,则θ的终边位于第一、四象限或在x轴的非负半轴上,
又因为|tan θ|=-tan θ,所以tan θ≤0,则θ的终边位于第二、四象限或在x轴上,
所以θ的终边位于第四象限或在x轴的非负半轴上,
所以k·360°+270°<θ≤k·360°+360°,k∈Z,
所以k·180°+135°<≤k·180°+180°,k∈Z.
令k=2n,n∈Z,可得n·360°+135°<≤n·360°+180°,n∈Z,
则的终边位于第二象限或在x轴的非正半轴上;
令k=2n+1,n∈Z,可得n·360°+315°<≤n·360°+360°,n∈Z,
则的终边位于第四象限或在x轴的非负半轴上.
综上可得,的终边位于第二、四象限或在x轴上.
故选D.
7.答案　{-4,0,2}
解析　易知sin x≠0,cos x≠0,所以角x的终边不在坐标轴上.
当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,sin xcos x>0,所以y=1+1-2=0;
当x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,sin xcos x<0,所以y=1-1+2=2;
当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,sin xcos x>0,所以y=-1-1-2=-4;
当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,sin xcos x<0,所以y=-1+1+2=2.
所以函数y=+-的值域为{-4,0,2}.
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