2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.2.2　同角三角函数关系（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
7.2.2　同角三角函数关系
基础过关练
题组一　利用同角三角函数关系式求值
1.(2024江苏南通期中)已知α∈,且cos α=-,则tan α=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
2.(2024山东聊城期末)已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
3.(2024陕西西安期末)已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
4.(多选题)(2024广东汕头期末)已知α为锐角,且 cos α-sin α=,则下列选项中正确的有(　　)
A.α∈　　　　B.tan α=
C.sin αcos α=　　　　D.sin α+cos α=
题组二　齐次式的求值问题
5.(2024湖南永州期末)已知2sin θ-cos θ=0,则=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
6.(2023江苏南京师范大学附属中学期末)若=-,则tan α的值为(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
7.(教材习题改编)已知tan α=3,则sin2α-sin αcos α-2cos2α=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
题组三　利用同角三角函数关系式化简与证明
8.(2024江苏扬州中学期末)设θ为第二象限角,则的值为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.±1　　　　D.cos θ
9.(2022江苏徐州沛县中学期中)化简cos2x的结果是(　　)
A.tan x　　　　B.sin x　　　　C.cos x　　　　D.
10.已知sin α+cos α=,则tan α+的值为(　　)
A.-1　　　　B.-2　　　　C.　　　　D.2
11.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ=+.
能力提升练
题组一　利用同角三角函数关系式求值
1. (2024河北联考期末)已知-<α<0,=,则sin α=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
2.(多选题)(2022山东济宁期末)已知θ∈(0,π),且满足sin θ·cos θ=-,|sin θ|>|cos θ|,则下列结论正确的是(　　)
A.θ∈　　　　B.tan θ=-
C.cos θ=　　　　D.sin θ+cos θ=
3.(2024江苏盐城期末)若sin α=,cos α=,则tan α=　　　　.
4.(2023江苏盐城第一中学期中)已知sin θ,cos θ是方程2x2-(-1)x+m=0的两个实数根.
(1)求实数m的值;
(2)求+的值;
(3)若θ∈,求cos2θ-sin2θ的值.
题组二　齐次式的求值问题
5.(2023江苏前黄高级中学期末)已知函数f(x)=loga(x-2)-6(a>0且a≠1)的图象过定点A,且点A在角θ的终边上,则(3sin θ-2cos θ)2-4=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.5　　　　D.
6.(2024江苏南京期末)已知sin α+2cos α=,则=(　　)
A.-3　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
7. (2024江苏扬州中学期末)已知sin α+cos α=-,α∈(0,π),则tan α=　　　　　.
题组三　利用同角三角函数关系式化简与证明
8.(2024江苏连云港海头高级中学期末)若π<α<,则+的化简结果是(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
9.化简:-2sin α+cos2αsin α=　　　　.
10.(1)证明:-=;
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
答案与分层梯度式解析
7.2.2　同角三角函数关系
基础过关练
1.C　因为cos α=-,α∈,
所以sin α===,
所以tan α==-.故选C.
2.A　因为tan α=-2,且0<α<π,所以α∈,
又tan α==-2,sin2α+cos2α=1,
所以sin α=,cos α=-.
则cos α-sin α=--=-.故选A.
3.B　易知cos2α=1-sin2α=1-=,∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=1×=-.
4.CD　因为cos α-sin α=>0,所以cos α>sin α,而α为锐角,所以α∈,故A错误;
因为cos α-sin α=,所以(cos α-sin α)2=,即cos2α+sin2α-2cos αsin α=,所以cos αsin α=,故C正确;
因为α为锐角,所以sin α+cos α===,故D正确;
由解得所以tan α=,故B错误.故选CD.
5.D　由题意可得tan θ=,则==3.
故选D.
6.D　因为==-,
所以tan α=-.故选D.
7.B　sin2α-sin αcos α-2cos2α
=
=
==.故选B.
8.B　∵θ为第二象限角,∴cos θ<0,
又∵sin2θ+cos2θ=1,
∴==-1.故选B.
9.D　原式=cos2x=·cos2x==.
10.D　∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=2,即1+2sin αcos α=2,∴sin αcos α=,
∴tan α+=+==2.
11.证明　左边=sin θ+cos θ=sin θ+++cos θ=+=+=右边,所以原等式成立.
能力提升练
1.C　由=,得=,
因为-<α<0,所以sin α<0,
故=,解得cos α=,
所以sin α=-=-.故选C.
2.BD　因为θ∈(0,π),且满足sin θ·cos θ=-<0,所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,又|sin θ|>|cos θ|,所以θ∈,故A错误;
因为sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=1-=,sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=,
所以(sin θ+cos θ)2=,(sin θ-cos θ)2=,
因为|sin θ|>|cos θ|,sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ+cos θ=①,sin θ-cos θ=②,故D正确;
联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,所以tan θ==-,故B正确,C错误.故选BD.
3.答案　0或
解析　因为sin2α+cos2α=1,
所以+==1,
整理可得,m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3,
当m=-1时,sin α=0,cos α=-1,tan α==0;
当m=3时,sin α=,cos α=,tan α==.
综上所述,tan α=0或tan α=.
4.解析　(1)由题意得
由(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θcos θ=1+m=,所以m=-.
(2)+=+==sin θ+cos θ=.
(3)由(1)知m=-,则sin θcos θ=-,
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+==.
因为θ∈,所以cos θ>0,sin θ<0,
所以cos θ-sin θ=,又sin θ+cos θ=,
所以cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
5.B　易得A(3,-6),所以tan θ=-2,所以(3sin θ-2cos θ)2-4=9sin2θ-12sin θcos θ+4cos2θ-4=5sin2θ-12sin θcos θ====.故选B.
6.C　因为sin α+2cos α=,
所以(sin α+2cos α)2=,
即sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,
即=,
所以=,即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
因为=,
所以当tan α=3时,原式=-,
当tan α=-时,原式=-.故选C.
7.答案　-
解析　由sin α+cos α=-可得1+2sin αcos α=,故sin αcos α=-,
又sin αcos α==,
所以=-,解得tan α=-或tan α=-,
因为sin αcos α=-<0,α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,
又sin α+cos α=-<0,所以|sin α|<|cos α|,
因此|tan α|<1,故tan α=-.
8.D　+
=+
=+,
因为π<α<,所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0,
故原式=+=--=-.故选D.
9.答案　
解析　原式=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)
=(1-2cos2α+cos4α)=
==.
10.证明　(1)左边=
=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
(2)因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2tan2β+2,所以+1=2,所以+1=2,所以=,所以cos2β=2cos2α,所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1.
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