2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.2.3　三角函数的诱导公式（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
7.2.3　三角函数的诱导公式
基础过关练
题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2024江苏常州期末统考)cos 840°的值为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
2.(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(1,),则cos=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
3.(2024江苏徐州期末)若α=,则+=(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
4.(2024江苏扬州期中)设a=sin(-870°),b=tan,c=lg,则(　　)
A.a题组二　利用诱导公式解决条件求值问题
5.(2023江苏南京秦淮中学期末)在平面直角坐标系中,角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边过点P(x,4),且tan(-π+α)=-2,则cos α=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　
C.　　　　D.
6. (2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知sin(3π+α)=,则cos=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
7. (2024广东汕头期末)已知sin(5π+θ)=2sin,则+sin2θ的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.已知sin=,则cos=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
题组三　利用诱导公式化简、证明恒等式
9.(2024陕西西安期末联考)化简:得(　　)
A.sin 2+cos 2　　　　B.cos 2-sin 2
C.sin 2-cos 2　　　　D.±(cos 2-sin 2)
10.(2024湖南部分高校期末联考)化简:=　　　　　.
11.(2023江苏太仓高级中学月考)求证:=.
能力提升练
题组一　利用诱导公式解决条件求值问题
1.(2023江苏张家港高级中学期中)已知cos(508°-α)=,则cos(212°+α)=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
2.(2024江苏连云港赣榆高级中学期末)已知cos=,则2sin+cos=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.-　　　　D.
3.(2024江苏镇江期末统考)已知cos=-,α∈,则cos的值为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
4.已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
5.(2023江苏南通通州高级中学月考)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的一个实数根,且α为第三象限角,则·tan2(π-α)=　　　　.
题组二　利用诱导公式化简、证明恒等式
6.(2024浙江义乌期末)化简:=　　　　.
7. (2024上海长宁阶段检测)求证:
=-tan θ.
8.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
答案与分层梯度式解析
7.2.3　三角函数的诱导公式
基础过关练
1.A　cos 840°=cos(2×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.故选A.
2.A　cos=-sin α=-=-.故选A.
3.A　由题意知,sin α=sin=sin=-sin=-,
所以+=+
=+
=+
=2++2-=4.故选A.
4.C　a=sin(-870°)=-sin 870°=-sin(2×360°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-,b=tan=tan=tan=-tan=-1,
因为lg所以-1从而b5.B　由tan(-π+α)=-2,得tan α=-2,即=-2,∴x=-2,∴P(-2,4),故cos α==-,故选B.
6.D　由诱导公式得sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=,故cos=-sin α=.故选D.
7.C　因为sin(5π+θ)=2sin,
所以-sin θ=-2cos θ,所以tan θ=2,
则+sin2θ=+=+=+=.故选C.
8.B　cos=cos=-sin=-.故选B.
解题模板　解决条件求值问题的关键是找到已知式和待求式中角的关系,根据此关系结合诱导公式进行转化,从而达到求值的目的.
9.C　
=
=
=
=|sin 2-cos 2|,
又因为2是第二象限角,所以sin 2>0,cos 2<0,
所以|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.故选C.
10.答案　-tan α
解析　原式=
=-=-tan α.
11.证明　左边=
==
===右边,
所以原等式成立.
能力提升练
1.B　解法一:因为cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=,
所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=.
解法二:cos(212°+α)=cos[720°-(508°-α)]=cos(508°-α)=.
2.A　令m=θ-,则θ=m+,
∴2sin+cos
=2sin+cos
=2sin+cos(m+3π)=-3cos m,
∵cos=,∴cos m=,
∴原式=-3cos m=-2.
故选A.
3.D　因为α∈,所以α+∈,
由cos=-,得sin==,
故cos=cos=sin=.
故选D.
4.A　∵3sin2α=8cos α,∴cos α=,
∴sin2α+=1,
整理,得9sin4α+64sin2α-64=0,解得sin2α=.
又∵α是第四象限角,∴sin α=-,
∴cos=cos
=-cos=sin α=-.
5.答案　-
解析　设方程5x2-7x-6=0的两根分别为x1,x2,解方程5x2-7x-6=0,得x1=-,x2=2.
因为α是第三象限角,所以sin α=-,
所以cos α=-,所以tan α==,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α=-tan2α=-.
6.答案　-1
解析　原式
=
=
=
=
==-1.
7.证明　左边=
==-tan θ=右边,
所以原等式成立.
8.证明　①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin=sin=,
右边=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin=sin=sin=,
右边=cos2(2k+1)π+(-1)2k+1·=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
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