2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.3.2 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正、余弦(型)函数的图象及简单应用
1.用“五点法”作函数y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)
A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),,,,-1,
2.(教材习题改编)函数y=sin在区间上的图象是　(　　)
3. (2024山东青岛期末)当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x的图象与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为(　　)
A.π　　　　B.2π　　　　
C.3π　　　　D.4π
4. (2024江苏江都中学期中)在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为　　　　.
5. (2024湖南部分高校期末联考)若函数f(x)=cos(3x+φ)+a在[0,π]上的图象与x轴恰有3个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3(x1题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性
6. (2024江苏泰州中学期末)下列函数中,最小正周期是π的奇函数为(　　)
A.y=sin 2x　　　　B.y=cos 2x
C.y=tan 2x　　　　D.y=|sin x|
7. (2024江苏阜宁中学期末)已知函数f(x)=sin(x+φ)-sin(x+7φ)为奇函数,则参数φ的值可能为(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
8.(2023江苏淮安期末)已知函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数,则f(2)=　　　　.
题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性
9.(教材习题改编)函数y=sin的图象(　　)
A.关于y轴对称
B.关于原点对称
C.关于直线y=x对称
D.关于直线y=-x对称
10. (多选题)(2024江苏南通期末)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则(　　)
A.ω=2
B.f(x)的图象与y轴交于点
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
11. (2024江苏海州高级中学期末)已知常数φ∈R,如果函数y=cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
题组四　正、余弦(型)函数的单调性及应用
12.(2023江苏连云港期末)若a=sin 46°,b=cos 46°,c=cos 36°,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c>a>b　　　　B.a>b>c
C.a>c>b　　　　D.b>c>a
13. (2024江苏郑集高级中学期中)函数f(x)=2的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
14. (2024江苏建湖高级中学期中)f(x)=sin在[0,π]上的单调递减区间为　　　　.
题组五　正、余弦(型)函数的定义域与值域
15.(2023江苏射阳中学期末)函数y=cosx+,x∈的值域是(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
16.函数y=sin2x-cos x的最大值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
17. (2024广东珠海第一中学期末)在[0,2π]内,函数f(x)=+ln的定义域是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
18. (2024江苏扬州期末)已知 f(x)=sin在区间上既有最大值又有最小值,则α的取值范围为　　　　.
19. (2024北京平谷期末)已知函数f(x)=2sin.
(1)求f 的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)当x∈时,求f(x)的最大值与最小值.
能力提升练
题组一　正、余弦(型)函数的奇偶性、图象的对称性
1. (2024河北沧州期末)已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象关于直线x=对称,当f(x)的最小正周期取得最大值时,距离原点最近的对称中心为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.(多选题)(2023江苏苏州实验中学期中)已知函数f(x)=cos x+,则(　　)
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
D.f(x)的图象关于点中心对称
3.(多选题)(2024江苏常州期末)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:
①函数f(x)的最小正周期为π;
②函数f(x)的图象经过点;
③函数f(x)的图象关于点对称;
④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.
则这3个条件的序号可以是(　　)
A.①②③　　　　B.①②④
C.①③④　　　　D.②③④
题组二　正、余弦(型)函数的单调性与最值
4.(2024江苏姜堰中学期中)若函数f(x)=3cos(ω>0)恒有f(x)≤f(2π),且f(x)在上单调递减,则ω的值为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.或
5. (2024江苏常州新桥高级中学期中)已知函数f(x)=msin x+n(m,n∈R)的值域是[-1,3],则实数m的值等于(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　
C.±2　　　　D.±1
6. (2024江苏苏州期末)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),且f(x)在区间上具有单调性,则ω的最大值为(　　)
A.　　　　B.4　　　　C.　　　　D.8
7. (多选题)(2024江苏盐城第一中学期末,)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　)
A.f(x)在区间上单调递减
B.函数f(x)在区间上的最大值为
C.直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴
D.若f(x)+m=0在上有两个不相等的实根,则m的取值范围是(-2,-]
8. (多选题)(2024山东日照实验高级中学期末)已知函数f(x)=1-(x∈R),下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)的值域为
C.函数f(x)是周期为π的周期函数
D.函数f(x)在上单调递减
9.(2024贵州遵义期末)已知f(x)=-sin2x+sin x+a.
(1)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围;
(2)若对任意x∈R,恒有1≤f(x)≤,求实数a的取值范围.
题组三　正、余弦(型)函数性质的综合应用
10.(2023江苏盐城期末)已知函数f(x)=asinωx++b(ω>0)的图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.
(1)若a=2,b=0.
①求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标;
②求函数f(x)在[0,2π]上的单调增区间;
(2)若f(x)在R上的最大值为6,最小值为0,求实数a,b的值.
11.(2023江苏宿迁期末)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且过点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当α∈时, f(α)=,求f 的值;
(3)当x∈时,关于x的方程f(x)=a恰有两个不同的实数解,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
基础过关练
1.B
2.A　当x=0时,y=sin=-<0,故排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,故排除C.故选A.
3.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象如下,
由图可得,函数f(x)=sin x的图象和g(x)=|cos x|的图象在(0,2π)上有两个交点.
当x∈时,sin x=cos x,则tan x=1,所以x=,
当x∈时,sin x=-cos x,则tan x=-1,所以x=,
故所有交点的横坐标之和为+=π.故选A.
4.答案　
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=cos x在(0,2π)内的图象,
∵sin x>cos x,
∴函数y=sin x的图象在函数y=cos x的图象上方的自变量区间就是sin x>cos x的解集,
结合图象得x的取值范围是.
温馨提示　作正弦函数、余弦函数的图象时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量的值为实数.同时,在连线时要用平滑的曲线连接,不能用线段连接.
5.答案　
解析　由已知得函数f(x)的最小正周期T=,
易知区间[0,π]包含=个周期,又函数f(x)在[0,π]上的图象与x轴恰有3个交点,且其横坐标分别为x1,x2,x3,
故结合“五点法”作图知,x3-x1=T=.
6.A　函数y=sin 2x的周期为=π,
设f(x)=sin 2x,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,
又f(-x)=sin[2(-x)]=-sin 2x=-f(x),所以函数y=sin 2x为奇函数,故A正确;
函数y=cos 2x的周期为=π,
设g(x)=cos 2x,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,
又g(-x)=cos[2(-x)]=cos 2x=f(x),所以函数y=cos 2x为偶函数,故B错误;
函数y=tan 2x的周期为,故C错误;
设h(x)=|sin x|,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,
又h(x+π)=|sin(x+π)|=|-sin x|=h(x),故函数y=|sin x|的周期为π,
又h(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=h(x),所以函数y=|sin x|为偶函数,故D错误.故选A.
7.C　∵f(x)是奇函数,且在x=0时有意义,∴f(0)=0破题关键,
若φ=,则f(0)=sin-sin π=sin≠0,故A错误;
若φ=,则f(0)=sin-sin=sin-sin2π-=2sin≠0,故B错误;
若φ=,则f(0)=sin-sin=sin-sin2π+=sin-sin=0,
又f(x)=sin-sin=sin-sinx+2π+=sin-sin=sinx++sin,
所以f(-x)=sin+sin=-sinx--sin=-f(x),且f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故C正确;
若φ=, 则f(0)=sin-sin=sin-sin=2sin=2≠0,故D错误.故选C.
8.答案　0
解析　因为f(x)=cos(πx+φ)是定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,所以f(0)=cos φ=0,解得φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos=-sin πx,所以f(2)=-sin 2π=0.
9.A　函数y=sin的定义域为R,关于原点对称,
且y=sin=-cos x,
而函数y=-cos x是偶函数,
所以函数y=sin的图象关于y轴对称.
故选A.
10.AC　因为函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,解得ω=2,故A正确;
令x=0,则f(0)=2cos=2cos=1,即函数图象与y轴交于点(0,1),故B错误;
因为f=2cos=2cos π=-2,且f(x)的最小正周期为π,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,不关于直线x=对称,故C正确,D错误.
故选AC.
11.C　因为函数y=cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z,
所以当k=1时,φ=-,当k=2时,φ=-,当k=3时,φ=,所以|φ|的最小值为.故选C.
12.A　a=sin 46°=cos(90°-46°)=cos 44°.因为函数y=cos x在(0,π)上单调递减,且36°<44°<46°,所以cos 36°>cos 44°>cos 46°,即c>a>b.故选A.
13.D　f(x)=2=2,
易知f(x)是由y=2,t=cos复合而成的,因为y=2在定义域上单调递增,所以要想求f(x)的单调递减区间,只需求t=cos的单调递减区间,且保证cos≥0即可,
则2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).故选D.
14.答案　和
解析　f(x)=sin=-sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
则f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
令A=,k∈Z,B=[0,π],
当k=0时,A=,则A∩B=;
当k=1时,A=,则A∩B=.
∴f(x)在[0,π]上的单调递减区间为和.
15.B　因为x∈,所以x+∈,所以y=cos∈.故选B.
16.D　y=sin2x-cos x=-cos2x-cos x+1.
令t=cos x,则t∈[-1,1],y=-t2-t+1=-+,所以当t=-时,函数y取得最大值,为.
故选D.
17.C　由题意得其中x∈[0,2π],即其中x∈[0,2π],解得≤x<,
即函数f(x)的定义域为.故选C.
18.答案　α>或<α≤π
解析　因为-≤x<α,所以-≤x+<α+,
因为函数f(x)=sin在x∈上既有最大值又有最小值,
所以α+>或≥α+>,解得α>或π≥α>.
19.解析　(1)因为f(x)=2sin,所以f=2sin=2sin=-2sin=-1.
(2)由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(3)当x∈时,2x-∈,令t=2x-∈,则y=2sin t,
由y=2sin t,t∈的图象知,当t=-时,y=2sin t取得最小值,为-1,当t=时,y=2sin t取得最大值,为2,
所以当x∈时,f(x)的最大值为2,最小值为-1.
能力提升练
1.D　由已知得ω+=kπ(k∈Z),
即ω=6k-(k∈Z),
当k=1时,ω最小,为,则最小正周期T最大,
此时f(x)=cos,
令x+=kπ+,k∈Z,可得其图象的对称中心的横坐标为x=kπ-(k∈Z),
当k=0时,函数f(x)的图象的对称中心距离原点最近,此时对称中心为.故选D.
2.BCD　∵cos x≠0,∴x≠kπ+,k∈Z,令t=cos x,则t∈[-1,0)∪(0,1],易知y=t+在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递减,∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∴f(x)没有最小值,故A错误;
∵x≠kπ+,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=cos(-x)+=cos x+=f(x),
∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故B正确;
f(π+x)=cos(π+x)+=-cos x-, f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-,∴f(π-x)=f(π+x),∴f(x)的图象关于直线x=π对称,故C正确;
f =cos+=sin x+,
-f =-
=sin x+,∴f =-f ,∴f(x)的图象关于点,0中心对称,故D正确.故选BCD.
3.AB　若①正确,则=π,解得ω=2;
若②正确,则f(0)=cos φ+1=,解得cos φ=,
又|φ|<π,故φ=±;
若③正确,则+φ=+k1π,k1∈Z;
若④正确,则-+φ=k2π,k2∈Z.
对于A,ω=2,取φ=-,则-=,满足条件③,不满足条件④,正确;
对于B,ω=2,取φ=,则-+=0,满足条件④,不满足条件③,正确;
对于C,+==π
破题关键,解得k=,与k∈Z矛盾,错误;
对于D,ω+ω=ω=+k3π,k3∈Z,
则ω=,k3∈Z,
此时-+φ=-×+φ=-π+φ=k2π,k2,k3∈Z,整理得7φ=(7k2+2k3)π+π,k2,k3∈Z,而由②知φ=±,故不成立,错误.故选AB.
4.D　由题意得当x=2π时, f(x)取得最大值,
所以2πω+=2kπ,k∈Z,则ω=k-,k∈Z.
由f(x)在上单调递减,得-≤T,所以T≥π,即≥π,又ω>0,
所以0<ω≤2,所以ω=或ω=,
经检验,ω=或ω=均满足条件.故选D.
5.C　当m>0时,由-1≤sin x≤1,得-m+n≤f(x)≤m+n,
因为f(x)的值域为[-1,3],所以解得m=2,n=1;
当m=0时,显然不符合题意;
当m<0时,由-1≤sin x≤1,得m+n≤f(x)≤-m+n,
因为f(x)的值域为[-1,3],所以解得m=-2,n=1.
综上,m=±2.故选C.
6.C　因为函数f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1,解得sin φ=.
因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin,
当x∈时,ωx+∈,
因为f(x)在区间上具有单调性,
所以 ,k∈Z,
即+≥-+kπ且+≤+kπ,k∈Z,
则-+8k≤ω≤+4k,k∈Z,
因为-+8k≤+4k,所以k≤,
因为ω>0,所以当k=0时,ω∈;当k=1时,ω∈.
综上,ω∈∪,即ω的最大值为.
故选C.
7.ACD　因为f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,
所以f =2sin=0,故+φ=kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin.
对于A,易知f(x)的单调递减区间为,k∈Z,因为 ,故f(x)在区间上单调递减,故A正确;
对于B,若x∈,则2x+∈,故当2x+=,即x=时, f(x)取得最大值,为2,故B错误;
对于C, f =2sin=2sin=-2,故C正确;
对于D,若x∈,则2x+∈,若f(x)+m=0在上有两个不相等的实根,则-=sin在上有两个不相等的实根,因此≤-<1,解得m∈(-2,-],故D正确.
故选ACD.
8.ABD　f(x)=1-==,
其定义域为R,关于原点对称,
而f(-x)=====-f(x),故f(x)为奇函数,故A正确;
因为sin x∈[-1,1],所以2sin x∈,2sin x+1∈,∈,
所以f(x)=1-∈,故B正确;
f(x+π)====≠f(x),
所以f(x)不是周期为π的周期函数,故C错误;
因为y=sin x在上单调递减,y=2x在上单调递增,所以y=2sin x+1在上单调递减,
从而y=在上单调递增,则y=-在上单调递减,则f(x)=1-在上单调递减,故D正确.故选ABD.
9.解析　(1)由f(x)=0,得a=sin2x-sin x=-.
当sin x=-1时,amax=2;当sin x=时,amin=-.
故实数a的取值范围为.
(2)由1≤f(x)≤,得1≤-sin2x+sin x+a≤,则a≤sin2x-sin x+,且a≥sin2x-sin x+1对x∈R恒成立.
由sin2x-sin x+=+4≥4,得a≤4.
由sin2x-sin x+1=+≤3,得a≥3.
故3≤a≤4,即实数a的取值范围为[3,4].
10.解析　(1)若a=2,b=0,则f(x)=2sin(ω>0).
∵f(x)的图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为×=,∴ω=2,∴f(x)=2sin.
①令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称中心的坐标是,k∈Z.
②令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,
又x∈[0,2π],∴所求单调递增区间为,,.
(2)当x∈R时,-1≤sin≤1.易知a≠0,
当a>0时,-a+b≤f(x)≤a+b,
由解得
当a<0时,a+b≤f(x)≤-a+b,
由解得
综上,a=3,b=3或a=-3,b=3.
11.解析　(1)由题意得,函数f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2,∴f(x)=3sin(2x+φ).
∵f(0)=3sin φ=,∴sin φ=,
又0<φ<,∴φ=,∴f(x)=3sin.
(2)由(1)知f(x)=3sin,
∵f(α)=,∴f(α)=3sin=,
∴sin=.
∵<α<,∴<2α+<π,
∴cos=-=-,
∴f =3sin=3sin
=3sin=-3cos=.
(3)由(1)知f(x)=3sin,设u=2x+,
则当x∈时,u=2x+∈.
在同一平面直角坐标系中作出直线y=a与曲线y=3sin u,u∈的图象,如图所示.
由图可知,当-3∴实数a的取值范围是.
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