2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.3.2 第2课时　正切函数的图象与性质（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第2课时　正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2024辽宁沈阳期末)函数y=tan在一个周期内的图象是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
2.(2024江苏扬州期中)与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程可能是(　　)
A.x=　　　　B.x=　　　　C.x=　　　　D.x=
3.(教材习题改编)使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合为　　　　　　　.
题组二　正切(型)函数的定义域、值域
4.(教材习题改编)函数y=tan的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
5. (2024江苏江浦高级中学期中)函数f(x)=tan x在上的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.-
6.(2024河北张家口期末)已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为　　　　.
题组三　正切(型)函数的奇偶性、周期性、单调性、图象的对称性
7.(2023江苏句容高级中学期末)设a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>c>b　　　　B.ab>c　　　　D.a8.(2024湖北三市期末联考)设函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的一个最小正周期可以是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
9.(2022北京二中月考)函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.
10.(多选题)(2024江苏宿迁期末)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为
B.函数f(x)的最小正周期为
C.函数f(x)在定义域上是增函数
D.函数f(x)图象的一个对称中心为
11. (2024山东青岛期末)已知f(x)=2 023sin x+2 024tan x-1,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=　　　　.
能力提升练
题组　正切(型)函数的图象及性质
1. (2024宁夏银川期末)函数f(x)=2x·tan x(-12.(2023河南濮阳期末)若函数f(x)=a-tan 2x在x∈上的最大值为7,最小值为3,则ab=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3. (2024安徽淮北期末,)已知定义在上的函数f(x)=x3+tan x+2,则不等式f(x-2)+f >4的解集是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4. (2024江苏徐州期末,)已知函数f(x)=-,若a=tan 171°,b=tan 188°,c=tan 365°,则　　(　　)
A.f(a)C.f(b)5.(多选题)(2022江西景德镇期中)若函数f(x)=则(　　)
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
6.(2023江苏扬州江都中学月考,)当07.(2023江苏盐城一中期末)若函数y=tanωx+在上单调递减,且在上的最大值为,则ω=　　　　.
8.(2024宁夏石嘴山期末)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第2课时　正切函数的图象与性质
基础过关练
1.A　当x=时,tan=0,故排除C,D;当x=时,tan=1,故排除B.故选A.
2.B　由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
当k=0时,x≠,∴与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程可能是x=.故选B.
3.答案　
解析　不等式3+tan 2x≥0可转化为tan 2x≥-.在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-,如图所示.
由图象得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x得-≤x<+(k∈Z),
∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
4.A　令2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+kπ,k∈Z.故选A.
5.D　由正切函数y=tan x的单调性可知,f(x)=tan x在上单调递增,
所以其最小值为tan=-.故选D.
6.答案　[-4,4]
解析　∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1],
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].
易知函数在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
7.A　易知函数y=tan x在上单调递增且tan x>0,在上单调递增且tan x<0,
因为<1<<2<3<π,所以tan 20,所以a>c>b.故选A.
解题模板　解答比较函数值大小问题的常见思路:①判断各个函数值所在的区间;②利用函数的单调性直接求解.
8.B　由题意可知ω×-=(k∈Z),
∴ω=(k∈Z),则T==(k∈Z),
显然当k=1时,T=是f(x)的一个最小正周期.
不存在k∈Z,使得T=,或.故选B.
9.A　因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的最小正周期为,则=,解得ω=4,即f(x)=tan 4x,
故f=tan π=0.故选A.
10.AB　对于A,由3x+≠kπ+(k∈Z)可得x≠+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域为,故A正确;
对于B,函数f(x)的最小正周期T=,故B正确;
对于C,函数f(x)在定义域上不单调,故C错误;
对于D,因为3×+=,tan≠0,所以不是函数f(x)图象的对称中心,故D错误.故选AB.
11.答案　-5
解析　令g(x)=2 023sin x+2 024tan x,
易知y=sin x与y=tan x均为奇函数,
所以g(x)也为奇函数,故g(-x)=-g(x),
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)
=g(-2)-1+g(-1)-1+g(0)-1+g(1)-1+g(2)-1
=-g(2)+g(2)-g(1)+g(1)+g(0)-5=-5.
能力提升练
1.B　函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
又f(-x)=-2x·tan(-x)=2x·tan x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故排除A,C;
又f(1)=2×1×tan 1=2tan 1>0,故排除D.故选B.
2.B　∵x∈,∴b>-,∴2x∈.
∵函数f(x)在x∈上的最大值为7,最小值为3,∴2b<,即b<.
根据正切函数y=tan x在上单调递增,得f(x)=a-tan 2x在上单调递减,
∴f =a+3=7, f(b)=a-tan 2b=3,解得a=4,tan 2b=,∵2b∈,∴2b=,∴b=,
∴ab=4×=.故选B.
3.C　由f(x-2)+f>4,得f(x-2)-2>-,
令g(x)=f(x)-2=x3+tan x,x∈,其定义域关于原点对称,又g(-x)+g(x)=-x3-tan x+x3+tan x=0,故g(x)为奇函数,
则f(x-2)-2>-等价于g(x-2)>-g=g,
因为y=x3,y=tan x在上均单调递增,
所以g(x)在上单调递增,
所以解得4.A　f(x)=-=-(e2x+e-2x),其定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=-(e-2x+e2x)=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,
令t=x2+1,其在(0,+∞)上单调递增,
又y=在(0,+∞)上单调递减,
所以函数y=在(0,+∞)上单调递减,
令u=e2x,易知其在(0,+∞)上单调递增,
当x∈(0,+∞)时,u∈(1,+∞),
易知函数y=u+在(1,+∞)上单调递增,
所以函数y=e2x+e-2x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)=-(e2x+e-2x)在(0,+∞)上单调递减.
f(a)=f(tan 171°)=f(-tan 9°)=f(tan 9°),
f(b)=f(tan 188°)=f(tan 8°),
f(c)=f(tan 365°)=f(tan 5°),
因为tan 5°故选A.
5.AD　当tan x>sin x,即kπ当tan x≤sin x,即kπ-所以f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图中实线部分所示.
由图可得f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
由f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.故选AD.
6.答案　-4
解析　因为0又0设t=tan x,t∈(0,1),则原函数可转化为g(t)==,
当t=时,函数g(t)取得最大值,为-4,
所以f(x)的最大值为-4.
7.答案　-
解析　因为函数y=tan在上单调递减,所以ω<0,≥π,所以-≤ω<0①.
因为函数y=tan在上的最大值为,所以-ω+=+kπ,k∈Z,即ω=--3k,k∈Z②.由①②得ω=-.
8.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.
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