2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)
基础过关练
题组一　三角函数图象的变换
1. (教材习题改编)已知函数f(x)=sin 2x,为了得到y=sin的图象,只需将f(x)的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.将y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向右平移个单位长度,所得图象恰与y=sin的图象重合,则f(x)=(　　)
A.sin　　　　B.sin
C.sin　　　　D.sin
题组二　由图象确定函数解析式
3.(2024北京朝阳期末)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)
A.ω=1,φ=-　　　　B.ω=1,φ=
C.ω=2,φ=-　　　　D.ω=2,φ=
4.(2024山东济宁期中)函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.(2024河南南阳期中)已知函数y=f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=(　　)
A.2+　　　　B.　　　　C.　　　　D.2-
6.(2022北京大学附属中学期中)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示, f =-,则f(0)=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
题组三　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
7. (2024江苏常州期末)将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度后得到曲线C1,再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的倍得到曲线C2,最后将曲线C2上的每一点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3.若曲线C3恰好是函数f(x)的图象,则f(x)在区间上的值域是(　　)
A.[-1,1]　　　　B.[-1,2]
C.[1,2]　　　　D.[-2,2]
8. (2024湖南长沙明德中学期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于(　　)
A.　　　　B.0　　　　C.+2　　　　D.-2
9. (多选题)(2024江苏南通期末)将函数y=cos 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,再沿y轴向上平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.函数g(x)的最小正周期为π
B.g(x)在上单调递增
C.g(x)的图象关于直线x=对称
D.g(x)的图象关于点中心对称
10. (2024江苏镇江期末统考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的最小正周期为π,且　　　　.
①点在函数f(x)的图象上;
②函数f(x)的一个零点为-;
③f(x)的一个增区间为.
请你从以上三个条件中任意选择一个,将题目补充完整,并求解下列问题:
(1)求f(x)的解析式;
(2)用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象.
能力提升练
题组　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
1.(2024天津部分区期末)将函数y=3sin2x++1的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的图象的一个对称中心为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.(2024河北保定期末)将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(ω>0)倍得到函数y=f(x)的图象.若y=f(x)在上的最大值为,则ω的取值个数为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
3.(2024江苏金湖中学期末,)已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)M>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,其中A,B,C(0,2),先将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g=(　　)
A.　　　　B.-2　　　　C.-2　　　　D.
4.(多选题)(2024江苏淮安期中,)函数f(x)=2tan(ω>0)的图象与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且满足△ABC的面积为,则下列结论正确的是(　　)
A.ω=2
B.f(x)的图象的对称中心为,k∈Z
C.f(x)的单调增区间是,k∈Z
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后可以得到函数y=2tan ωx的图象
5.(多选题)已知函数f(x)=Acos(x+φ)+1,若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.将函数y=2sin x+1的图象向左平移个单位长度可得到f(x)的图象
D.函数f(x)在区间上单调递减
6.(2024江苏南通如皋长江高级中学期中)将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ的可能取值是　　　(只需填一个值).
7.(2024江苏启东中学期末)将函数f(x)=sin(ω∈R且ω≠0)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标保持不变,若所得函数的图象与函数g(x)=cos(x+φ)(0<φ<π)的图象重合,则tan=　　　　.
8.(2023江苏江浦高级中学期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度,再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.
①当x∈时,求函数g(x)的值域;
②若方程g(x)-m=0在上有三个不相等的实数根x1,x2,x3,且x19.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+bω>0,-<φ<图象的相邻两条对称轴间的距离为,将f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,已知g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)
基础过关练
1.D　若把f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度,则所得图象的解析式为y=sin,故A错误.
若把f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,则所得图象的解析式为y=sin,故B错误.
若把f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度,则所得图象的解析式为y=sin,故C错误.
若把f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,则所得图象的解析式为y=sin,故D正确.
2.A　采用逆向思维,首先将函数y=sin的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,然后把图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin2x+的图象,即f(x)=sin,故选A.
3.B　设f(x)的最小正周期为T.由题图可知=-=π,所以T=2π,由=2π,得ω=1.由“五点法”可知+φ=π,所以φ=π-=.故选B.
4.B　设f(x)的最小正周期为T.由题图知,A=1,=-=,则T=π,又T=,ω>0,所以ω=2,故f(x)=cos(2x+φ).
当x=时,f =cos=-1,则+φ=π+2kπ,k∈Z,故φ=-+2kπ,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=cos=cos=sin-=sin.
要想得到函数g(x)=sin 2x的图象,只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度即可.故选B.
5.B　由题图知,最小正周期T=2×=,所以ω==2,所以f(x)=Atan(2x+φ).因为f =0,所以tan+φ=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Atan2x+.因为f(0)=1,所以Atan=1,所以A=1,所以f(x)=tan,所以f =tan=tan=.故选B.
6.C　由题图可知函数f(x)的最小正周期T=2×=,故ω==3.将代入函数f(x)的解析式,得Acos=0,故+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+(k-2)π(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=Acos.
又f =Acos=-Asin=-,所以A=,所以f(x)=cos.
所以f(0)=cos=×=.故选C.
7.B　将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度后得到曲线C1:y=sin,再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的倍得到曲线C2:y=sin,最后将曲线C2上的每一点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3:y=2sin.
当x∈时,2x+∈,sin∈,2sin∈[-1,2].
故f(x)在区间上的值域是[-1,2].故选B.
8.B　由题图得A=2,最小正周期T=8,故ω==,
又f(0)=0且|φ|<,所以φ=0,故f(x)=2sinx.
根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=, f(2)=-f(6)=2, f(4)=f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]=0.故选B.
9.ACD　由题意可得g(x)=cos+=cos2x-+=sin 2x+,
则函数g(x)的最小正周期为=π,故A正确;
当x∈时,2x∈(0,π),由于y=sin x在上单调递增,在上单调递减,即y=sin x在(0,π)上不单调,故g(x)在上不单调,故B错误;
当x=时,g=sin+=-,即函数g(x)取到最小值,
故g(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;
将x=0代入y=sin 2x,得y=sin 0=0,即y=sin 2x的图象关于点(0,0)中心对称,
将y=sin 2x的图象向上平移个单位长度,即得到g(x)的图象,
故g(x)的图象关于点中心对称,故D正确.
故选ACD.
10.解析　(1)由题意得最小正周期T==π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).
选①,f=sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以k=0,φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
选②, f=sin=0,所以-+φ=kπ,k∈Z,又0<φ<,所以k=0,φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
选③,令t=2x+φ,当x∈时,t∈,
又0<φ<,所以结合复合函数的单调性可知,-+φ,+φ=,所以φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
综上所述,无论选哪个条件,函数f(x)的解析式均为f(x)=sin.
(2)列表如下:
x -
2x+ 0 π 2π
f(x)=sin 0 1 0 -1 0
描点、连线(光滑曲线),画出函数f(x)在一个周期内的图象如图所示:
能力提升练
1.D　将函数y=3sin+1的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)=3sin+1=3sin+1的图象.
令2x+=kπ,k∈Z,则x=-+,k∈Z,
所以所得图象的对称中心为,k∈Z,
当k=2时,可得一个对称中心为.故选D.
2.A　由题意得f(x)=sin,当x∈时,ωx-∈,由正弦函数的单调性可知,当-<,即0<ω<2时, f(x)max=sin=,在同一平面直角坐标系中作出y=sin,y=在(0,2)上的图象,如图所示,两个图象只有一个交点,即ω有一个解;
当-≥,即ω≥2时,f(x)max=1=,则ω=5,有一个解.
故满足题意的ω有两个.故选A.
3.C　记函数f(x)的最小正周期为T,由题意知=-=,解得T=,所以ω==4,故f(x)=Mcos(4x+φ).
因为f(x)的图象过点A,且A在图象的下降段,所以4×+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,故f(x)=Mcos,
因为f(x)的图象过点C(0,2),所以Mcos=2,解得M=4,所以f(x)=4cos.
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到y=4cos的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)=4cos12x++=4cos12x+的图象,所以g=4cos=4cos=-2.故选C.
4.ACD　对于A,当x=0时,|OC|=f(0)=2tan=2,又S△ABC=,所以S△ABC=|AB||OC|=×2|AB|=,解得|AB|=,
即函数f(x)的最小正周期T=,由T=,ω>0,
得ω=2,故A正确;
对于B,由A可知f(x)=2tan,令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,即函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,故B错误;
对于C,由+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得+对于D,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2tan 2x的图象,故D正确.
故选ACD.
5.BC　由题图知函数f(x)的最大值为3,最小值为-1,所以A=2,所以f(x)=2cos(x+φ)+1.
因为函数y=|f(x)|的图象过点(0,2),所以2cos φ+1=2,即cos φ=,又|φ|<,所以φ=±,又函数的图象的最高点左移,所以f(x)=2cos+1.
令x+=kπ(k∈Z),得x=-+kπ(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=-+kπ(k∈Z),故A错误.
令x+=+kπ(k∈Z),得x=+kπ(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z),故当k=-1时,函数f(x)的图象关于点对称,故B正确.
函数y=2sin x+1的图象向左平移个单位长度得到y=2sin+1=2cos+1的图象,故C正确.
令2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z,当k=0时,函数f(x)的单调递减区间为,所以函数f(x)在区间上不具有单调性,故D错误.
6.答案　(答案不唯一)
解析　将函数f(x)=sin的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得g(x)=sin=sin的图象,
∵g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(0)=sin=0,
∴-2φ+=kπ,k∈Z,
∴φ=-,k∈Z,则φ的可能取值是.
7.答案　-
解析　将函数f(x)=sin(ω∈R且ω≠0)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标保持不变,所得图象对应的函数为y=sin,
所以g(x)=cos(x+φ)(0<φ<π)与y=sin=cos为同一函数,
故-=1,φ=-,即ω=-2,φ=,
所以tan=tan=tan=-tan=-.
8.解析　(1)设函数f(x)的最小正周期为T.由题图得,A==,B==1,=-=,所以T=π,所以ω==2,
所以f(x)=sin(2x+φ)+1.
因为f(x)的图象过点,所以=sin2×+φ+1,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin+1.
(2)①易得g(x)=sin+1.
当x∈时,x+∈,
所以sinx+∈,
所以g(x)=sin+1∈,
所以函数g(x)的值域为.
②当x∈时,x+∈,
令t=x+∈,
则sin+1=sin t+1.
令h(t)=sin t+1,t∈,作出函数y=h(t)的图象如图所示.
设h(t)-m=0有三个不同的实数根t1,t2,t3(t1即+2+=4π,
所以x1+2x2+x3=,
所以tan(x1+2x2+x3)=tan=tan=.
9.解析　(1)由题意知f(x)的最小正周期T=π,
又T=,所以ω=2,故f(x)=sin(2x+φ)+b,
而g(x)=sin+b-1=sin+b-1,
因为g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以b-1=0,且2×0++φ=kπ(k∈Z),则b=1,φ=kπ-(k∈Z),又-<φ<,所以φ=-,因此f(x)=sin+1.
(2)由(1)得g(x)=sin 2x,
令t=sin 2x,x∈,则t∈[0,1],由关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,得方程3t2+mt+2=0在t∈[0,1)内仅有一个根,且另一个根不等于1.
解法一:令h(t)=3t2+mt+2,则或解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}.
解法二:显然0不是该方程的根,则-mt=3t2+2,即-m=3t+,故直线y=-m与函数y=3t+的图象在t∈(0,1)内有且仅有一个交点,且另一个交点不为(1,5),
易得函数y=3t+在上单调递减,在上单调递增,
故-m>5或-m=2,解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}.
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