2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--8.1.1　函数的零点（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第8章　函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
基础过关练
题组一　函数的零点与方程的根
1.下列函数有变号零点的是(　　)
A. f(x)=3x　　　　B. f(x)=x2
C. f(x)=log3x　　　　D. f(x)=
2.(2024江苏洪泽中学期中)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是　　　　.
3.(2023河北石家庄二中月考)已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则y=h(x)-1的零点为　　　　.
题组二　函数零点(方程根)所在的区间
4. (2024江苏常州期末)函数f(x)=ln x+x-8的零点所在的区间为(　　)
A.(4,5)　　　　B.(5,6)　　　　C.(6,7)　　　　D.(7,8)
5.(2022湖南长沙期末)设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)(　　)
A.在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
6. (2024江苏盐城期末)已知函数f(x)=(2m-1)·xm为幂函数,若函数g(x)=ln x+2f(x)-6,则g(x)的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)
题组三　确定零点的个数
7.(2024河南期末)函数f(x)=xlg x-1的零点个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
8. (2024河北保定期末)函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
题组四　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
9.(2023江苏南京期末)设函数f(x)=2x+x-5在区间(k,k+1)(k∈Z)内有零点,则实数k=(　　)
A.-1　　　　B.0 C.1　　　　D.2
10.(2023江苏南通期中)已知函数f(x)=x2-(m-1)x-m的一个零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.(-1,0)
C.(1,2)　　　　D.(2,3)
11.(2024江苏淮安期末)已知函数f(x)=有且仅有3个零点,则正数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12. (2024江苏南通期末)试写出一个实数a=　　　　　,使得函数f(x)=ax2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点.
能力提升练
题组一　函数的零点与方程的根
1.(多选题)(2023山东烟台栖霞一中月考)设实数a,b,c满足ea=ln b=1-c,则下列不等式可能成立的有(　　)
A.a2. (2024江苏宿迁期末)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在的区间为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(1,2)
3.(多选题)(2024江苏滨海中学期末)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1A.-1C.x1x2=　　　　D.x3+x4=2
题组二　函数零点的个数及应用
4.(2024辽宁营口期末)函数f(x)=sin-|log3x|的零点个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
5.(多选题) (2024江苏盐城期中)已知函数f(x)=则下列结论正确的有(　　)
A. x∈R, f(x)≥-3
B.函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点
C.方程f(x)+f(-x)=0有唯一的解
D.直线y=-x与函数f(x)的图象有3个交点
6.(2023江苏无锡期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-的零点个数为　　　　.
题组三　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
7. (2024江苏扬州期末)关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内,则k的值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
8.(2024江苏苏州期末)已知f(x)为偶函数,对任意的实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=x3.若函数f(x)的图象与函数g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则a的取值范围是(　　)
A.(3,5)　　　　B.(3,5]　　　　C.(5,7)　　　　D.(5,7]
9.(2022山东滕州一中月考)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时, f(x)=g(x)=f(x)-a.
(1)若函数g(x)恰有三个不同的零点,求实数a的值;
(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和,当-1答案与分层梯度式解析
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
基础过关练
1.C　对于A,函数f(x)=3x>0恒成立,不存在零点,故A不符合题意;对于B,函数f(x)=x2存在零点x=0,但当x<0时, f(x)>0,当x>0时, f(x)>0,不是变号零点,故B不符合题意;对于C,函数f(x)=log3x存在零点x=1,且当01时, f(x)>0,故C符合题意;对于D,函数f(x)=不存在零点,故D不符合题意.故选C.
2.答案　-1和4
解析　依题意,得或
所以x=-1或x=4.
3.答案　
解析　因为函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,所以f(x)=ln x,
又因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x,
由-ln x=1可得x=.
4.C　因为函数y=ln x,y=x-8在(0,+∞)上都是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(6)=ln 6-2<0, f(7)=ln 7-1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(6,7).故选C.
5.C　令f(x)=0,得x=ln x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x和y=ln x的图象,如图所示,
根据图象可知, f(x)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点,故选C.
6.C　因为函数f(x)=(2m-1)xm为幂函数,所以2m-1=1,得m=1,
所以f(x)=x,所以g(x)=ln x+2x-6,易得g(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上单调递增,
因为g(1)=-4<0,g(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,g(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,g(4)=ln 4+2>0,
所以g(x)在(2,3)上有唯一零点.故选C.
7.B　令f(x)=xlg x-1=0,得lg x=,
在同一平面直角坐标系内画出函数y=lg x与y=的图象,如图所示:
由图可知,函数y=lg x和y=的图象在(0,+∞)上有唯一公共点,故f(x)的零点个数为1.故选B.
8.C　当x≥0时,令x2-3x+2=0,解得x=1或x=2;
当x<0时,令ex+x=0,则ex=-x,
在同一平面直角坐标系内画出函数y=ex与y=-x的图象,如图所示:
由图可知,函数y=ex和y=-x的图象在(-∞,0)上有一个公共点.
故f(x)的零点个数为3.故选C.
9.C　易知函数f(x)在定义域上单调递增,
因为f(1)=2+1-5=-2<0, f(2)=4+2-5=1>0,
所以f(x)在(1,2)内存在零点,故k=1.故选C.
10.C　令f(x)=x2-(m-1)x-m=0,即(x+1)(x-m)=0,解得x1=-1,x2=m.
因为函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内,-1 (1,2),所以m∈(1,2),所以实数m的取值范围是(1,2).故选C.
11.B　对于y=-x2+ax+1,
易知其对应方程的判别式Δ=a2+4>0,且函数图象开口向下,
则方程-x2+ax+1=0必有一个负根,即函数y=-x2+ax+1在x<0时有一个零点,
所以y=sin,0≤x≤π有2个零点,
易知ax+∈(a>0),则aπ+∈[2π,3π),所以a∈.故选B.
12.答案　1(答案不唯一)
解析　不妨取a=1,则f(x)=x2+4x-1,
则f(1)=4, f(-1)=-4,即f(1)f(-1)<0,
因为f(x)=x2+4x-1的图象的对称轴为直线x=-2,
所以f(x)在(-1,1)上单调递增,
故f(x)=x2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点.
能力提升练
1.BC　在同一平面直角坐标系中画出函数y=ex,y=ln x,y=1-x的图象,如图,
根据图象可知,当ea=ln b=1-c∈(0,1)时,a1时,c2.B　由题图得,点(-1,0),(0,-1)在函数f(x)的图象上,所以解得
所以g(x)=ln x+2x+,其定义域为(0,+∞),
因为y=ln x,y=2x+在(0,+∞)上均单调递增,
所以g(x)=ln x+2x+在(0,+∞)上单调递增,
又g=ln++=-<0,
g=ln+1+=-ln 2>0,
g(1)=ln 1+2+=>0,
g(2)=ln 2+4+=+ln 2>0,
即gg<0,
所以函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在的区间为.故选B.
3.BCD　因为函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点,
所以f(x)=m有4个不同的解,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的交点,
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
当x=0时, f(0)=1,由图象可得,0由|ln(-x)|=1,得x=-或x=-e,所以由图象可得-1由题及上述可得,|ln(-x1)|=|ln(-x2)|,-e≤x1<-1,-1由图象可得,x3,x4关于直线x=2对称,所以x3+x4=4,故D中结论错误.
故选BCD.
4.B　函数f(x)=sin-|log 3x|的零点个数,即函数y=sin与y=|log3x|的图象的交点个数破题关键,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=sin和y=|log3x|的图象,如图所示:
由图可知,两函数的图象的交点个数为2,故函数f(x)的零点个数为2.
故选B.
5.ABD　对于A,作出函数y=f(x)的图象如图①所示:
由图①可知, x∈R, f(x)≥f(2)=-3,故A正确;
对于B,当g(x)=0时, f(x)=sin x-1,则函数g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=sin x-1的图象的交点个数,令h(x)=sin x-1.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=h(x)的图象如图②所示:
由图②可知,函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点,故B正确;
对于C,根据题意,得-f(-x)=
在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象如图③所示:
由图③可知,函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象有4个交点,即方程f(x)=-f(-x)有4个不同的解,故C错误;
对于D,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=-x,如图④所示:
由图④可知,直线y=-x与函数y=f(x)的图象有3个交点,故D正确.故选ABD.
6.答案　2
解析　作出函数f(x)的图象,如图所示.
当0≤x≤1时,0≤≤,则0≤sin≤;
当x>1时,+1∈.
由g(x)=f(f(x))-=0,得f(f(x))=,
令t=f(x),则f(t)=.
当t>1时,无解;
当0≤t≤1时,sin=,
所以t=.
又f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f =f =,所以函数g(x)有2个零点.
7.A　关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内可转化为函数f(x)=sin x+x-3的唯一零点在区间(k∈Z)内破题关键,又f(2)=sin 2+2-3=sin 2-1<0,且f=sin+-3>sin+-3=-=0,
故由函数零点存在定理,得f(x)在上有零点,
又因为函数f(x)=sin x+x-3的唯一零点在区间(k∈Z)内,所以k=2.
故选A.
8.A　因为f(x)为偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x3,
所以当x∈[-1,0]时, f(x)=-x3.
又f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2.
易得g(x)=log a|x|为偶函数,所以要想f(x)的图象与g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则只需f(x)的图象与函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象有3个交点破题关键.令h(x)=logax(a>0,且a≠1),由题意可知,a>1,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和h(x)=logax(a>1)的图象,如图所示:
由图可得,若函数f(x)和h(x)的图象有3个交点,则需h(3)=loga3<1=f(1),h(5)=loga5>1=f(5),故39.解析　(1)根据题意画出函数f(x)的图象,如图所示:
由图可知,当且仅当a=2或a=-2时,直线y=a与函数y=f(x)的图象有3个不同的交点,即函数g(x)恰有3个不同的零点,故a=2或a=-2.
(2)由(1)中f(x)的图象可知,当-1∴h(a)=-10-log3(7-a)+log3(7+a)+10=log3,
当-1∴h(a)∈(1-2log32,2log32-1),
故当-121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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