2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第1章　集合拔高练（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　集合的运算
1.(2023全国甲文,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪ UM=(　　)
A.{2,3,5}　　　　 B.{1,3,4}
C.{1,2,4,5}　　　　D.{2,3,4,5}
2.(2023北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=(　　)
A.{x|-2≤x<1}　　　　B.{x|-2C.{x|x≥-2}　　　　 D.{x|x<1}
3.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N)　　　　B.N∪ UM
C. U(M∩N)　　　　D.M∪ UN
4.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}　　　　
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　　
D.
5.(2022全国甲理,3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则 U(A∪B)=(　　)
A.{1,3}　　　　B.{0,3}　　　　C.{-2,1}　　　　D.{-2,0}
6.(2022新高考Ⅰ,1)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　　)
A.{x|0≤x<2}　　　　 B.
C.{x|3≤x<16}　　　　D.
考点2　集合的运算的应用
7.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.　　　　D.-1
8.(2020全国Ⅰ理,2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=　　(　　)
A.-4　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.4
9.(2020全国Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
10.(2020浙江,10)设集合S,T,S N*,T N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若xA.若S有4个元素,则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素
三年模拟练
应用实践
1.(2024重庆八中期中)已知集合A=,B=,下列描述正确的是(　　)
A.A∩B=A　　　　 B.A∩B=B
C.A∩B= 　　　　D.以上选项都不对
2.(2024江苏镇江期中)若集合M={x|(m+1)x2-mx+m-1=0}恰有1个真子集,则m的取值是　　(　　)
A.-1　　　　 B.　　　　
C.±　　　　D.±或-1
3.(2024江苏盐城联考)设集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},定义集合S={(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab},则集合S中元素的个数是(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
4.(2024辽宁联考)经调查,杭州第19届亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱.小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况,每人至少观看过其中一类比赛,有15人观看过这三类比赛,有18人没观看过球类比赛,有20人没观看过田径类比赛,有16人没观看过游泳类比赛,因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失,将其记为m,则由上述可推断出m=(　　)
A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19
5.(多选题)(2024江苏南京联考)用C(M)表示非空集合M中的元素个数.对于集合A,B,定义A*B=若A={0,1},B={x|(x2-ax)(x2+ax+2)=0},设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则下列选项正确的是(　　)
A.C(B)可能为1,2,3,4
B.若A*B=0,则a的取值范围为(-2,2)
C.若A*B=1,则C(S)=3
D.若A*B=2,则a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞)
6.(2022江苏高邮第一中学月考)已知全集U={x|x=3n,1≤n≤5且n∈N},A={x|x2-px+27=0,p∈N},B={x|x2-15x+q=0,q∈N},且A∪( UB)={3,9,12,15},则p+q=　　　　.
7.(2024北京首都师范大学附属中学阶段检测)当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时,称两个集合之间构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方的子集时,称两个集合之间构成“偏食”.对于集合A=,B={x|x2=a},若A与B构成“全食”,则a的取值范围是　　　　　　;若A与B构成“偏食”,则a的值是　　　　.
8.(2023河南商丘宁陵高级中学月考)已知集合A={x|-2≤x≤5},
B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(3)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
迁移创新
9.(2024北京大兴期中)对于非空有限整数集X,m∈N*,定义Xm={xm|x∈X},对于非空有限整数集Y,n∈Z,Y n={x+n|x∈Y},现有两个非空有限整数集A,B,已知A 1 B且B2 (-4) A.
(1)当A={-3,0}时,求集合B;
(2)证明:A {-3,-2,0,1}.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A　因为U={1,2,3,4,5},M={1,4},
所以 UM={2,3,5},又因为N={2,5},
所以N∪ UM={2,3,5}.故选A.
2.A　由题意知M={x|x≥-2},N={x|x<1},
则M∩N={x|-2≤x<1}.
A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1 UM={x|x≥1}, UN={x|x≤-1或x≥2},则 U(M∪N)={x|x≥2},
U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},N∪ UM={x|x>-1},M∪ UN={x|x<1或x≥2},故选A.
4.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A.
考题溯源　分析近几年全国各地高考试题可以发现,经常可以见到课题例题、习题的影子,来源于课本,而又高于课本.本题以除以3的余数问题为载体,考查集合的表示方法及集合的运算,属于课程学习情境.题中集合M中元素的共同特征可归纳为:3的整数倍加1;集合N中元素的共同特征可归纳为:3的整数倍加2,所以 U(A∪B)表示能被3整除的整数的集合.对比教材P8T6:“已知A={x|x=3k+1,k∈Z},问:-1,5,7三个数中,哪些数是A的元素”,其考查的本质是相同的,只是从形式和内容上进行了一定的拓展.
5.D　由B={x|x2-4x+3=0}得B={1,3},又A={-1,2},所以A∪B={-1,1,
2,3},又U={-2,-1,0,1,2,3},所以 U(A∪B)={-2,0}.
6.D　由题意可知,M={x|0≤x<16},N=,故M∩N={x|0≤x<16}∩=.故选D.
高考风向　集合作为高中数学的预备知识内容,高考考查趋势趋于稳定性和基础性,新高考Ⅰ卷2021年,2022年,新课标Ⅰ卷2023年都设置在单选题的第1题,考查的知识点都是集合的交集运算,因此集合间的基本运算属于高频考点.此类型题难度小,属于基础题目,主要考查运算求解能力、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.解题时,可以借助数轴和Venn图分析,掌握集合的基本关系与基本运算,突出数形结合思想.
7.B　∵A B,∴0∈B.
当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.
综上,a=1,故选B.
8.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=,
又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-=1,∴a=-2.
故选B.
C　由得或或或所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,
故选C.
10.A　对于A,B,令S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},∴S∪T={2,4,8,16,32,64,128},有7个元素,∴A正确,B错误;对于C,令S={1,2,4},T={2,4,8},∴S∪T={1,2,4,8},有4个元素,∴C错误;对于D,令S={2,4,8},T={8,16,32},∴S∪T={2,4,8,16,32},有5个元素,∴D错误.故选A.
三年模拟练
1.A　因为A==,
B==,
所以A B,所以A∩B=A.故选A.
2.D　因为集合M={x|(m+1)x2-mx+m-1=0}恰有1个真子集,所以集合M有且只有一个元素.
当m+1=0,即m=-1时,M={x|x-2=0}={2},符合题意;
当m+1≠0,即m≠-1时,关于x的方程(m+1)x2-mx+m-1=0有两个相等的实数根,
则Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)=4-3m2=0,
解得m=±.
综上所述,m=-1或m=±.故选D.
3.C　∵集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},a∈A,b∈B,
∴a可取1,2,3,b可取0,1,2,4.
(1)当a=1时,若b=0,则a+b=1,ab=0,a+b>ab成立,数对(1,0)为S的一个元素;
若b=1,则a+b=2,ab=1,a+b>ab成立,数对(1,1)为S的一个元素;
若b=2,则a+b=3,ab=2,a+b>ab成立,数对(1,2)为S的一个元素;
若b=4,则a+b=5,ab=4,a+b>ab成立,数对(1,4)为S的一个元素.
(2)当a=2时,若b=0,则a+b=2,ab=0,a+b>ab成立,数对(2,0)为S的一个元素;
若b=1,则a+b=3,ab=2,a+b>ab成立,数对(2,1)为S的一个元素;
若b=2,则a+b=4,ab=4,a+b>ab不成立,数对(2,2)不是S的元素;
若b=4,则a+b=6,ab=8,a+b>ab不成立,数对(2,4)不是S的元素.
(3)当a=3时,若b=0,则a+b=3,ab=0,a+b>ab成立,数对(3,0)为S的一个元素;
若b=1,则a+b=4,ab=3,a+b>ab成立,数对(3,1)为S的一个元素;
若b=2,则a+b=5,ab=6,a+b>ab不成立,数对(3,2)不是S的元素;
若b=4,则a+b=7,ab=12,a+b>ab不成立,数对(3,4)不是S的元素.
综上,S的元素有8个,分别为(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1).
故选C.
4.A　设观看过球类与田径类比赛的有x人,观看过球类与游泳类比赛的有y人,观看过田径类与游泳类比赛的有z人,则m=x+y+z,
设只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为a,b,c,如图,
则a+b+c+x+y+z=50-15=35①,
因为有18人没观看过球类比赛,有20人没观看过田径类比赛,有16人没观看过游泳类比赛,所以b+c+z=18,a+c+y=20,a+b+x=16,
所以2(a+b+c)+x+y+z=54②,由①②得a+b+c=19,则m=x+y+z=16.故选A.
素养评析　研究观看各项比赛的人数时,首先将观看三类比赛的同学用集合表示,由此建立集合元素个数与已知数据间的关系,主要考查数学抽象;其次借助Venn图对集合进行划分,利用条件确定观看过其中两类比赛的人数,主要考查直观想象.
5.ACD　对于集合B,当a=0时,方程x2(x2+2)=0的解为x1=x2=0,则C(B)=1.
当a≠0时,由(x2-ax)(x2+ax+2)=0得x2-ax=0或x2+ax+2=0,其中x2-ax=0的解为x=0或x=a.
若方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根,则Δ=a2-8>0,解得a>2或a<-2,此时C(B)=4;
若方程x2+ax+2=0有两个相等的实数根,则Δ=a2-8=0,解得a=2或a=-2,此时C(B)=3;
若方程x2+ax+2=0无实数根,则Δ=a2-8<0,解得-2所以C(B)可能为1,2,3,4,故A正确.
若A*B=0,已知C(A)=2,则C(B)=2,
则a的取值范围为(-2,0)∪(0,2),故B不正确.
若A*B=1,已知C(A)=2,则C(B)=1或C(B)=3,当C(B)=1时,a=0,当C(B)=3时,a=2或a=-2,此时集合S={-2,0,2},则C(S)=3,故C正确.
若A*B=2,已知C(A)=2,则C(B)=4,
则a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞),故D正确.
故选ACD.
6.答案　66
解析　易知A,B中的元素个数最多为2,U={3,6,9,12,15}.
对于x2-px+27=0,Δ=p2-108,如有根则可设为x1,x2 (x1≤x2);
对于x2-15x+q=0,Δ=225-4q,如有根则可设为x3,x4 (x3≤x4).
对于Δ=p2-108,分以下情况:
(1)Δ=p2-108=0,解得p=±6,又p∈N,所以不符合题意.
(2)Δ=p2-108<0,解得-6故x3=6或x4=6,且有所以
此时B={6,9}与B={6}矛盾,不符合题意.
(3)Δ=p2-108>0,解得p>6或p<-6,
则所以
则A={3,9},则{12,15} UB,
①Δ=225-4q=0 q= N,不符合题意;
②Δ=225-4q<0 q>,此时B= ,则A∪( UB)={3,6,9,12,15},不符合题意;
③Δ=225-4q>0 q<,则B={x3,x4},
则所以
综上,p=12,q=54,p+q=66.
7.答案　{a|a<0或a=1};
解析　若A与B构成“全食”,则B A.
当a<0时,B= ,满足B A;
当a=0时,B={0},此时A∩B= ,不满足B A,舍去;
当a>0时,B={-,},
因为A=,
所以要使B A,则B={-1,1},即a=1.
综上,当A与B构成“全食”时,a的取值范围是{a|a<0或a=1}.
若A与B构成“偏食”,显然当a≤0时不满足题意;
当a>0时,由A∩B≠ ,得B=,即=,解得a=.
所以a的值为.
8.解析　(1)因为A∪B=A,所以B A.
当B= 时,m+1>2m-1,则m<2;
当B≠ 时,根据题意,得
解得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}.
(2)当x∈Z时,A={x|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8个元素,所以A的非空真子集的个数为28-2=254.
(3)当B= 时,由(1)知m<2;
当B≠ 时,根据题意作出如图所示的数轴:
可得或解得m>4.
综上,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
9.解析　(1)因为A={-3,0},B2 (-4) A,
所以B2 (-4)可能为 ,{-3},{0},{-3,0}.
当B2 (-4)= 时,B2= ,不符合题意;
当B2 (-4)={-3}时,B2={1},所以B={1,-1},{1},{-1};
当B2 (-4)={0}时,B2={4},所以B={2,-2},{2},{-2};
当B2 (-4)={0,-3}时,B2={4,1},所以B={1,2,-1,-2},{2,-1,-2},
{2,1,-2},{1,-1,-2},{1,-1,2},{1,2},{-1,2},{-1,-2},{1,-2}.
又A 1={-2,1} B,所以B为{1,-2},{2,1,-2},{1,-1,-2},
{1,2,-1,-2}.
(2)证明:设x∈A,
因为A 1 B,所以x+1∈B,
又B2 (-4) A,所以(x+1)2-4∈A.
取x=-4,则(-4+1)2-4=5∈A,(5+1)2-4=32∈A,……,
无限迭代,而A为有限集,不合题意,舍去,即-4 A;
取x=-3,则(-3+1)2-4=0∈A,(0+1)2-4=-3∈A,
可得集合A为{-3,0};
取x=-2,则(-2+1)2-4=-3∈A,(-3+1)2-4=0∈A,(0+1)2-4=-3∈A,可得集合A为{-3,-2,0};
取x=-1,则(-1+1)2-4=-4∈A,又-4 A,所以-1 A;
取x=0,则(0+1)2-4=-3∈A,(-3+1)2-4=0∈A,可得集合A为{-3,0};
取x=1,则(1+1)2-4=0∈A,(0+1)2-4=-3∈A,
(-3+1)2-4=0∈A,
可得集合A为{-3,0,1};
取x=2,则(2+1)2-4=5∈A,(5+1)2-4=32∈A,……,
无限迭代,而A为有限集,不合题意,舍去,即2 A;
同理当x<-4或x>2,且x∈Z时不符合A为有限集,舍去.
故集合A可以为{-3,0},{-3,-2,0},{-3,0,1},
所以A {-3,-2,0,1}.
素养评析　(1)由集合A={-3,0},B2 (-4) A得B2 (-4)可能为 ,{-3},{0},{-3,0},从而求得集合B,主要考查逻辑推理素养、数学运算素养,达到了水平一;(2)由集合的新定义,逐一取值迭代,由集合的有限性进行检验取舍,主要考查逻辑推理素养,达到了水平二.
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