2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第2章　常用逻辑用语（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第2章　常用逻辑用语
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列是存在量词命题且是假命题的是(　　)
A. x∈Z,x2>2　　　　B. x∈R,x2>0
C. x,y∈R,x2+y2<0　　　　D. x∈R,x2∈N
2.命题“ x∈R,x+2≤0”的否定是(　　)
A. x∈R,x+2>0　　　　B. x∈R,x+2≤0
C. x∈R,x+2>0　　　　D. x R,x+2>0
3.“|a|>|b|”是“a>b”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分又不必要条件
4.已知命题p: x∈R,x2-x-m=0,若p是真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
5.对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是(　　)
A.“ac2>bc2”是“a>b”的必要条件
B.“ac2=bc2”是“a=b”的必要条件
C.“ac2=bc2”是“a=b”的充分条件
D.“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分条件
6.命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a>4　　　　B.a≥4　　　　C.a<1　　　　D.a≥1
7.已知关于x的方程x2+ax+b=0,给出下列四个命题:
甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.
如果只有一个命题是假命题,则该命题是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
8.已知命题p: x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+4=0.若命题 p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤-2或a=1　　　　B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1　　　　D.a≥2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知命题p: x∈R,ax2-x+1=0,若p为真命题,则实数a的值可以是(　　)
A.-　　　　B.0　　　　C.　　　　D.
10.下列说法正确的是(　　)
A.“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是真命题
B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件
C.命题“ x∈R,x2+1=0”的否定是“ x∈R,x2+1≠0”
D.若“111.设全集为U,在下列选项中,是B A的充要条件的有(　　)
A.A∪B=A　　　　B.A∩B=A
C.( UA) ( UB)　　　　D.A∪( UB)=U
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若命题“ x∈R,x2+4x+m=0”为假命题,则实数m的取值范围是　　　　.
13.已知p:x2+x-6=0,q:mx+1=0,且q是p的充分不必要条件,则实数m的取值集合是　　　　.
14.已知命题p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知集合A={x|m-1(1)求实数a的取值集合B;
(2)在(1)的条件下,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
16.(15分)设命题p:x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根,命题q:对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.
17.(15分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax+1=0}.
(1)求集合A的真子集;
(2)若　　　　,求实数a的取值集合.
从以下两个条件中任选一个补充在横线上,并进行解答.
①“x∈B”是“x∈A”的充分条件;②A∪B=A.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18. (17分)设全集U=R,集合A=.
(1)当命题“ x∈R,x2-3x+a2=0”为真命题时,实数a的取值集合为B,求A∩B;
(2)已知集合C=(2-a,1+2a),若“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
19.(17分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.
答案全解全析
1.C
2.A　 x∈R,x+2≤0的否定为 x∈R,x+2>0.故选A.
3.D　设a=-2,b=0,此时满足|a|>|b|,但不满足a>b,充分性不成立,
设a=2,b=-3,此时满足a>b,但不满足|a|>|b|,必要性不成立,
故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件.故选D.
4.C　因为“ x∈R,x2-x-m=0”是真命题,所以方程x2-x-m=0有实数根,则Δ=(-1)2-4×(-m)≥0,解得m≥-.故选C.
5.B　对于A,若c=0,则a>b /ac2>bc2,∴“ac2>bc2”不是“a>b”的必要条件,故A错误;
对于B,a=b ac2=bc2,∴“ac2=bc2”是“a=b”的必要条件,故B正确;
对于C,若c=0,则ac2=bc2 /a=b,∴“ac2=bc2”不是“a=b”的充分条件,故C错误;
对于D,当c=0时,ac2=bc2,即ac2≥bc2成立,此时不一定有a≥b成立,
故“ac2≥bc2”不是“a≥b”的充分条件,故D错误.
故选B.
6.D　若“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,则a≥x2,
又x∈[1,2],∴a≥4.
对于A,B,可以推出“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,是充分条件;
对于C,“a<1”是“ x∈[1,2],x2-a≤0”的既不充分又不必要条件.
故选D.
7.A　若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为3,又两根之和为2,所以该方程的另一个根为-1,两根异号,符合题意;
若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为x=1,又两根之和为2,所以该方程的另一个根也为1,两根同号,不符合题意;
若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,两根同号,不符合题意;
若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,所以两根之和为4,不符合题意.
综上,甲为假命题.故选A.
8.D　若“ x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则在x∈[1,2]上,a≤(x2)min,∴a≤1.
若“ x∈R,x2+2ax+4=0”为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.
∵命题 p和命题q都是真命题,∴即a≥2.故选D.
9.ABC　∵ x∈R,ax2-x+1=0为真命题,∴方程ax2-x+1=0有实数根,
当a=0时,x=1符合题意;
当a≠0时,由方程ax2-x+1=0有实数根,得Δ=(-1)2-4a≥0,∴a≤.
结合选项知,实数a的值可以是-,0,.故选ABC.
10.CD　x=是无理数,x2=2是有理数,故A错误;
当x=-1,y=-2时,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条件,故B错误;
命题“ x∈R,x2+1=0”的否定是“ x∈R,x2+1≠0”,故C正确;
若“111.ACD　如图①所示,A中,若A∪B=A,则B A;反过来,若B A,则A∪B=A,故互为充要条件.C中,若( UA) ( UB),则B A;反过来,若B A,则( UA) ( UB),故互为充要条件.D中,若A∪( UB)=U,则( UA) ( UB),故B A;反过来,若B A,则( UA) ( UB),故A∪( UB)=U,故互为充要条件.B中,如图②所示,若A∩B=A,则A B,推不出B A,故错误.故选ACD.
　　
12.答案　(4,+∞)
解析　由题意得命题“ x∈R,x2+4x+m≠0”为真命题,则Δ=16-4m<0,解得m>4.
13.答案　
解析　由题意得{x|mx+1=0} {x|x2+x-6=0}={2,-3}.
当m=0时,{x|mx+1=0}= ,满足题意;
当m≠0时,{x|mx+1=0}=,则-=2或-=-3,解得m=-或m=.
综上,实数m的取值集合是.
14.答案　m>0
解析　若p为真命题,则对于方程ax2+2x+1=0,当a=0时,2x+1=0,解得x=-,符合题意;
当a≠0时,设方程ax2+2x+1=0的两个根分别为x1,x2,
若a<0,则Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0,
此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意;
若a>0,则由Δ=4-4a=0,得a=1,
此时方程为x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,所以x=-1,符合题意;
由Δ=4-4a>0,得00,
此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符合题意.
综上所述,p为真命题时,a的取值范围是(-∞,1].
若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,
则m+1>1,解得m>0.
15.解析　(1)由命题“ x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,得a2-4>0,解得a<-2或a>2,
所以实数a的取值集合B={a|a<-2或a>2}.(5分)
(2)显然A≠ ,由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B,(8分)
则m+1≤-2或m-1≥2,解得m≤-3或m≥3,
所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).(13分)
16.解析　(1)若命题p为真命题,则对于方程x2+(2m-4)x+m=0,Δ=(2m-4)2-4m=4(m-1)(m-4)>0,解得m>4或m<1,
∴实数m的取值范围为{m|m>4或m<1}.(3分)
(2)由(1)知,若命题p为真命题,则m>4或m<1.
若命题q为真命题,则对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立等价于当2≤x≤3时,(x-2)2≥m2-9恒成立,(6分)
当x=2时,y=(x-2)2取得最小值0,所以0≥m2-9,即m2≤9,解得-3≤m≤3.(8分)
当p真q假时,解得m<-3或m>4;(11分)
当p假q真时,解得1≤m≤3.(14分)
综上,实数m的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}.(15分)
17.解析　(1)A={x|x2-5x+6=0}={2,3},(2分)
所以集合A的真子集有 ,{2},{3}.(5分)
(2)选①,因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件,所以B A,(7分)
当a=0时,B= ,符合题意;(8分)
当a≠0时,B={x|ax+1=0}=,(10分)
因为B A,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},所以-=2或-=3,
所以a=-或a=-.(14分)
综上所述,实数a的取值集合为.(15分)
选②,因为A∪B=A,所以B A,(7分)
下列解析同选①.(15分)
18.解析　(1)依题意,知方程x2-3x+a2=0有解,
则Δ=(-3)2-4a2≥0恒成立,解得-≤a≤,
所以集合B=,(3分)
又因为A=={x|(2x-2)(x-5)<0}={x|1所以A∩B=.(7分)
(2)因为“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件,所以A C,(10分)
由(1)知A={x|1又C=(2-a,1+2a),
所以解得a≥2.
所以实数a的取值范围为[2,+∞).(17分)
19.证明　必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,(3分)
两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.(5分)
∵b≠0,∴a-c≠0,∴x0=,将x0=代入+2ax0+b2=0中,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.必要性成立.(7分)
充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,∴b2=a2-c2.①(9分)
将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(11分)
将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(13分)
故两方程有公共实数根x=-(a+c).充分性成立.(15分)
∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(17分)
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