2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第2章　常用逻辑用语拔高练（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点　充分条件与必要条件
1.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2022天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
3.(2021天津理,2)设a∈R,则“a>6”是“a2>36”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2019天津文,3)设x∈R,则“0A.充分而不必要条件　　　　
B.必要而不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
5.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
三年模拟练
应用实践
1.(2024江苏南京期中)若命题“ x∈R,x2+2mx+m+2≥0”为假命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪[2,+∞)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.[-1,2]
D.(1,2)
2.(2024江苏天一中学期中)已知命题p:a∈D,命题q: x0∈R,-ax0-a≤-3,若p是q的必要不充分条件,则区间D可以为(　　)
A.(-∞,-6]∪[2,+∞)
B.(-∞,-4]∪[1,+∞)
C.(-∞,-6)∪(2,+∞)
D.[-6,2]
3.(2024山东平度一中期中)已知命题p:“ x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,则命题p的必要不充分条件是(　　)
A.{a|a<0}
B.{a|0≤a≤4}
C.{a|a≥4}
D.{a|04.(2024广东中山联考)定义:A-B={x|x∈A,x B},设A,B,C是某集合的三个子集,且满足[(A-B)∪(B-A)] C,则A [(C-B)∪(B-C)]是A∩B∩C= 的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)(2023江苏盐城一中调研)下列说法中不正确的是(　　)
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
6.(2024福建罗源第一中学期中)已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根”,若p为真命题的一个必要不充分条件是a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　.
7.(2024江苏连云港期中)已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限内},集合B={x|1≤x<3},若“x∈B”是“x∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2024江苏苏州高新区第一中学月考)已知命题p:实数x满足命题q:实数x满足m≤x≤3m(其中m>0).
(1)若m=1,且p和q至少有一个为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若 p是 q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
9.(2024江苏常州期中)已知命题p:方程x2+tx+t=0没有实数根.
(1)若 p是假命题,求实数t的取值集合A;
(2)在(1)的条件下,已知非空集合B={t|2a-1问题:是否存在实数a,使得t∈A是t∈B的　　　　条件 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
迁移创新
10.(2023河北邢台六校联考)设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为☉,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α☉β=(ad+bc,bd-ac).
(1)计算:(2,3)☉(-1,4);
(2) α,β∈A,是否都有α☉β=β☉α成立 若是,给出证明;若不是,请说明理由;
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“ α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立”的充要条件,试求出元素I.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B　因为a2=b2 a=b或a=-b,a2+b2=2ab (a-b)2=0 a=b,
所以a2+b2=2ab a2=b2,但是a2=b2 / a2+b2=2ab,
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B.
2.A　当x为整数时,2x+1为整数,故充分性成立;当x=时,2x+1为整数,但x不是整数,故必要性不成立.故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.故选A.
3.A　由a2>36,解得a>6或a<-6,a>6 a>6或a<-6,a>6或a<-6 /a>6,故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
4.B　由|x-1|<1,得05.C　解法一:充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以+=+=-1-1=-2,所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,
所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C.
解法二:充分性:因为xy≠0,且x+y=0,
所以+=====-2,所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,
所以+====-2=-2,
所以=0,所以(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C.
三年模拟练
1.B　由题意得,命题“ x∈R,x2+2mx+m+2<0”为真命题,则Δ=4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2.
故选B.
2.B　对于q: x0∈R,-ax0-a≤-3,即-ax0-a+3≤0,
所以Δ=(-a)2-4(-a+3)≥0,解得a≤-6或a≥2.
设A={a|a≤-6或a≥2},B={a|a∈D},
因为p是q的必要不充分条件,
所以A B,结合选项知选B.
3.B　∵命题p:“ x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,
∴“ x∈R,4x2+(a-2)x+≠0”是真命题,
即方程4x2+(a-2)x+=0没有实数根,
∴Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a=a(a-4)<0,
∴0即命题p:a∈{a|0因此,结合各选项知,只有B符合题意.故选B.
4.A　如图所示,A-B={x|x∈A,x B}=Ⅰ∪Ⅵ,B-A={x|x∈B,x A}=Ⅲ∪Ⅶ,由于[(A-B)∪(B-A)] C,即(Ⅰ∪Ⅵ∪Ⅲ∪Ⅶ) C,故Ⅵ= ,Ⅶ= ,
于是A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ,B=Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ,C=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ.
若A∩B∩C= ,则Ⅴ= ,∴A=Ⅰ∪Ⅳ,
而[(C-B)∪(B-C)]=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ,
∴A [(C-B)∪(B-C)]成立;
反之,若A [(C-B)∪(B-C)],
则[(C-B)∪(B-C)]=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ,A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ,
∴Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ,∴Ⅴ= ,∴A∩B∩C= .故选A.
5.AB　对于A,当a=-1,b=1,c=-1时,b2-4ac=-3<0,但ax2+bx+c=-x2+x-1=--≤-,不满足ax2+bx+c≥0,所以“ax2+bx+c≥0”的充要条件不是“b2-4ac≤0”,故A中说法不正确;
对于B,当a=2,c=1,b=0时,满足a>c,但ab2=cb2,不满足ab2>cb2,所以“ab2>cb2”的充要条件不是“a>c”,故B中说法不正确;
对于C,方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根需满足a<0,所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,故C中说法正确;
对于D,当a>1时,<1,充分性成立,当a=-2时,满足<1,但不满足a>1,必要性不成立,故D中说法正确.故选AB.
6.答案　m>0
解析　若命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根”为真命题,
则当a=0时,2x+1=0,所以x=-,符合题意;
当a<0时,Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0,
此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意;
当a>0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,
此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,x=-1符合题意;
由Δ=4-4a>0,解得a<1,又a>0,所以00,
此时方程ax2+2x+1=0有两个负实数根,符合题意.
综上所述,当命题p为真命题时,a的取值范围是(-∞,1].
因为a≤m+1,所以m+1>1,所以m>0.
7.答案　0解析　由“x∈B”是“x∈A”的必要条件,得A B,
由A中元素为整数及B={x|1≤x<3},得A只可能为{1},{2},{1,2},
由点(x-1,x-a)不在第一、三象限内,得或即①或②
当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,
此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},有0当a≥1时,由①②得1≤x≤a,
此时A={x∈Z|1≤x≤a},1∈A,只需3 A,有1≤a<3.
综上所述,实数a的取值范围是08.解析　(1)由解得2≤x≤8,
所以p:2≤x≤8,则 p:x<2或x>8.
当m=1时,q:1≤x≤3,则 q:x<1或x>3.
当p和q都为假命题时, p和 q都为真,故x<1或x>8.
因为p和q至少有一个为真命题,所以1≤x≤8,
所以实数x的取值范围是1≤x≤8.
(2)由(1)知,p:2≤x≤8,
因为 p是 q的充分不必要条件,
所以q是p的充分不必要条件,
所以或所以2≤m≤.
9.解析　(1)由方程x2+tx+t=0没有实数根,得Δ=t2-4t<0,解得0由 p是假命题,得p是真命题,
所以实数t的取值集合A={t|0(2)由(1)知,A={t|0因为B={t|2a-1所以2a-1选①:因为t∈A是t∈B的充分不必要条件,所以A B,则或无解,
所以不存在实数a,使得t∈A是t∈B的充分不必要条件.
选②:因为t∈A是t∈B的必要不充分条件,所以B A,则或解得≤a≤3,又a<2,所以≤a<2,
所以存在实数a,使得t∈A是t∈B的必要不充分条件,a的取值范围是≤a<2.
10.解析　(1)(2,3)☉(-1,4)=(2×4+3×(-1),3×4-2×(-1))=(5,14).
(2) α,β∈A,都有α☉β=β☉α成立.证明如下:
若α=(a,b),β=(c,d),则α☉β=(ad+bc,bd-ac),
β☉α=(c,d)☉(a,b)=(cb+da,db-ca)=(ad+bc,bd-ac),所以α☉β=β☉α.
(3)若A中的元素I=(x,y), α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立,则由(2)知,只需I☉α=α成立,即(x,y)☉(a,b)=(a,b)成立,则(bx+ay,by-ax)=(a,b).
当α=(0,0)时,显然I☉α=α成立,即元素I为A中任意元素.
当α≠(0,0)时,有解得
所以当 α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立时,I=(0,1).反之,当I=(0,1)时,I☉α=(0,1)☉(a,b)=(0·b+1·a,1·b-0·a)=(a,b)=α.
所以“A中的元素I=(0,1)”是“ α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立”的充要条件,元素I=(0,1).
素养评析　本题第(1)(2)问主要考查数学抽象的核心素养,需根据题中定义进行相应计算;本题第(3)问还考查逻辑推理的核心素养,需在关联情境中,根据定义准确进行推理和求解.
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