2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第2章　常用逻辑用语复习提升（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　混淆充分条件与必要条件致错
1.(2022江苏南京秦淮中学期中)若“|x-2m|<1”的一个充分不必要条件为“1A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.命题“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题的一个必要不充分条件是 (　　)
A.0≤m≤3　　　　B.1≤m≤2
C.1≤m≤3　　　　D.-13.如果甲是乙的充要条件,丙是乙的充分不必要条件,那么丙是甲的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.求证:关于x的方程x2+3x-m=0有两个负实数根的充要条件是-≤m<0.
易错点2　对含有量词的命题的否定不准确致错
5.(2024江苏盐城期中)命题“ x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为(　　)
A. x∈R,x2-2x+4≥0
B. x∈R,x2-2x+4>0
C. x R,x2-2x+4≥0
D. x R,x2-2x+4>0
6.(2024河北石家庄二中期中)命题“ x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪[2,+∞)　　　　B.(-2,2)
C.(-2,2]　　　　D.R
7.(2023江苏曲塘高级中学月考)已知命题p: x∈[1,2],x≤a2+1,命题q: x∈[1,2],一次函数y=x+a图象上的对应点在x轴下方.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,求实数a的取值范围.
思想方法练
一、分类讨论思想在常用逻辑用语问题中的应用
1.设集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-1=0}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则实数a的取值集合为　　　　.
2.(2022河南南阳一中月考)已知p:x<-3或x>1,q:x<3m+1或x>m+2.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为　　　　　.
3.(2024重庆松树桥中学月考)已知命题p:对任意x∈R,x2-2mx-3m>0恒成立;命题q:存在x∈R,x2+4mx+1<0成立.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数m的取值范围.
二、转化与化归思想在常用逻辑用语问题中的应用
4.(2023江苏宿迁期中)已知命题“ x∈[-2,2],-x2+3x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.(10,+∞)
C.(-∞,10)　　　　D.(-2,+∞)
5.(2023山东青岛第一中学阶段检测)已知集合A={x|x<-1或x>2},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数a的取值范围为　　　　　　　.
6.设a∈R,命题p: x∈,x2-a>0,命题q: x∈R,x2+ax+1>0.
(1)若命题p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题 p与q至少有一个为假命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.C　由|x-2m|<1,得2m-1由题意可得{x|1所以或解得≤m≤1.
故选C.
易错警示　解决与充分条件、必要条件有关的问题时,如果不能正确区分谁是条件,谁是结论,那么就会将集合间的包含关系倒置,从而出现错误.
2.D　因为命题“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题,所以m2-3m≤(-x2)max,-1≤x≤,则m2-3m≤0,解得0≤m≤3.要求命题“ x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题的一个必要不充分条件,设满足题意的m的取值集合为M,则{m|0≤m≤3} M,结合选项可知选D.
3.A　因为甲是乙的充要条件,所以乙 甲,又因为丙是乙的充分不必要条件,所以丙 乙,乙 /丙.根据传递性可知丙 乙 甲,即丙 甲,下面判断丙是不是甲的必要条件,假设丙是甲的必要条件,则甲 丙,又结合乙 甲,得乙 丙,与乙 /丙矛盾,所以甲 /丙,所以丙是甲的充分不必要条件.
4.证明　充分性:
因为-≤m<0,所以Δ=9+4m≥0,所以x2+3x-m=0有实数根,设两个根分别为x1,x2,由根与系数的关系知x1x2=-m>0,所以x1与x2同号.
又x1+x2=-3<0,所以x1,x2同为负实数根.
必要性:
因为x2+3x-m=0有两个负实数根,
所以解得-≤m<0.
综上可知,关于x的方程x2+3x-m=0有两个负实数根的充要条件是-≤m<0.
5.B　命题“ x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为“ x∈R,x2-2x+4>0”.故选B.
易错警示　全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,注意在否定的过程中不能只否定结论,而忘记改变量词,也不能只改变量词,而忘记否定结论.
6.D　因为命题“ x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0”为假命题,所以 x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4<0为真命题,
当a=2时,-4<0,成立;
当a>2时,Δ=4(a-2)2+16(a-2)>0,所以a>2;
当a<2时,成立.
综上,a∈R.故选D.
7.解析　(1)易知命题p的否定为 x∈[1,2],x>a2+1,∴a2+1<2,∴-1(2)若命题p为真命题,则a2+1≥2,即a≥1或a≤-1.
命题q的否定为 x∈[1,2],一次函数y=x+a图象上的对应点在x轴上或在x轴上方,若其为真命题,则1+a≥0,即a≥-1.
综上,实数a的取值范围为[1,+∞)∪{-1}.
思想方法练
1.答案　
解析　A={x|x2-5x+6=0}={2,3}.由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,得B A.
需要对B= 和B≠ 分类讨论,体现了分类讨论思想.
当B= 时,a=0.
当B≠ 时,若B={2},则a=;若B={3},则a=.综上,实数a的取值集合是.
2.答案　m-≤m≤-1或m>
解析　设A={x|x<-3或x>1},B={x|x<3m+1或x>m+2}.
若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集.
对集合B是不是R进行讨论.
①当B=R时,满足题意,则3m+1>m+2,解得m>.
②当B≠R时,3m+1≤m+2,解得m≤.
若A是B的真子集,则或解得-≤m≤-1.
综上所述,实数m的取值范围是m-≤m≤-1或m>.
3.解析　(1)若命题p为真命题,则4m2+12m<0,解得-3(2)若命题q为真命题,则16m2-4>0,解得m<-或m>.
∵命题p,q中恰有一个为真命题,∴命题p,q一真一假.
命题p,q一真一假,需要分p真q假、p假q真两种情况讨论求解.
①当p真q假时,解得-≤m<0;
②当p假q真时,
解得m≤-3或m>.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,-3]∪∪.
思想方法　分类讨论又称逻辑划分,分类讨论的关键是逻辑划分标准的确定.本章中常涉及命题真假的讨论以及由集合之间的关系求参数的取值范围时对集合的讨论.
4.A　易得原命题的否定为“ x∈[-2,2],-x2+3x+a>0”,是真命题,
将全称量词命题转化为存在量词命题求解.
等价于当x∈[-2,2]时,a>,所以a>-.故选A.
5.答案　(-∞,-4)∪(1,3]
解析　因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,
所以B A.
将必要不充分条件转化为集合A,B之间的关系.
又B≠ ,所以或
解得a<-4或16.解析　(1)命题p: x∈,x2-a>0为真命题,等价于a将与存在量词有关的问题转化为有解问题.
所以在x∈上,a<(x2)max,所以a<1.
(2)若命题q: x∈R,x2+ax+1>0为真命题,则Δ=a2-4<0,解得-2若命题 p与q至少有一个为假命题,
则命题 p与q不能同时为真命题.
将至少有一个为假命题的问题转化为都为真命题的问题求解,再求其补集.
当命题 p与q同时为真命题时,
解得1≤a<2,
所以命题 p与q至少有一个为假命题时,a<1或a≥2.
思想方法　转化与化归能把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化.本章主要体现在充分条件、必要条件、充要条件与集合之间关系的等价转化以及命题的真假与相关知识的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围.
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