2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第3章　不等式（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第3章　不等式
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知a>b>0,则下列结论中正确的有(　　)
A.>　　　　B.>
C.若d2.设a,b,m都是正数,且aA.x>y　　　　B.x=y
C.x3.下列函数中,最小值为4的是(　　)
A.y=x+　　　　B.y=+
C.当x<时,y=2x-1+　　　　D.y=4x2+
4.某金店用一杆天平称黄金,某顾客需要购买20克黄金,他要求先将10克的砝码放在左盘,将一块黄金放在右盘使之平衡;然后又将10克的砝码放入右盘,将另一块黄金放在左盘使之平衡.若顾客获得这两块黄金,则该顾客实际所得黄金的质量(　　)
A.小于20克　　　　B.不大于20克　　　　C.大于20克　　　　D.不小于20克
5. 已知实数a>1,b>0,满足a+b=3,则+的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值不可能是(　　)
A.13　　　　B.14　　　　C.15　　　　D.16
7.已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值不可能是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
8.设实数x,y满足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为(　　)
A.12　　　　B.24　　　　C.2　　　　D.4
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若a>b>0,c>d>0,则(　　)
A.a-c>b-d　　　　B.a(a+c)>b(b+d)
C.<　　　　D.<
10.已知x,y∈(0,+∞),设M=2x+y,N=xy,则下列四个命题中正确的是(　　)
A.若N=1,则M有最小值
B.若M+N=6,则N有最大值2
C.若M=1,则0D.若M=N,则M有最大值8
11.已知实数x,y满足x2+y2+xy=4,则(　　)
A.-2≤y≤2　　　　B.-≤x+y≤
C.-4≤x-y≤4　　　　D.≤x2+y2≤8
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设013.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　.
14.若x1,x2,…,x2 024均为正实数,则x1++++…++的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知正实数a,b,c满足a2+b2+c2=3.
(1)若a=1,证明:+≥2;
(2)求ab+bc+ca的最大值.
16.(15分)设命题p:对任意的x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
17.(15分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1.
(1)求+的最小值;
(2)是否存在a,b,使得+的值为 并说明理由.
18.(17分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:
①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元.
如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案 为什么
19.(17分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).
(1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0(m∈R)的解集为 ,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0的解集为D,且{x|-1≤x≤1} D,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.C　若c=0,则,无意义,故A错误;
因为a>b>0,所以0<<,故B错误;
若d-c>0,又a>b>0,所以-ad>-cb>0,即ad若a=3,b=2,则ab=9>ba=8,故D错误.
故选C.
2.A　因为a0,
因为a>0,b>0,m>0,所以x-y=-=>0,即x>y.故选A.
3.D　对于A,当x=-1时,y=-5,所以y的最小值不为4,故A错误;
对于B,y=+≥2=4,
当且仅当=,即x2=-3时等号成立,但x无实数解,故B错误;
对于C,当x=0时,y=-,所以y的最小值不为4,故C错误;
对于D,y=4x2+≥2=4,当且仅当4x2=,即x=±时,等号成立,所以y的最小值为4,故D正确.
故选D.
4.D　设天平的左臂长为a,右臂长为b,第一次称出的黄金的质量为x 克,第二次称出的黄金的质量为y 克,不妨设a≥b>0,
由杠杆平衡的原理,可得10a=xb,ya=10b,则x=,y=,
则x+y=+≥20=20,当且仅当a=b时,等号成立,
所以顾客实际所得黄金的质量不小于20克.故选D.
5.B　因为a>1,所以a-1>0,又a+b=3,所以(a-1)+b=2,
所以+=[(a-1)+b]=≥=,
当且仅当=,即a=5-2,b=2-2时取等号,
所以+的最小值为.故选B.
6.D　设方程x2-8x+a=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1则x2-8x+a≤0的解集为[x1,x2].
因为y=x2-8x+a的图象开口向上,对称轴为直线x=4,所以3个整数解为3,4,5,所以2又x1+x2=8,x1x2=a,
所以解得127.A　因为x+y=1,所以x+y+1=2,
则+=+=++≥+2=
+1,当且仅当y+1=2|x|时,等号成立,
当x>0时,+≥;
当x<0时,+≥.
故结合选项知+的值不可能是.故选A.
8.B　令a=2x-3,b=y-3,因为x>,y>3,所以a>0,b>0,
则k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2转化为k≤,
即+≥k,
而+=+≥+=12≥24=24,
当且仅当时等号同时成立,所以k≤24.故选B.
9.BCD　对于A,取a=5,b=4,c=3,d=1,则a-c=2,b-d=3,故A错误;
对于B,由a>b>0,c>d>0,得a+c>b+d>0,则a(a+c)>b(b+d),故B正确;
对于C,由a>b>0,c>d>0,得ac>bd>0,∵<,∴<,
∴>,∴ac>bd,故C正确;
对于D,==1+,==1+,
∵<,∴<,
又c-d>0,即d-c<0,∴>,∴a+c>b+c,即a>b,故D正确.
故选BCD.
10.BC　对于A,当N=xy=1时,M=2x+y≥2=2,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,所以M的最小值为2,故A错误;
对于B,当M+N=2x+y+xy=6 时,6=2x+y+xy≥2+xy,当且仅当2x=y时,等号成立,
令t=,则t>0,结合t2+2t-6≤0,得0对于C,当M=2x+y=1时,1=2x+y≥2,当且仅当2x=y,即y=,x=时,等号成立,
所以0<≤,即0对于D,当2x+y=xy时,+=1,
所以M=2x+y=(2x+y)=++4≥2+4=8,
当且仅当=,即x=2,y=4时取等号,即M有最小值8,故D错误.
故选BC.
11.BCD　对于A,由题可知关于x的方程x2+yx+y2-4=0必有实数根,所以Δ=y2-4(y2-4)≥0,解得-≤y≤,故A错误;对于B,因为x2+y2+xy=(x+y)2-xy=4,又xy≤,所以≤4,解得-≤x+y≤,当且仅当x=y=时,不等式x+y≤的等号成立,当且仅当x=y=-时,不等式-≤x+y的等号成立,故B正确;对于C,因为x2+y2+xy=(x-y)2+3xy=4,又-xy≤,所以≤4,解得-4≤x-y≤4,当且仅当x=-y=2时,不等式x-y≤4的等号成立,当且仅当x=-y=-2时,不等式-4≤x-y的等号成立,故C正确;对于D,由xy≤可知x2+y2+xy=4≤,即≤x2+y2,当且仅当x=y=±时,等号成立,由x2+y2+xy=4得x2+y2-4=-xy,又-xy≤,所以x2+y2-4≤=,所以≤4,即x2+y2≤8,当且仅当-x=y=±2时,等号成立,所以≤x2+y2≤8,故D正确.故选BCD.
12.答案　(-∞,6+4]
解析　因为0所以+=+=2
=2≥2=2×(3+2)=6+4,当且仅当=,即m=时,等号成立,
所以k≤6+4.
13.答案　{a|a≤2}
解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,
∴a-1≤1,解得a≤2,∴1当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意;
当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤a,恒成立,∴a<1.
综上,a的取值范围为{a|a≤2}.
14.答案　4
解析　原式=++…++++x1
≥2++…++++x1
=++…++++x1
≥2+…++++x1
=+…++++x1
≥…≥+x1≥2=4,
当且仅当=xi(i=1,2,3,…,2 024,xi>0),即当x1=x2=…=x2 023=x2 024=2时,等号成立,
故x1++++…++的最小值为4.
15.解析　(1)证明:由a=1,得b2+c2=2,(2分)
则+=(b2+c2)=1++≥2,
当且仅当b=c=1时,等号成立.(6分)
(2)因为ab≤(a2+b2),bc≤(b2+c2),ac≤(a2+c2),当且仅当a=b=c=1时,等号成立,(9分)
所以ab+bc+ac≤a2+b2+c2=3,即ab+bc+ca的最大值为3.(13分)
16.解析　(1)由题意得,在x∈[1,4]上,(x2-4x+2)min≥m2-3m.(2分)
易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值-2,(3分)
∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2.
故当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2.(5分)
(2)存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立,
即在x∈上,≥0,(7分)
易知当x=0时,y=x2-x+m-取得最大值,为m-,(8分)
∴m-≥0,解得m≥,
∴当q为真命题时,实数m的取值范围是m≥.(10分)
由(1)知当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2.
若p为假命题,q为真命题,则解得m>2;(12分)
若p为真命题,q为假命题,则解得1≤m<.(14分)
综上所述,1≤m<或m>2.(15分)
17.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)=1,∴a+b=,(2分)
又a+b≥2,(4分)
∴≥2,∴ab≤.(6分)
(1)∵a>0,b>0,∴+≥2=≥4,当且仅当a=b=时取等号.(8分)
(2)不存在.理由如下:∵a>0,b>0,∴+≥2=,当且仅当2a=3b时,等号成立,又ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,∴+>,(12分)
∵<,∴不存在a,b,使得+的值为.(15分)
18.解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为=++40,x∈[70,100].(2分)
又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(3分)
所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分)
因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(5分)
(2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利为y1元,
由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(7分)
因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(9分)
若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利为y2元,由题可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(12分)
因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(14分)
答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(17分)
答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择补贴方案①.(17分)
答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大的贡献,所以选择补贴方案②.(17分)
19.解析　(1)①当m+1=0,即m=-1时,x-2<0,解得x<2,不符合题意,舍去;(2分)
②当m+1≠0,即m≠-1时,需满足
解得m≥.(4分)
综上,实数m的取值范围是.(6分)
(2)由题意得,对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,即对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥-x2+1恒成立.(8分)
∵x2-x+1=+>0恒成立,
∴对任意的x∈[-1,1],
m≥=-1+恒成立,
∴m≥,x∈[-1,1].(10分)
设t=2-x,则t∈[1,3],x=2-t,
∴===,(13分)
∵t+≥2,
当且仅当t=时取等号,
∴≤=,当且仅当x=2-时取等号,(15分)
∴当x=2-时,取得最大值,最大值为-1+=,
∴实数m的取值范围是.(17分)
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