2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第3章　不等式拔高练（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　不等式的解法
1.(2023新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1}　　　　B.{0,1,2}
C.{-2}　　　　D.{2}
2.(2020全国Ⅰ文,1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　)
A.{-4,1}　　　　B.{1,5}　　　　C.{3,5}　　　　D.{1,3}
3.(2019天津文,10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　.
4.(2021上海,4)不等式<1的解集为　　　　.
考点2　基本不等式及其应用
5.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1
6.(2021天津,13)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.
7.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.
8.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
考点3　不等式的实际应用
9.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024江苏徐州期中)已知正实数a,b满足+=1,不等式m≤a+2b恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≤6　　　　B.m≤5
C.m≤9　　　　D.m≤8
2.(2024江苏扬州江都中学联考)设0A.16　　　　B.2　　　　C.8　　　　D.1
3.(2024江苏南京外国语学校期中)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(　　)
A.9　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3
4.(2024福建罗源第一中学期中)若至少存在一个x<0,使得关于x的不等式3-|3x-a|>x2+2x成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.(-3,3)
5.(多选题)(2024江苏徐州期中)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB=a,CD=b,O为对角线的交点.有4条线段(GH、KL、EF、MN)夹在两底之间.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLCD相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的是(　　)
A.若a=1,b=2,则KL=
B. a,b>0,a≠b,KLC. a,b>0,a≠b,MN=
D. a,b>0,a≠b,EF=
6.(多选题)(2024安徽安庆第二中学期中)已知a>0,b>0,ab+2(a+b)=14,则下列说法正确的是　　(　　)
A.ab的最大值为11-6
B.+的最小值为
C.(a+1)b的最大值为8
D.2a+b的最大值为6
7.(2024江苏城头高级中学阶段检测)若a>1,且不等式x2-x+4<0的解集中有且仅有四个整数,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2024江苏南京期中联考)某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元,年销售量为10万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-400)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.则当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
9.(2024江苏苏州吴县中学期中)已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈R.
(1)若a>b>c且a+b+c=0.
①证明:函数y=ax2+bx+c必有两个不同的零点;
②设函数y=ax2+bx+c的图象截x轴所得的线段的长为l,求l的取值范围;
(2)若a10.(2023江苏靖江高级中学期中)已知函数y=2x2-(4m+3)x+6m.
(1)若y≥0在R上恒成立,求实数m的值;
(2)若不等式组的解集中的整数解只有1,求实数m的取值范围;
(3)是否存在实数c,使得y+(m+1)x≤0的解集为[c,c+1] 若存在,求出实数c的值;若不存在,请说明理由.
迁移创新
11.(2024山东德州期中)某天数学课上,老师在黑板上写有如下内容:
求函数y=x3-3x(x>0)的最小值.
解:利用不等式a+b+c≥3(a>0,b>0,c>0),可得x3+1+1≥3x,于是y=x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2,当且仅当x=1时,取得最小值-2.
提示:不等式a+b+c+d≥4(a>0,b>0,c>0,d>0).
(1)请模仿例题,研究函数y=x4-4x(x>0)的最小值;
(2)求函数y=x3-3x(x>0)的最小值;
(3)当a>0时,求函数y=x3-ax(x>0)的最小值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2},故选C.
2.D　由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-13.答案　
解析　3x2+x-2<0 (x+1)(3x-2)<0,所以-14.答案　(-7,2)
解析　<1 -1<0 <0,解得-75.BC　由题意知x2+y2=1+xy,∴(x+y)2=1+3xy,
当x>0,y>0时,x+y>1,∴A错误;
易知xy≤,结合题意知(x+y)2=1+3xy≤1+,∴(x+y)2≤4,∴-2≤x+y≤2,∴B正确;
∵x2+y2=1+xy≤1+,∴x2+y2≤2,∴C正确;
∵x2+y2=1+xy,当xy<0时,x2+y2<1,∴D错误.
故选BC.
6.答案　2
解析　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当即a=b=时等号成立,故++b的最小值为2.
7.答案　4
解析　++=+=+≥2=4,当且仅当=,即(a+b)2=16,
亦即a+b=4时取等号,
又∵ab=1,∴或时取等号,
∴++的最小值为4.
8.答案　
解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=,∴x2+y2=+y2==+≥2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为.
9.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意,得(m-x)80%≥m×70%,所以x≤,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而m≥120,所以=15,所以x≤15.
所以x的最大值为15.
三年模拟练
1.D　易知a+2b+1=[(a+b)+(b+1)]=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=4,b=2时,等号成立,
所以a+2b≥8,
依题意,需满足m≤(a+2b)min=8,所以m≤8.
故选D.
2.C　因为0所以2m+(1-2m)=1,
则+=[2m+(1-2m)]
=++4≥2+4=8,
当且仅当=,即m=时取等号,
又+≥k恒成立,所以k≤8,
即k的最大值为8.故选C.
3.B　∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,
又x,y,z均为正实数,
∴==≤=1(当且仅当x=2y时取等号),
∴=1,此时x=2y,=1,∴z=2y2,
∴+-=+-=-+2=-×+2,
根据二次函数的性质,得当y=时,+-取得最大值,且+-的最大值为2.故选B.
4.A　依题意,至少存在一个x<0,使得关于x的不等式3-|3x-a|>x2+2x成立,即至少存在一个x<0,使得关于x的不等式-x2-2x+3>|3x-a|成立,
画出y=-x2-2x+3(x<0)以及y=|3x-a|的图象如图所示,其中-x2-2x+3>0.
当y=3x-a与y=-x2-2x+3(x<0)相切时,
消去y并化简,得x2+5x-a-3=0,
则Δ=25+4a+12=0,所以a=-.
当y=-3x+a与y=-x2-2x+3(x<0)相切时,
消去y并化简,得x2-x+a-3=0①,
则Δ=1-4a+12=0,所以a=,
将a=代入①得x2-x+=0,即=0,解得x1=x2=,不符合题意.
当y=-3x+a过(0,3)时,a=3.
结合图象可知a的取值范围是.故选A.
5.ABD　由梯形中位线的性质可得GH=.
因为梯形ABLK与梯形KLCD相似,所以=,
即KL==,
当a=1,b=2时,KL=,故A正确;
由基本不等式可知 a,b>0,a≠b时,GH=>=KL,故B正确;
设梯形ABNM,梯形MNCD,梯形ABCD的面积分别为S1,S2,S,高分别为h1,h2,h,
则2S1=2S2=S,即(a+MN)h1=(b+MN)h2=(a+b)h,
解得h1=,h2=,
由题意可知h1+h2=+=h,
所以MN=,故C错误;
因为AB∥CD,所以∠ABD=∠CDB,∠BAC=∠DCA,
所以△OAB∽△OCD,所以==,
易知△DOE∽△DBA,所以==,所以OE=,所以EF=,故D正确.
故选ABD.
6.BC　对于A,因为a>0,b>0,所以ab+2(a+b)≥ab+2×2=ab+4,当且仅当a=b时等号成立,
又ab+2(a+b)=14,所以ab+4≤14,
即+4-14≤0,所以0<≤-2+3,
所以0故A错误;
对于B,因为ab+2(a+b)=14,
所以ab+4+2(a+b)=(a+2)(b+2)=18,
所以+=3×=(a+2+b+2)
≥×2=×=,
当且仅当a+2=b+2,即a=b=-2+3时等号成立,故B正确;
对于D,14=ab+2(a+b)=b(2a+2)+b+2a≤+b+2a,当且仅当b=2a+2,即a=1,b=4时等号成立,
整理得(b+2a)2+12(b+2a)-108≥0,即(b+2a+18)·(b+2a-6)≥0,所以b+2a≥6,当且仅当a=1,b=4时等号成立,故D错误;
对于C,14=ab+2(a+b)=ab+b+2a+b=b(a+1)+2a+b,
由D选项的分析可知,b(a+1)=14-(2a+b)≤14-6=8,故C正确.故选BC.
7.答案　(4,5]
解析　由x2-x+4<0,可得(x-a)<0,
由题意当1若满足解集中仅有四个整数:2,3,4,5,则5<≤6,此时≤a<,与1当a=2时,a<,不等式的解集为 ,不符合题意;
当a>2时,a>2>,不等式的解集为,
若满足解集中有且仅有四个整数,则可能为2,3,4,5,或1,2,3,4,
当四个整数为2,3,4,5时,5当四个整数为1,2,3,4时,0<<1,且4解得4综上,实数a的取值范围是(4,5].
8.解析　(1)设该商品每件定价为x(x≥15)元,则销售量为[10-0.2(x-15)]万件,
依题意得,x[10-0.2(x-15)]≥15×10,
整理得,x2-65x+750≤0,解得15≤x≤50,
故该商品每件定价最多为50元.
(2)由已知可得,ax≥150+(x2-400)+50+=x2++100,x≥15.
因为x≥15,所以a≥++≥2+=10.25,当且仅当=,即x=20时,等号成立,
所以当该商品改革后的销售量a至少达到10.25万件时,才能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时商品的每件定价为20元.
9.解析　(1)若a>b>c且a+b+c=0,则a>0,c<0,
①证明:∵方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
∴函数y=ax2+bx+c必有两个不同的零点.
② 由a>-a-c>c及a>0,得1>-1->,
∴-2<<-,
不妨设函数y=ax2+bx+c的零点为1,x1,则x1=<0,
∴l=1-,
又-2<<-,∴l∈.
(2)根据题意得,对于方程ax2+bx+c=0,a>0且Δ=b2-4ac≤0,
∴b>a>0且4c≥,∴≥==,
令-1=t,t>0,则=t+1,
∴≥==t+5+
≥5+2=5+2,当且仅当t=,即t=,即=1+时取等号,
∴的最小值为5+2.
10.解析　(1)由题意得,Δ=[-(4m+3)]2-4×2×6m≤0,即16m2-24m+9=(4m-3)2≤0,所以m=.
(2)由得
即
因为不等式组的解集中的整数解只有1,所以-2≤2m<1,解得-1≤m<,所以实数m的取值范围为.
(3)假设存在实数c,使得y+(m+1)x≤0的解集为[c,c+1],
则2x2-(3m+2)x+6m≤0的解集为[c,c+1],
所以所以m2+m=3m,即m2-4m=0,解得m=4或m=0,故c=3或c=0.
所以存在c=3或c=0,使得y+(m+1)x≤0的解集为[c,c+1].
11.解析　(1)由x>0,a+b+c+d≥4,知x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3,当且仅当x=1时,取得最小值-3 .
(2)由x>0,a+b+c≥3,知x3-3x=x3+3+3-3x-6≥3x-3x-6=-6,当且仅当x=3时,取得最小值-6.
(3)由a>0,x>0,a+b+c≥3,知x3-ax=x3++-ax-≥ax-ax-=-,当且仅当x=时,取得最小值-.
素养评析　本题主要考查有关不等式的新定义问题,解决本题的关键是将所求函数整理成合理的y=a+b+c或y=a+b+c+d的形式,进而求得最值.本题主要考查逻辑推理与数学运算素养.
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