2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第3章　不等式复习提升（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　不能正确使用不等式的性质致错
1.(2024江苏扬州统考)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.若a>b,c>d,则a-c>b-d
B.若a>b,则<
C.若a>b,则a3>b3
D.若a>b,则ac2>bc2
2.(2024江苏淮安金湖中学阶段检测)已知实数a,c满足-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,则9a-c的取值范围是　　　　.
易错点2　忽略基本不等式的应用条件致错
3.(多选题)(2023福建厦门双十中学月考)下列结论正确的是(　　)
A.函数y=的最小值是2
B.若a,b∈R且ab>0,则+≥2
C.若x∈R,则x2+3+的最小值为3
D.函数y=2+x+(x<0)的最大值为0
4.(多选题)(2024江苏徐州高级中学期中)已知a>0,b>0,a2+b=1,则下列结论正确的是(　　)
A.a的最大值为　　　　B.a+≤
C.b+2a的最大值为2　　　　D.+≥9
易错点3　忽略二次项系数的符号致错
5.(2023江苏连云港期中)不等式-x2+3x+18<0的解集为(　　)
A.{x|x>6或x<-3}　　　　B.{x|-3C.{x|x>3或x<-6}　　　　D.{x|-66.(2024江苏宿迁期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2A.　　　　B.
C.　　　　D.
易错点4　解含参数的不等式时分类不全面致错
7.(2023江苏宿迁泗阳实验高级中学调研)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不是空集,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　
B.
C.(-∞,-2)∪　　　　
D.(-∞,-2]∪
8.(2024江苏南京第二十九中学期中)已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}.
(1)若a>0,且不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有10个整数解,求a的取值范围;
(2)若a为非零实数,解关于x的不等式ax2+(b-1)x+5<0.
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2024江苏太仓高级中学阶段检测)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|10的解集是　　　　.
2.关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　.
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.(2024河南开封期中)关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集不可能是(　　)
A. 　　　　B.{x|x>1}
C.　　　　D.
4.(2023江西临川二中月考)已知函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2)解不等式:y<(m+1)x-3.
三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用
5.已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时:
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
6.(2023河北唐山一中月考)已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、转化与化归思想在解不等式中的应用
7.若关于x的不等式x2+mx+1≤0在08.(2023重庆永川北山中学月考)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.C　对于A,当a=4,b=2,c=3,d=-3时,满足a>b,c>d,此时a-c=1,b-d=5,可得a-c对于B,若a>b,则b-a<0,所以-=,其中ab的符号不确定,故B错误;
对于C,若a>b,则a-b>0,所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)>0,所以a3>b3,故C正确;
对于D,若a>b,当c=0时,ac2=bc2,故D错误.
故选C.
易错警示　运用不等式性质解决问题时,一要注意不等号的方向,同向不等式才能传递;二要注意不等式性质成立的条件,同向且为正数的不等式才可以相乘,不等式两边同乘正数、负数不等号方向不同等.
2.答案　[-1,20]
解析　设9a-c=m(a-c)+n(4a-c),即9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,
∴解得
∴9a-c=-(a-c)+(4a-c).
∵-4≤a-c≤-1,∴≤-(a-c)≤①,
∵-1≤4a-c≤5,∴-≤(4a-c)≤②,
①+②,得-1≤9a-c≤20,
即9a-c的取值范围是[-1,20].
易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可以使用整体代换的思想或用待定系数法求解取值范围问题.
3.BD　对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当ab>0时,>0,>0,所以+≥2,当且仅当a=b=1或a=b=-1时取等号,故B正确;对于C,x2+3+=x2+2++1≥3,当且仅当x2+2=时取等号,但x2+2=无解,故C错误;对于D,当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-1时取等号,故函数y=2+x+(x<0)的最大值为0,故D正确.故选BD.
4.ABD　因为a>0,b>0,a2+b=1,所以a≤=,当且仅当=a=时取“=”,即a的最大值为,故A正确;
因为a>0,b>0,a2+b=1,所以a=,0a+=+=
=≤=,
当且仅当=,即a=,b=时取“=”,故B正确;
因为a>0,b>0,a2+b=1,所以b=1-a2(0因为a>0,b>0,a2+b=1,所以+=(b+a2)·=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即a2=2b=时取“=”,故D正确.
故选ABD.
5.A　不等式-x2+3x+18<0可化为x2-3x-18>0,
即(x-6)(x+3)>0,解得x>6或x<-3,
所以不等式的解集为{x|x>6或x<-3}.故选A.
易错警示　解一元二次不等式时要注意二次项系数是不是正数,若不是,则先化为正数再求解.
6.A　由题意可知,2,3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0,
则解得b=-5a,c=6a,
则不等式bx2+ax+c<0可化为-5ax2+ax+6a<0,
即5x2-x-6<0,所以(5x-6)(x+1)<0,解得-1所以不等式bx2+ax+c<0的解集为.故选A.
易错警示　解一元二次不等式时要注意二次项系数是不是正数,若不是,则先化为正数再求解.
7.C　①当a2-4=0,即a=±2时,
若a=2,则不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为,满足题意;
若a=-2,则不等式为-1≥0,则不等式的解集为 ,不符合题意.
②当a2-4≠0,即a≠±2时,
若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则解得-28.解析　(1)因为a>0,不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},
所以ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},且ax2+bx+c≥2的解集为R,
所以方程ax2+bx+c=3的两个根为2和3,故化简得b=-5a,c=6a+3,
又ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+3≥2的解集为R,即ax2-5ax+6a+1≥0恒成立,
所以Δ=25a2-4a(6a+1)≤0,所以0不等式ax2+(b-3)x-c≤0等价于ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0,即(x+1)(ax-6a-3)≤0,
所以-1≤x≤6+,
由题意得8≤6+<9,解得1综上所述,a的取值范围为.
(2)若a>0,由(1)得b=-5a,则不等式ax2+(b-1)x+5<0可化为ax2+(-5a-1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,
当0当a=时,不等式(ax-1)(x-5)<0的解集为 ,
当若a<0,不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}等价于ax2+bx+c≥2的解集为{x|2≤x≤3}且ax2+bx+c≤3的解集为R,
所以方程ax2+bx+c-2=0的两个根为2和3,
则2+3=-,2×3=,所以b=-5a,c=2+6a,
所以不等式ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+2≤3恒成立,
故Δ=25a2-4a(6a-1)≤0,
所以-4≤a<0,
不等式ax2+(b-1)x+5<0可化为ax2+(-5a-1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,解得x<或x>5,
综上所述,当-4≤a<0时,不等式ax2+(b-1)x+5<0的解集为;
当0当a=时,不等式ax2+(b-1)x+5<0的解集为 ;
当易错警示　对于含参数的一元二次不等式问题,要注意分类讨论:①二次项系数是不是0;②两根的大小关系能否确定;③分类讨论要做到“既不重复又不遗漏”.
思想方法练
1.答案　
解析　由不等式的解集得到相应方程的根,利用根与系数的关系列方程组,进而求解.
因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|1所以a>0,且1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系,得
所以b=-4a,c=3a,
则不等式cx2-bx+a>0可化为3ax2+4ax+a>0,
即3x2+4x+1>0,解得x>-或x<-1,
所以不等式cx2-bx+a>0的解集是.
2.答案　{m|2-2解析　设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=,
设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解.
①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-40,解得2-2③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0,解得m<6,又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2思想方法　函数与方程思想在本章中的体现
(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的解集的情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
3.D　二次项系数含有参数,对二次项系数是不是0进行分类讨论.
当a=0时,原不等式为-x+1<0,解得x>1,原不等式的解集为{x|x>1};
当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0,
对应的一元二次方程的两根和1的大小关系不确定,需分类讨论.
当a>1时,0<<1,原不等式的解集为;
当01,原不等式的解集为;
当a=1时,=1,原不等式的解集为 ;
当a<0时,<1,原不等式的解集为.
综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
当a>1时,原不等式的解集为;
当0当a=1时,原不等式的解集为 ;
当a<0时,原不等式的解集为;
故不可能的解集为或.故选D.
4.解析　(1)二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论.
当m=0时,y=-1<0恒成立,满足题意;
当m≠0时,由题意得解得-4综上所述,m的取值范围是{m|-4(2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,可化为(mx-1)(x-2)<0.
解二次项系数含有参数的一元二次不等式,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论.
当m=0时,原不等式就是x-2>0,解得x>2.
当m<0时,<2,原不等式可化为(x-2)>0,解得x<或x>2.
当m>0时,原不等式可化为(x-2)<0,
与2都是正数,要对它们的大小进行分类讨论.
若m=,则原不等式就是(x-2)2<0,解集为 ;
若02,解原不等式得2若m>,则0<<2,解原不等式得综上所述,当m<0时,原不等式的解集为;当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};当0时,原不等式的解集为.
思想方法　在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况:
(1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.解析　(1)一元二次方程在某区间内仅有一根,根据根的分布画出函数图象,结合图象确定区间端点函数值的符号.
由方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即解得-3因此a的取值范围是{a|-3(3)一元二次方程在某区间内有两根,根据根的分布画出函数图象,结合图象确定:①区间端点函数值的符号;②判别式的符号;③对称轴的位置与所给区间的关系.
由方程的两个根都大于0,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,即解得06.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立需满足解得-4综上,实数m的取值范围是{m|-4(2)结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.
①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,如图1,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需满足解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,如图2,且函数图象的对称轴为直线x=,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m<0符合题意.
综上,实数m的取值范围是.
思想方法　数形结合思想在本章中主要体现三个“二次”的应用,在解题时要充分利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根.
7.答案　m≤-2
解析　当0分离参数,转化不等式.
若不等式在0则只需m≤,0进一步将不等式有解转化为求函数的最大(小)值.
又-=-≤-2=-2,当且仅当x=1时,等号成立,所以m≤-2.
8.解析　(1)由题意知,1和4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根,
由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想.
所以-m=1+4=5,n=1×4=4,
所以m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立,
即a≤,x>0.
将恒成立问题转化为函数的最值问题.
因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),所以x+-5≥-1,所以=-1,
所以a≤-1.
思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化.
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