2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第4章　指数与对数（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第4章　指数与对数
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列等式中正确的是(　　)
A.=a　　　　B.2-log23=
C.=(-5　　　　D.=
2. 已知3a=4,b=log3,则a+b=(　　)
A.9　　　　B.2　　　　C.　　　　D.-2
3.已知任何一个正实数N都可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此时lg N=n+lg a(0≤lg a<1).当n>0时,N是(n+1)位数,则22 022是　　　　位数(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.607　　　　B.608
C.609　　　　D.610
4.若实数m,n满足2m=3n=6,则下列关系中正确的是(　　)
A.+=1　　　　B.+=2　　　　C.+=2　　　　D.+=
5.已知x>0,y>0,lg 4x+lg 2y=lg 8,则+的最小值是(　　)
A.3　　　　B.
C.　　　　D.9
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形　　　　
C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形
7.信号在传输介质中传播时,将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收,从而导致信号强度不断减弱,这种现象称为衰减.在试验环境下,超声波在某种介质的传播过程中,我们可以用P(s)=P0e-Ks来描述声压P(s)(单位:帕斯卡)随传播距离s(单位:米)的变化规律,其中P0为声压的初始值,常数K为试验参数.若试验中声压初始值为900帕斯卡,传播5米时的声压降低为400帕斯卡,据此可得试验参数K的估计值为(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10)(　　)
A.0.162　　　　B.0.164
C.0.166　　　　D.0.168
8.若“ x∈(0,m),x>”为假命题,则m的最大值为(　　)
A.14　　　　B.15　　　　C.16　　　　D.17
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列计算中不正确的是(　　)
A.=　　　　B.=1
C.若a+a-1=4,则+=　　　　D.lg x2=(lg x)2
10.音乐是由不同频率的声音组成的,若音1(do)的频率为f,则简谱中七个音1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(sol),6(la),7(si)的频率分别是f,f, f,f,f, f, f,其中相邻两个音的频率的比值(后一个音比前一个音)是一个音到另一个音的音阶,上述音阶只有两个不同的值,分别记为α,β(α>β),α称为全音,β称为半音,则下列关系式成立的是(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.α=2β　　　　B.α=β2
C.|lg α-lg β|>0.01　　　　D.|lg α-2lg β|<0.01
11.若n∈N*,不等式(nx-6)ln≥0恒成立,则实数x可取的值有　　(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.8++2 0240=　　　　　.
13.若x+x-1=3,则=　　　　　.
14.已知某种放射性元素在有机体体液内的浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式:c=k·at(k,a为大于0的常数,且a≠1),当c=时,t=10;当c=时,t=20.则当这种放射性元素在有机体体液内的浓度c=时,大约需要　　　　年.(结果精确到整数,参考数据:log23≈1.58,log25≈2.32)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求下列各式的值:
(1)log9-+(lg 2)2+lg 5×lg 20;
(2)80.25×+(×)6+;
(3)+lo8-lg+lg 25-lg-ln.
16.(15分)(1)已知2x+2-x=3,求8x+8-x的值;
(2)已知a=-,b=,求÷的值.
17.(15分)已知m=2log3x,n=log5(x-1).
(1)若3m-5n=3,求x的值;
(2)当x=4时,用含m,n的式子表示log1520.
18.(17分)解方程:
(1)log(5x)+(log5x)2=1;
(2)log3(3x-1)·log3=2.
19.(17分)北京时间2023年12月15日21时41分,我国在海南文昌航天发射场用长征五号遥六运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道,发射任务获得圆满成功.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v1+v0·ln计算火箭的最大速度v(单位:米/秒),其中v0(单位:米/秒)是喷流相对速度(即喷流相对火箭箭体喷出的速度,由火箭发动机的性能决定,运动过程中可视为常数),v1是指火箭的初始速度(单级火箭初始速度视为0,二级火箭v1视为上一飞行阶段火箭的最大速度),在每个飞行阶段中,m(单位:吨)是火箭消耗的推进剂的质量,M(单位:吨)是指火箭在该阶段的总质量(含推进剂),称为总质比.已知A型火箭是一枚单级火箭,B型火箭是一枚二级火箭,它们的喷流相对速度均为1 000米/秒.(参考数据:ln 10≈2.3,2.718(1)B型火箭飞行时会经历两个飞行阶段,先点燃一级助推器,待一级助推器燃料耗尽后将其抛掉,再点燃二级火箭进入第二阶段,B型火箭的总质量为12吨,其中一级助推器总质量为7吨,装载了6吨推进剂,二级火箭总质量为5吨,装载了4吨推进剂,求理想状态下B型火箭的最大速度;
(2)A型火箭只有一个飞行阶段,经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使A型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒,求在技术改进前总质比的最小整数值.
答案全解全析
1.D　对于A,当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|,故A错误;对于B,2-log23=log24-log23=log2≠,故B错误;对于C,=≠(-5,故C错误;对于D,=(2=(=(=,故D正确.故选D.
2.B　因为3a=4,所以log34=a,因为b=log3,所以a+b=log34+log3=log39=2.故选B.
3.C　因为lg 22 022=2 022lg 2≈2 022×0.301 0=608.622=608+0.622,符合lg N=n+lg a的形式,且608>0,所以22 022是609位数.故选C.
4.A　因为2m=3n=6,所以m=log26,n=log36,
由换底公式得=log62,=log63,
所以+=log62+log63=1.
易知B,C,D中关系式均不成立,故选A.
5.A　∵x>0,y>0,lg 4x+lg 2y=lg 8,∴lg(4x×2y)=lg 8,即22x×2y=8=23,即2x+y=3,
∴+=(2x+y)=≥=3,当且仅当即时取等号,∴+的最小值是3.故选A.
6.B　由题意可知,a>0,b>0,c>0,
因为关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,
所以Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,即lg(c2-b2)-2lg a=0,即lg=0,所以=1,所以c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.故选B.
7.B　由题意知400=900e-5K,两边同除以100后取自然对数,得ln 4=ln 9-5K,所以K==≈==0.164,故选B.
8.B　因为“ x∈(0,m),x>”为假命题,
所以“ x∈(0,m),x≤”为真命题.
因为===5×5lg 3×3lg 2,
设5lg 3=t(t>0),所以log5t==lg 3,所以=lg 5,
所以log3t=lg 5,所以t=3lg 5,所以5lg 3=3lg 5,
所以=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15,
即 x∈(0,m),x≤15,
所以09.ABD　对于A,当x<0时,=,故A中计算不正确;
对于B,=≠1,故B中计算不正确;
对于C,若a+a-1=4,则=a+a-1+2=6,
又a+a-1=4>0,故a>0,
所以+>0,则+=,故C中计算正确;
对于D,只有x=1时,2lg x=(lg x)2成立,故D中计算不正确.
故选ABD.
10.CD　由题意可知,从音1到音7,相邻两个音的频率的比值分别为,,,,,,所以α=,β=.易知α≠2β,α≠β2,故A,B错误.
对于C,|lg α-lg β|==|lg 32-lg 23-lg 28+lg 35|=|7lg 3-11lg 2|≈|7×0.477 1-11×0.301 0|=0.028 7>0.01,故C正确.
对于D,|lg α-2lg β|==|lg 32-lg 23-2(lg 28-lg 35)|=|12lg 3-19lg 2|≈|12×0.477 1-19×0.301 0|=0.006 2<0.01,故D正确.故选CD.
11.BC　当x=1,n=2时,(n-6)ln n=-4ln 2<0,不等式(nx-6)ln≥0不恒成立,故A错误;
当x=2时,原不等式为(2n-6)ln≥0,当n=1,2,3时,原不等式恒成立,当n≥4时,原不等式恒成立,故B正确;
当x=3时,原不等式为(3n-6)ln≥0,当n=1,2,3时,原不等式恒成立,当n≥4时,原不等式恒成立,故C正确;
当x=4时,原不等式为(4n-6)ln≥0,当n=2时,8-6=2,ln<0,
原不等式不成立,故D错误.
故选BC.
12.答案　
解析　8++2 0240=++1=-++1=.
13.答案　
解析　将x+x-1=3的等号两边同时平方,得x2+x-2+2=9,即x2+x-2=7,
所以===.
14.答案　53
解析　由题意,得解得所以c=×,
当c=时,=×,即=,两边同时取以为底的对数,得==log240=3+log25≈3+2.32=5.32应用换底公式:lo===log240,
所以t=5.32×10≈53,
故当这种放射性元素在有机体体液内的浓度c=时,大约需要53年.
15.解析　(1)原式=log93-+(lg 2)2+lg 5×(lg 2+1)=-4+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 5=-+1=-.(4分)
(2)原式=×+(×)6+=2+4×27+=.(8分)
(3)+lo8-lg+lg 25-lg-ln=()2-log223-(lg 5-4lg 2)+2lg 5-3lg 2-=9-3+lg 5+lg 2-=+lg 10=.(13分)
16.解析　(1)8x+8-x=(2x)3+(2-x)3=(2x+2-x)[(2x)2-2x×2-x+(2-x)2]
=3[(2x+2-x)2-3×2x×2-x]=3×(32-3)=18.(7分)
(2)原式=×======.(15分)
17.解析　(1)∵m=2log3x,n=log5(x-1),∴解得x>1,(3分)
∴3m-5n=-=-=x2-x+1,
又3m-5n=3,∴x2-x+1=3,
解得x=-1(舍去)或x=2.故x的值为2.(7分)
(2)当x=4时,m=2log34=4log32,n=log53,
∴=log32,=log35,(10分)
∴log1520=====.(15分)
18.解析　(1)由题知5x>0且5x≠1,即x>0且x≠.(2分)
∵log(5x)==,
∴原方程可化为=(1-log5x)(1+log5x),(4分)
即(1-log5x)·=0,即(1-log5x)·=0,
∴log5x=1或1+log5x=±1,解得x=5或x=1或x=.(8分)
(2)由题知3x-1>0且3x-1->0,即x>0.
∵log3(3x-1)·log3=2,∴log3(3x-1)·log3[3-1(3x-1)]=2,∴log3(3x-1)·[log3(3x-1)+log33-1]=2,
∴log3(3x-1)·[log3(3x-1)-1]=2,(13分)
令t=log3(3x-1),则t2-t-2=0,解得t=2或t=-1,
∴log3(3x-1)=2或log3(3x-1)=-1,
解得x=log310或x=log3.(17分)
19.解析　(1)第一阶段:v1=0米/秒,v0=1 000米/秒,M=12吨,m=6吨,
所以最大速度v2=0+1 000ln 2=1 000ln 2(米/秒),(3分)
第二阶段:最大速度v3=v2+1 000ln=1 000ln 2+1 000ln 5=1 000ln 10≈1 000×2.3=2 300(米/秒),
因此理想状态下B型火箭的最大速度为2 300米/秒.(7分)
(2)设=k,
要使A型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒,
则有1 000××ln-1 000ln k≥500,(10分)
所以3ln-2ln k≥1,
整理,得ln≥1,所以≥e,所以k≥27e.(13分)
因为2.718因此在技术改进前总质比的最小整数值为74.(17分)
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