2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第4章　指数与对数拔高练（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　指数式与对数式的恒等变形
1.(2021天津,7)若2a=5b=10,则+=(　　)
A.-1　　　　B.lg 7　　　　C.1　　　　D.log710
2.(2022天津,6)化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
3.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.　　　　D.
考点2　指数、对数的实际应用
4.(多选题)(2023新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2　　　　B.p2>10p3
C.p3=100p0　　　　D.p1≤100p2
5.(2020全国Ⅲ理,4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A.60　　　　B.63　　　　C.66　　　　D.69
6.(2021全国甲理,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6
三年模拟练
应用实践
1.(2024江苏海州高级中学阶段检测)已知=16,则a+log2a=(　　)
A.11或-　　　　B.11或-
C.12或-　　　　D.10或-
2.(2024江苏海安曲塘高级中学期中)若实数a,b,c满足6a=12ac=3,3b-ab=5a-ab,则a,b,c的大小关系是　　(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>c>a
C.c>a>b　　　　D.c>b>a
3.(2024重庆西南大学附属中学期中)血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比,即血液中血氧的浓度,它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于95%,在95%以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)(单位:%)随给氧时间t(单位:时)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60,给氧1小时后,血氧饱和度为80.若使血氧饱和度达到正常值,则给氧时间至少还需要(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 19≈2.94)(　　)
A.约0.54小时　　　　B.约0.64小时
C.约0.74小时　　　　D.约0.84小时
4.(2024四川达州统考)把不超过x的最大整数记作[x],如:[0.3]=0,[3.7]=3,[-2.8]=-3.若实数a,b满足3a=5b,且+=1,则[2ab]=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
5.(多选题)(2023安徽师范大学附属中学月考)已知正数x,y,z满足3x=5y=15z,则下列说法中正确的是(　　)
A.x+y>z　　　　B.3x>5y>15z
C.+=　　　　D.xy>4z2
6.(2024江苏南京金陵中学期中)设a>0,b>0,若4a+b=ab-4,则log2(a-1)·log2(b-4)的最大值为　　　　.
7.(2024江苏宿迁泗阳实验高级中学第一次调研)若关于x的方程log2-log2[(a-4)x+2a-5]=0有且仅有一个解,求实数a的取值范围.
迁移创新
8.(2023广东广雅中学月考)(1)计算+的值;
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数),试判断2 0222 023的位数;(参考数据:lg 2 022=3.306)
(3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏,围棋复杂度的上限约为M=3361,二阶魔方复杂度的上限约为N=560×38,甲、乙两名同学都估算了的近似值,甲认为是10160,乙认为是10165.现有一种定义:若实数x,y满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m,试判断哪名同学的近似值更接近,并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C　∵2a=10,∴a=log210,则=lg 2,同理可得=lg 5,∴+=lg 2+lg 5=1.
2.B　原式==log23×log32=2.故选B.
3.C　由log83=b,得8b=23b=3,所以4a-3b====.故选C.
4.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵-=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,∴≥1,∴p1≥p2,故A正确;
∵-=20×lg ≥10,∴lg ≥,∴≥,∴p2≥p3,故B错误;
∵=20×lg =40,∴=100,∴p3=100p0,故C正确;
∵-=20×lg≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
5.C　I(t*)==0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈66,故选C.
6.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1=≈≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
三年模拟练
1.A　由=16,等号两边取以4为底的对数,得log4=log416,即=lo()9=,
所以log4a=或log4a=-.
当log4a=时,a==23=8,
所以a+log2a=8+log28=11;
当log4a=-时,a==,
所以a+log2a=+log2=-.
综上,a+log2a=11或-.故选A.
2.D　解法一:∵6a=12ac=3,∴a=log63,ac=log123,
∴c==log126,1-a=log62,
又3b-ab=5a-ab,∴=5a-ab,即=,∴61-a=,∴-1=log561-a=(1-a)log56=log62×log56=log52,∴=log510,∴b=log105,
a=log63=log6=1-log62=1-,
b=log105=log10=1-log102=1-,
c=log126=log12=1-log122=1-,
∵-<-<-,∴a解法二:同解法一,得a=log63,c=log126,b=log105,∴1-a=log62,1-c=log122,1-b=log102,
∵log62>log102>log122,∴1-a>1-b>1-c,∴a故选D.
3.B　因为S0=60,S(t)=S0eKt,
所以当t=1时,S(1)=60eK=80,解得K=ln=ln 8-ln 6,
要使血氧饱和度达到正常值,需S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化简,得Kt≥ln=ln 19-ln 12,
所以t≥=
=≈≈1.64.
因为已经给氧1小时,所以给氧时间至少还需要约0.64小时.故选B.
4.D　设3a=5b=k(k>0),则a=log3k,b=log5k,
因为+=1,所以logk3+logk5=logk15=1,
所以k=15,
所以ab=log315×log515=(log33+log35)×(log55+log53)=2+log35+log53=2+log35+.
因为1所以4<2+log35+<,即4所以8<2ab<9,所以[2ab]=8.故选D.
5.AD　令3x=5y=15z=t(t>1),则x=log3t,y=log5t,z=log15t.对于A,=+=+=+=2+>2+2=4>+,所以x+y>z,故A正确;对于B,=5logt3=logt243,=3logt5=logt125,因为t>1,所以> 3x<5y,故B错误;对于C,+=+=logt3+logt5=logt3≠,故C错误;对于D,=·=×==2+>2+2=4,所以xy>4z2,故D正确.故选AD.
6.答案　
解析　由题意得a-1>0,b-4>0.
因为4a+b=ab-4,所以ab-4a-b=4,
所以(a-1)(b-4)=8,
则log2(a-1)+log2(b-4)=log2[(a-1)(b-4)]=log28=3,
当0当a-1>1,且b-4>1时,log2(a-1)>0,log2(b-4)>0.
由基本不等式知,log2(a-1)·log2(b-4)≤=,当且仅当log2(a-1)=log2(b-4),即a=1+2,b=4+2时等号成立;
当01时,log2(a-1)·log2(b-4)<0;
当01时,log2(a-1)·log2(b-4)<0;
当a-1=1或b-4=1时,log2(a-1)·log2(b-4)=0.
综上所述,log2(a-1)·log2(b-4)的最大值为.
7.解析　因为log2-log2[(a-4)x+2a-5]=0,
所以log2=log2[(a-4)x+2a-5],
即+a=(a-4)x+2a-5,①
等号两边同乘x,得1+ax=(a-4)x2+2ax-5x,
整理得(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
即[(a-4)x-1](x+1)=0,②
当a=4时,方程②的解为x=-1,此时将x=-1代入①知等式成立,符合要求;
当a=3时,方程②的解为x=-1(二重根),此时将x=-1代入①知等式成立,符合要求;
当a≠3且a≠4时,方程②的解为x=-1或x=,
若x=-1是方程①的解,则+a=a-1>0,即a>1,
若x=是方程①的解,则+a=2a-4>0,即a>2,
则要使方程①有且仅有一个解,则1综上,实数a的取值范围是(1,2]∪{3,4}.
8.解析　(1)解法一:=×==+=.
解法二:=log43(log98+log2716)
=lo3(lo23+lo24)=log23
=log23×log32=.
(2)解法一:设10k<2 0222 023<10k+1,k∈N*,
则k∴k<2 023×3.306∵k∈N*,∴k=6 688,∴k+1=6 689,
∴2 0222 023的位数为6 689.
解法二:设2 0222 023=N(N>0),
则2 023lg 2 022=lg N,
∴2 023×3.306=lg N,∴lg N=6 688.038,
∴N=106 688.038=100.038×106 688.
∵1<100.038<10,∴106 688<106 688×100.038<106 689,
故2 0222 023的位数为6 689.
(3)乙同学的近似值更接近.理由如下:
∵M=3361,N=560×38,
∴==,
∴lg=lg 3353-lg 560=353lg 3-lg 7-3lg 2-1≈353×0.48-0.85-0.9-1=166.69,∴≈10166.69,
∵|10165-10166.69|<|10160-10166.69|,
∴乙同学的近似值更接近.
素养评价　本题第(1)问主要考查数学运算的素养,能够根据所学的对数的知识进行化简、求值;第(2)问考查逻辑推理、数学运算的素养,能够在关联的情境中进行指数式与对数式的互化;第(3)问考查数学抽象、数学运算的素养,能够根据新定义进行计算、判断.
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