2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第5章　函数概念与性质（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第5章　函数概念与性质
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为(　　)
A.　　　　B.∪(1,+∞)
C.∪(1,+∞)　　　　D.
2.函数y=1-x+的值域为(　　)
A.　　　　B.[0,+∞)　　　　C.　　　　D.
3.函数f(x)=的图象大致为(　　)
A　　　　B
C　　　　D
4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时, f(x)=x3+x2,则f(2)=(　　)
A.-12　　　　B.-4　　　　C.4　　　　D.12
5.若函数f(x),g(x)满足f(x)-2f =3x-,且f(x)+g(x)=2x+6,则f(2)+g(-1)=(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
6.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-5,0)　　　　B.(-∞,-2]　　　　C.[-5,-2]　　　　D.(-∞,0)
7.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且f(-1)=0,若对于任意两个实数x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,不等式 >0恒成立,则不等式xf(x)>0的解集为(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)　　　　D.(-1,0)∪(0,1)
8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)恒成立,若f(1)=2,则f(20)+f(21)+f(22)的值为(　　)
A.6　　　　B.4　　　　
C.2　　　　D.0
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m],则(　　)
A.m=3
B.n=0
C.函数f(x)的定义域为
D.函数f(x)的最大值为
10.已知函数f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.f(f(-1))=3
B.函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)∪(2,+∞)
C.若f(a)>3,则实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,3)
D.若方程f(x)=b有三个解,则实数b的取值范围是(0,4)
11.已知f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,若对任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有>0,则下列结论正确的是　　(　　)
A.f(x)是偶函数　　　　
B.f(2 023)=0
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称　　　　
D.f 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],则函数y=的定义域为　　　　.
13.写出一个同时具有下列性质的函数:　　　　.
①f(x)=f(4-x);
②f(3)=2;
③任取x1,x2∈(2,+∞),x1≠x2,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0.
14.已知定义在区间[-2 023,2 023]上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈[-2 023,2 023],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 024,且当x>0时,有f(x)>2 024,若f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=为奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(-1,1)上的单调性.
16.(15分)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=x2-3x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象,并求不等式(x-1)f(x)>0的解集.
17.(15分)已知M={x∈R|x≠0且x≠1}, fn(x)(n=1,2,…)是定义在M上的一系列函数,满足f1(x)=x, fi+1(x)=fi(i∈N*).
(1)求f3(x), f4(x)的解析式;
(2)若g(x)为定义在M上的函数,且g(x)+g=1+x.
①求g(x)的解析式;
②若方程(2x-1-m)[2x(x-1)g(x)+3x2+x+1]+8x2+4x+2=0有且仅有一个实数根,求实数m的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)(a<0),求F(x)的最大值g(a);
(3)对于(2)中的g(a),若-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)设a,b∈R,若函数f(x)对定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)对定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.C　要使函数f(x)=+(x-1)0有意义,
则需解得x>,且x≠1,
所以函数f(x)的定义域为∪(1,+∞).故选C.
2.C　令t=(t≥0),则x=,
将函数y=1-x+转化为g(t)=1++t=+t+=,
则g(t)在[0,+∞)上单调递增,
当t=0时,g(t)取得最小值,为,
所以函数y=1-x+的值域为.故选C.
3.D　易知函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,C;
当x>0时, f(x)==x-,又y=x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D符合.
故选D.
4.C　因为f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时, f(x)=x3+x2,
所以f(2)=-f(-2)=-[(-2)3+(-2)2]=4.故选C.
5.C　f(x)-2f =3x-①,令x=,则f -2f(x)=-4x②,由①②,解得f(x)=,所以f(2)==3, f(-1)==-1,因为f(x)+g(x)=2x+6,所以f(-1)+g(-1)=-2+6=4,
所以g(-1)=4-f(-1)=4+1=5,所以f(2)+g(-1)=8.故选C.
6.C　由题意,得解得-5≤a≤-2,
所以实数a的取值范围为[-5,-2].故选C.
7.B　由题意得, f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, f(-1)=0,所以f(x)在(-∞,0)上也单调递增, f(1)=-f(-1)=0,所以当-11时, f(x)>0;当x<-1或01或x<-1时,xf(x)>0,所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
8.C　∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)恒成立,
∴f(0)=0, f(2+x)=f(-x)=-f(x),
∴f(4+x)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)的值每4个为一组重复出现,
∴f(20)=f(5×4+0)=f(0)=0, f(21)=f(5×4+1)=f(1)=2, f(22)=f(5×4+2)=f(2)=-f(0)=0,
∴f(20)+f(21)+f(22)=2.故选C.
9.BCD　因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,所以函数f(x)的定义域关于原点对称,所以m-1+2m=0,解得m=,所以f(x)的定义域为,故A错误,C正确.
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即mx2-nx+3m+n=mx2+nx+3m+n,解得n=0,故B正确.
由上述分析得f(x)=x2+1,x∈,所以当x=±时,f(x)取得最大值,为,故D正确.故选BCD.
10.ACD　f(f(-1))=f(1)=3,故A正确.
作出函数f(x)的图象,如图所示:
由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),故B错误.
当a<0时, f(a)=-a>3,解得a<-3;当a≥0时, f(a)=-a(a-4)>3,解得13,则实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(1,3),故C正确.
由图可知,若方程f(x)=b有三个解,则011.ABC　因为f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,同时也关于直线x=2对称,故C正确;
因为f(1+x)=-f(1-x), f(2+x)=f(2-x), f(1)=0,
所以f(2+x)=f(2-x)=f(1+1-x)=-f[1-(1-x)]=-f(x),
所以f(x+4)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的值每4个为一组重复出现.
f(-1)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=0,
f(2 023)=f(4×506-1)=f(-1)=0,故B正确;
因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f[2-(2-x)]=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;
对任意的x1,x2∈(1,2),x1≠x2,都有 >0,即1又f =f , f =f =f =f ,2>>>1,
所以f >f ,所以f >f ,故D错误.
故选ABC.
12.答案　(1,2]
解析　因为f(2x-1)的定义域为[-1,1],即x∈[-1,1],所以2x-1∈[-3,1],即函数f(x)的定义域为[-3,1],
所以y=的定义域为不等式组的解集,
解此不等式组得1所以函数y=的定义域为(1,2].
13.答案　f(x)=x2-4x+5(答案不唯一)
解析　由题意得f(x)的图象的对称轴为直线x=2,且f(x)在(2,+∞)上单调递增,故可设f(x)=(x-2)2+m,由f(3)=2,得(3-2)2+m=2,解得m=1,故f(x)=(x-2)2+1=x2-4x+5.(答案不唯一)
14.答案　4 048
解析　令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)-2 024,所以f(0)=2 024,
令x1=-x2,得f(0)=f(-x2)+f(x2)-2 024=2 024,所以f(-x2)+f(x2)=4 048,
令g(x)=f(x)-2 024,则g(x)max=M-2 024,g(x)min=N-2 024,
因为g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4 048=0,且g(x)的定义域关于原点对称,所以g(x)是奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=0,即M-2 024+N-2 024=0,所以M+N=4 048.
15.解析　(1)由题意知, f(0)=0,得a=0,
故函数f(x)的解析式为f(x)=(-1(2)函数f(x)=在区间(-1,1)上单调递增.(6分)
证明如下:任取x1,x2∈(-1,1),且x1因为-10,(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,(11分)
所以f(x)=在区间(-1,1)上单调递增.(13分)
16.解析　(1)当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,
因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-3x(x<0),(3分)
所以f(x)=(7分)
(2)由(1)可得f(x)的图象如图所示:
(9分)
不等式(x-1)f(x)>0可转化为或(12分)
所以或
解得x>3或x<-3或0综上所述,不等式(x-1)f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪(0,1)∪(3,+∞).(15分)
17.解析　(1)由题意知f2(x)=1-, f3(x)=f2=, f4(x)=f3=x.(2分)
(2)①利用(1)中的结论,用替换x两次,
得(4分)
消去g,g,可得g(x)=(x≠0,x≠1).(8分)
②由①及题意可得方程(2x-1-m)(x3+2x2+x)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实数根,整理,得m==有且仅有一个实数根,(10分)
令t=x+,则x2+=t2-2.
∵x≠0,且x≠1,且当x=-1时,方程不成立,即-1不是方程的根,
∴t∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴m===2-5在(-∞,-2)∪(2,+∞)上有且仅有一个实数根.(12分)
令λ=t+2,则λ∈(-∞,0)∪(4,+∞),m=2-5,
即=λ+在(-∞,0)∪(4,+∞)上有且仅有一个实数根.
画出y=λ+,λ∈(-∞,0)∪(4,+∞)的图象,如图所示:
由图可知=-2或>,解得m=-5-4或m>.(15分)
18.解析　(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,
∴函数f(x)的定义域为[-1,1].(1分)
∵[f(x)]2=(+)2=2+2,且∈[0,1],
∴[f(x)]2=(+)2∈[2,4],
∴f(x)=+∈[,2],
∴函数f(x)的值域为[,2].(3分)
(2)F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)=a++,
令t=f(x)=+,则t∈[,2],=t2-1,(4分)
∴a++=a+t=at2+t-a,t∈[,2],(6分)
令φ(t)=at2+t-a,t∈[,2],则g(a)为函数φ(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值.
易得函数y=φ(t),t∈[,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,且图象的对称轴为直线t=-.
①若-∈(0,],即a≤-,则g(a)=φ()=;(9分)
②若-∈(,2),即-③若-∈[2,+∞),即-≤a<0,则g(a)=φ(2)=a+2.(11分)
综上,g(a)=(12分)
(3)由(2)易得g(a)min=.
要使-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,
则-m2+2nm+≤g(a)min=在n∈[-1,1]上恒成立,(14分)
所以m2-2nm≥0在n∈[-1,1]上恒成立.
令h(n)=m2-2nm,n∈[-1,1],
若m=0,则h(n)=0≥0对任意n∈[-1,1]恒成立;
若m≠0,则有或
所以m≥2或m≤-2.
综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).(17分)
19.解析　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∴g(-2-x)=,(2分)
∴g(x)+g(-2-x)=+=10,(5分)
即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(7分)
(2)g(x)==5-,
易知g(x)在上单调递增,
∴g(x)在x∈上的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈使得h(x1)=g(x2)成立,则A [-1,4].(10分)
∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).
①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,
∴函数h(x)在[0,2]上单调递增.
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得解得m≥-1,
又m≤0,∴-1≤m≤0.(12分)
②当0<<1,即0结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=.∵0∴h(2)=3-m∈(1,3).易知当m∈(0,2)时,h=-+m+1∈(1,2).又h+h=4,
∴h∈(2,3),∴当0③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,∴函数h(x)在[0,2]上单调递减.
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,
∴h(2)=3-m,则A=[3-m,m+1].
由A [-1,4],得解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(16分)
综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].(17分)
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