2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第5章　函数概念与性质拔高练（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　函数的概念与表示
1.(2022北京,11)函数f(x)=的定义域是　　　　.
考点2　分段函数的应用
2.(2019课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.(2022浙江,14)已知函数f(x)=则f=　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　.
4.(2022北京,14)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　　;a的最大值为　　　　.
考点3　函数的基本性质
5.(2021北京,3)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2020天津,3)函数y=的图象大致为(　　)
7.(2021全国乙理,4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A. f(x-1)-1　　　　B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1　　　　D. f(x+1)+1
8.(2021全国甲文,12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f ,则f =(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
9.(2020全国新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3]
10.(2022全国新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)=(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1
11.(2021全国甲理,12)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f =(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
12.(2022全国乙理,12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　　)
A.-21　　　　B.-22　　　　C.-23　　　　D.-24
三年模拟练
应用实践
1.(2024江苏宿迁期中)已知函数f(x)=ax3-bx+2,a,b∈R,且f(-2)=-1,那么f(2)的值为(　　)
A.1　　　　B.5　　　　C.-5　　　　D.3
2.(2024江苏昆山中学期中)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,y,都有f(x)+f(y)=2f f , f(1)=-1,则(　　)
A.f(0)=0　　　　B.f =1
C.f(x)为奇函数　　　　D.f(x)为偶函数
3.(2023辽宁大连月考)若函数f(x)=在[-2 022,2 022]上的最大值为M,最小值为N,且M+N=2 024,则实数t的值为(　　)
A.-506　　　　B.506　　　　
C.2 022　　　　D.2 024
4.(2024江苏镇江第一中学期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1)=1, x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2有 >0,则关于x的不等式xf(x)<1的解集为(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　　　D.(-1,1)
5.(2024江苏南通期中)记函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为(　　)
A.3-2　　　　B.-1　　　　
C.　　　　D.1
6.(2023江苏镇江第一中学质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,对任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有 >0,则下列结论错误的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(2 023)=0
C.f(x)的图象关于点(-1,0)对称
D.f 7.(2022山东胶州一中月考)已知函数f(x)=若对任意的实数x1,x2,x3∈[2,18],均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边边长的三角形,则实数a的取值范围是(　　)
A.-　　　　B.-
C.0≤a<　　　　D.-8.(2022江苏南京第一中学期中)已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2-(m+1)f(x)+m<0恰有2个整数解,则实数m的取值范围是　　　　.
9.(2024江苏天一中学期中)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若 x∈[1,3],使得不等式|f(x)-m|≤1成立,求实数m的取值范围;
(3)若 n∈[0,1],t∈(0,+∞),不等式f(t)+nf -s≤0恒成立,求实数s的最小值.
10.(2023江苏常州高级中学期中)已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且f =f .
(1)求f(x)的解析式;
(2)若t<2,g(x)=[f(x)-x2-13]·|x|,求函数g(x)在[t,2]上的最小值;
(3)若h(x)=[f(x)-x2-11]·|x-a|,a∈R,函数h(x)在[-2,2]上是单调函数,求实数a的取值范围.
迁移创新
11.(2024上海行知中学期末)若函数y=f(x)与y=g(x)满足:对任意的x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.
(1)若f(x)=|x|,D=R,判断函数y=g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)=ax2+2x+1,g(x)=x2+ax(a>0),D=(0,+∞),求实数a的取值范围;
(3)若y=g(x)为严格减函数, f(0)答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.答案　(-∞,0)∪(0,1]
解析　由题意得解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
2.B　由题可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=时, f(x)min=-,且当x=时, f(x)=-.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).
当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=时, f(x)min=-,且x=时, f(x)=-.同理,若x∈(2,3],则当x=时, f(x)min=-1,且x=时, f(x)=-.
∴函数f(x)的大致图象如图所示.
∵f(x)≥-对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-,由图可知m≤.故选B.
3.答案　;3+
解析　∵f =-+2=>1,
∴f =f =+-1=.
由解得-1≤x≤1,
由解得1∴不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤2+},
∴b-a的最大值为2+-(-1)=3+.
一题多解　　　第二空:f(x)的大致图象如图.
∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,
∴由图可得b>1且b+-1=3,∴b=2+,
由图可得-1≤a≤1,
∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.
4.答案　1(答案不唯一);1
解析　当a=0时, f(x)=易知f(x)的最小值为0,
当a=1时, f(x)=易知f(x)的最小值为0,
当a>1时,作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)无最小值.
当0由图可知f(x)的最小值为0,
当a<0时,作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)无最小值.
综上,a可取[0,1]内的任意实数,a的最大值为1.
5.A　若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.
6.A　设y=f(x)=,易知f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),∴函数f(x)=是奇函数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A.
7.B　选项A, f(x-1)-1=-2,此函数既不是奇函数也不是偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数既不是奇函数也不是偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数既不是奇函数也不是偶函数,故选B.
8.C　由题意可得f =f =f =-f ,又f=f=f=-f=-,所以f =.故选C.
9.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0), f(x-1)的大致图象如图:
若xf(x-1)≥0,则或
解得1≤x≤3或-1≤x≤0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
10.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x), f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),
故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),
故函数f(x)的值每6个为一组重复出现,
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0) f(0)=2,
则f(2)=f(1)-f(0)=-1,
f(3)=f(2)-f(1)=-2,
f(4)=f(3)-f(2)=-1,
f(5)=f(4)-f(3)=1,
f(6)=f(5)-f(4)=2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
所以f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3,故选A.
11.D　由题知
即
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,
即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f =f=-f=f=-f=-=.故选D.
12.D　因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称,
所以g(2-x)=g(2+x),
因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(-x)+g(2+x)=5,所以f(x)=f(-x),又f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为偶函数,
因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,
即g(x+2)=7+f(x-2),
因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,
所以f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,
所以f(x+2)+f(x)=-2,①
所以f(x+2)=f(x-2),
所以f(x)=f(x-4),
所以f(x)的值每4个为一组重复出现.
由①知f(3)+f(1)=f(4)+f(2)=-2.
因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,
又g(2)=4,所以f(0)=1,
由f(x)+f(x-2)=-2,得f(2)=-2-f(0)=-3, f(1)+f(-1)=2f(1)=-2,所以f(1)=-1.
f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(20)+f(21)+f(22)=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)
=5[f(1)+f(3)+f(2)+f(4)]+f(1)+f(2)
=5×(-2-2)+f(1)+f(2)
=-20+f(1)+f(2)=-24,故选D.
三年模拟练
1.B　因为f(x)=ax3-bx+2,a,b∈R,所以f(-x)=-ax3+bx+2,则f(x)+f(-x)=4,
令x=2,即f(2)+f(-2)=4,
因为f(-2)=-1,所以f(2)=5.故选B.
2.D　令x=y=1,则2f(1)=2f(1)f(0),
∵f(1)=-1,∴f(0)=1,故A错误;
令x=1,y=0,则f(1)+f(0)=2ff,即=-1+1=0,则f =0,故B错误;
∵f(0)=1,∴f(0)不是奇函数,故C错误;
令y=-x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(x)+f(-x)=2f(x),故f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,故D正确.故选D.
3.B　函数f(x)===2t+,
令F(x)=f(x)-2t=,x∈R,
因为F(-x)==-F(x),F(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以F(x)为奇函数,
又f(x)在[-2 022,2 022]上的最大值为M,最小值为N,且M+N=2 024,
所以F(x)的最大值为M-2t,最小值为N-2t,
所以(M-2t)+(N-2t)=0,则t=506.故选B.
4.D　依题意,令F(x)=xf(x),则F(x)的定义域为R,
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),
所以函数F(x)是定义在R上的偶函数,
因为 x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2有 >0,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以当x>0时, f(x)>f(0)=0,
当0所以0又F(0)=0,所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,
因为F(x)=xf(x)是定义在R上的偶函数,
所以F(x)在(-∞,0]上单调递减,
因为f(1)=1,所以F(1)=1×f(1)=1,
所以由xf(x)<1,得F(x)所以|x|<1,解得-15.A　以下只分析函数f(x)=|x2-ax|=在[0,1]上的图象及性质,分类讨论如下:
①当a≤0时,函数f(x)=|x2-ax|=x2-ax在区间[0,1]上单调递增,
即g(a)=f(1)=1-a,此时g(a)单调递减,g(a)min=g(0)=1;
②当0所以g(a)=max=max,
易知当0当2-2此时g(a)min=g(2-2)==1-(2-2)=3-2;
③当a>1时, f(x)=|x2-ax|=ax-x2,
即g(a)=max=max,
易知当1当a>2时,g(a)=a-1,
此时g(a)min=g(1)=,
而1>>3-2,所以g(a)的最小值为3-2.
故选A.
6.D　因为f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数, f(x)的图象关于点(1,0)对称,且关于直线x=2对称,
所以f(1+x)=-f(1-x), f(2+x)=f(2-x), f(1)=0,
f(2+x)=f(2-x)=f(1+1-x)=-f [1-(1-x)]=-f(x),
f(x+4)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的值每4个为一组重复出现,
f(-1)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=0, f(2 023)=f(4×506-1)=f(-1)=0,故B正确;
f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f[2-(2-x)]=f(x),故f(x)是偶函数,所以f(x)的图象也关于点(-1,0)对称,故A,C正确;
由题意得, f(x)在(1,2)上单调递增,又f=f ,f =f =f =f ,2>>>1,所以f >f ,所以f >f ,故D错误.故选D.
7.B　若对任意的实数x1,x2,x3∈[2,18],均存在以f(x1),f(x2), f(x3)为三边边长的三角形,则对任意的实数x1,x2,x3∈[2,18],都有f(x1)+f(x2)>f(x3),即2f(x)min>f(x)max.当2≤x≤12时, f(x)=+≥2=6,当且仅当x=6时,等号成立,
又f(2)=10, f(6)=6, f(12)=,
所以6≤f(x)≤10.
①当a<0时,函数f(x)=ax-12a+在区间(12,18]上单调递减,所以f(18)≤f(x)<,即6a+≤f(x)<,所以当x∈[2,18]时, f(x)=min,f(x)max=10.
由题意得f(x)max<2f(x)min,所以
解得a>-,所以-②当a=0时,若12③当a>0时,函数f(x)=ax-12a+在区间(12,18]上单调递增,所以由题意得f(x)max<2f(x)min,所以
解得a<,所以0综上,实数a的取值范围为-8.答案　[-2,0)∪(4,6].
解析　作出函数f(x)=的图象如图所示.
由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m<0,得[f(x)-m][f(x)-1]<0.
当m=1时,[f(x)-1]2<0,不等式无解;
当m<1时,由[f(x)-m][f(x)-1]<0,得m若不等式恰有2个整数解,又f=1, f(0)=0,f(-1)=2>1,所以整数解为0和1,又f(1)=0, f(2)=-2,所以-2≤m<0.
当m>1时,由[f(x)-m][f(x)-1]<0,得1若不等式恰有2个整数解,又f =1,所以整数解为-1和-2,又f(-2)=4, f(-3)=6,所以4综上,实数m的取值范围为[-2,0)∪(4,6].
9.解析　(1)因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)==0,得b=0,则f(x)=,
又f(1)==,所以a=3,则f(x)=,
对任意的x∈R, f(-x)=-=-=-f(x),
所以函数f(x)=为奇函数,符合题意.
综上, f(x)=.
(2)当x∈[1,3]时, f(x)=>0,
因为函数y=x+在[1,]上单调递减,在[,3]上单调递增,
所以当x=时,y=x+=2;当x=1或x=3时,y=4.
所以x+∈[2,4],所以f(x)=∈.
不等式|f(x)-m|≤1,即-1≤f(x)-m≤1,
即m-1≤f(x)≤m+1在[1,3]上有解,所以m-1≤且m+1≥,解得≤m≤1+.
(3)因为t∈(0,+∞),所以f =>0,
又 n∈[0,1], f(t)+nf -s≤0恒成立,
所以f(t)+f -s≤0,则s≥f(t)+f ,
而f(t)+f=+=+===,
设λ=t+,其中t>0,则λ≥2=6,当且仅当t=3时等号成立,
因为=t2++18,所以t2+=λ2-18,
所以φ(λ)===(λ≥6),
因为y=λ+在[6,+∞)上单调递增,
所以函数φ(λ)=在[6,+∞)上单调递减,可得φ(λ)≤φ(6)==3,
所以s≥3,即s的最小值为3.
方法总结　　　利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
(1) x∈D,m≤f(x) m≤f(x)min;
(2) x∈D,m≥f(x) m≥f(x)max;
(3) x∈D,m≤f(x) m≤f(x)max;
(4) x∈D,m≥f(x) m≥f(x)min.
10.解析　(1)因为f =f ,所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,所以-=-,解得b=1.又f(1)=13,所以1+1+c=13,解得c=11,
所以f(x)=x2+x+11.
(2)g(x)=[f(x)-x2-13]·|x|=(x-2)|x|==易知g(1)=-1.
当x<0时,令g(x)=-1,即-x2+2x=-1,解得x=1-或x=1+(舍去).
当1≤t<2时,g(x)min=g(t)=t2-2t;
当1-≤t<1时,g(x)min=g(1)=-1;
当t<1-时,g(x)min=g(t)=-t2+2t.
综上,g(x)min=
(3)h(x)=[f(x)-x2-11]·|x-a|=x|x-a|=
当a=0时,h(x)在R上单调递增,符合题意;
当a>0时,所以或或所以a≥4;
当a<0时,>a,所以函数h(x)在(-∞,a),上单调递增,在上单调递减,
所以或或解得a≤-4.
综上,实数a的取值范围为a=0或a≥4或a≤-4.
11.思路点拨　(1)先分析得到f(x)-f(-x)=0,然后根据|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|得到g(x),g(-x)的关系,由此解决问题;
(2)根据题设条件将问题转化为“当0(3)先根据条件证明“ x1,x2∈R,若x1解析　(1)函数y=g(x)是偶函数.理由如下:
因为f(x)=|x|,所以 x∈R有f(x)-f(-x)=0,
令x1=x,x2=-x,且x1,x2∈R,
因为|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,
所以|f(x)-f(-x)|≥|g(x)-g(-x)|,
所以|g(x)-g(-x)|≤0,
所以g(x)=g(-x),且g(x)的定义域为R,关于原点对称,所以y=g(x)是偶函数.
(2)当a>0时, f(x)=ax2+2x+1的图象的对称轴为直线x=-<0,且f(x)的图象开口向上,g(x)=x2+ax的图象的对称轴为直线x=-<0,且g(x)的图象开口向上,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
不妨设0所以|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)| f(x2)-f(x1)≥g(x2)-g(x1),
即f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1),
设h(x)=f(x)-g(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1,
当a=1时,h(x)=x+1,在(0,+∞)上单调递增,显然满足要求;
当a>1时,h(x)为二次函数,且h(x)图象的对称轴为直线x=-,h(x)的图象开口向上,故只需-≤0,解得1当00,此时不满足要求.
综上可知,a的取值范围是[1,2].
(3)证明:任取x1,x2∈R,不妨设x1g(x2),即g(x1)-g(x2)>0,
而|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,
所以|f(x1)-f(x2)|>0,
所以 x1,x2∈R,若x1①首先证明:当0假设存在0设f1(x)=f(x)-f(1),则f1(0)=f(0)-f(1)<0, f1(x0)=f(x0)-f(1)≥0,
所以 x3∈(0,x0],使得f1(x3)=0,则f(x3)-f(1)=0,则f(x3)=f(1),
这与“ x1,x2∈R,若x1所以不存在0假设存在0设f2(x)=f(x)-f(0),则f2(1)=f(1)-f(0)>0, f2(x0)=f(x0)-f(0)≤0,
所以 x4∈[x0,1),使得f2(x4)=0,则f(x4)-f(0)=0,则f(x4)=f(0),
这与“ x1,x2∈R,若x1所以不存在0由上可知,当0②再证明:当0假设存在0设f3(x)=f(x)-f(x2),则f3(0)=f(0)-f(x2)<0, f3(x1)=f(x1)-f(x2)≥0,
所以 x5∈(0,x1],使得f3(x5)=0,则f(x5)-f(x2)=0,则f(x5)=f(x2),
这与“ x1,x2∈R,若x1所以假设不成立,即对任意的x1,x2∈(0,1),都有f(x1)所以y=f(x)是(0,1)上的严格增函数.
素养评析　　　本题以新定义问题、函数的奇偶性和单调性为背景,要求能够在关联的情景中根据具体的问题描述,通过相关的性质关系构建等量关系.第(1)问考查逻辑推理、数学抽象的素养,要求分析题中所给的条件,利用新定义判断函数y=g(x)的奇偶性;第(2)问考查逻辑推理、数学运算的素养,利用转化思想,构造函数并进行分类讨论;第(3)问考查逻辑推理、数学抽象的素养.
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