2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第5章　函数概念与性质复习提升（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视函数的定义域
1.(多选题)(2024河北保定阶段检测)已知函数f(x)满足f =,则关于函数y=f(x)的说法正确的是(　　)
A.不等式f(x)>2的解集为(-1,0)
B.f(x)的值域为{y|y≠1且y≠2}
C.f(2)=
D.f(x)的定义域为{x|x≠-1}
2.(2023山东省实验中学月考)函数y=的单调递增区间为　　　　.
3.(2024江苏洪泽中学阶段测试)判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=+.
易错点2　忽视分段函数中定义域的“临界点”致错
4.(2024安徽阜阳期中)已知函数f(x)=若f(x)的值域为,则实数c的取值范围是(　　)
A.[-1,0]　　　　B.
C.　　　　D.
5.(2023山东淄博七中期中)已知函数f(x)=在定义域R上满足对任意的实数x1≠x2,都有 <0,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点3　忽视对参数取值范围的讨论致错
6.(2024江苏淮海中学期中)已知函数f(x)=的定义域是R,则m的取值范围是　　(　　)
A.0C.0≤m<1　　　　D.0≤m≤1
7.(2024北京十二中期中)已知函数f(x)=x2-tx-1.
(1)若对任意的x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式;
(2)若函数在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围;
(3)若x∈[-1,2],求f(x)的最小值g(t).
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的应用
1.(2024江苏苏州中学期中)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减, f(3)=0,则满足不等式xf(x)<0的x的取值范围是(　　)
A.(-3,0)∪(3,+∞)　　　　B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　　D.(-∞,-3)∪(0,3)
2.若关于x的方程|x2-1|-x=m有4个不相等的实数根,则实数m的取值范围是　　　　　.
二、分类讨论思想在函数中的应用
3.(2023浙江丽水月考)已知函数f(x)=|3x2-ax|+x2-x+1(x>0),g(x)=.
(1)若a=1,求f(x)的值域;
(2)若对任意的x0∈[3,4],存在x1,x2∈(x1≠x2),使得x0=g(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.
三、方程思想在函数中的应用
4.(2024江苏建湖高级中学期末)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+2f ,则f(x)的最小值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.
5.(2024山东泰安第一中学期中)已知函数f(x)=是定义域上的奇函数,且f(-1)=-2.
(1)求a,b的值;
(2)令h(x)=x2+-2tf(x)(t<0),若 x1,x2∈,都有|h(x1)-h(x2)|≤,求实数t的取值范围.
四、转化与化归思想在函数中的应用
6.(2023山东青岛期中)已知函数f(x)=若 x∈R, f(mx2)+4f(4-3x)≤0恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
7.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时, f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是　　　　.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.ABC　令t=,x≠0,t≠0,则x=,故f(t)==,则f(x)=1+,且{x|x≠0且x≠-1},故D错误;
由f(x)>2,得1+>2,即->0,故x(x+1)<0,解得-1由f(x)=1+且{x|x≠0且x≠-1},得值域为{y|y≠1且y≠2},故B正确;
f(2)=1+=,故C正确.故选ABC.
易错警示　　　解题时利用换元得到新的函数后,应注意新函数的定义域.
2.答案　[-1,3]
解析　由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,所以函数y=的定义域是[-1,7],
因为u=-x2+6x+7的图象的对称轴为直线x=3,图象开口向下,
所以u=-x2+6x+7在区间[-1,3]上单调递增,在区间[3,7]上单调递减,
而y=在[0,+∞)上单调递增,
所以由复合函数的单调性可知y=的单调递增区间是[-1,3].
易错警示　　　求复合函数的单调区间时,首先要考虑函数的定义域,再结合“同增异减”解题.
3.解析　(1)因为f(x)=,
所以解得x≥-1且x≠0,
所以f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)因为f(x)=,
所以解得-6则f(x)的定义域不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)由得x=2,
即函数f(x)的定义域是{2},不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
易错警示　　　若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.
4.C　当x=2时, f(2)=4-2=2, f(x)=x2-x=-≥-,
因为f(x)的值域为,所以当x由f(x)=x2-x=2,得x2-x-2=0,解得x=2或x=-1,
作出y=-(x≤2),y=x2-x(x≤2)的图象如图所示:
由图可得-1≤c≤-,即实数c的取值范围是.故选C.
5.答案　
解析　由题意得,函数f(x)在R上单调递减,
∴∴-∴实数a的取值范围是.
易错警示　　　与分段函数有关的问题,解题时应注意分段点及分段点处的函数值.
6.C　依题意, x∈R,不等式mx2+2mx+1>0恒成立,
当m=0时,mx2+2mx+1=1>0恒成立,满足题意;
当m≠0时,有解得0综上,0≤m<1.
所以m的取值范围是0≤m<1.故选C.
7.解析　(1)因为f(2-x)=f(2+x),
所以(2-x)2-t(2-x)-1=(2+x)2-t(2+x)-1,
化简,得(2t-8)x=0,且x不恒为0,
所以2t-8=0,所以t=4,所以f(x)=x2-4x-1.
(2)由题知,f(x)图象的对称轴为直线x=,
因为f(x)在区间(-1,2)上不单调,
所以-1<<2,所以-2所以t的取值范围为(-2,4).
(3)由题知, f(x)图象的对称轴为直线x=,
当≤-1,即t≤-2时, f(x)在[-1,2]上单调递增,所以g(t)=f(-1)=t;
当-1<<2,即-2当≥2,即t≥4时, f(x)在[-1,2]上单调递减,所以g(t)=f(2)=3-2t.
综上,g(t)=
易错警示　　　求含参数的二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键是要对函数图象的对称轴与所给区间的位置关系进行讨论,解题时防止忽视对参数的讨论导致解题错误.
思想方法练
1.C　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减, f(3)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-3)=0.
根据函数在不同定义域内的单调性,作出符合题意的函数图象,利用图象求出满足题意的x的取值范围.
作出函数f(x)的大致图象如图所示:
当x>0时,由xf(x)<0得f(x)<0,即x>3,
当x<0时,由xf(x)<0得f(x)>0,即x<-3,
当x=0时,xf(x)=0不符合题意,
由图可知,满足不等式xf(x)<0的x的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).故选C.
2.答案　1解析　关于x的方程|x2-1|-x=m有4个不相等的实数根 函数y=|x2-1|的图象和直线y=x+m有4个交点.
方程解的个数转化为直线与函数图象交点的个数,通过作图解决问题.
作出函数y=|x2-1|的图象如图所示:
当直线y=x+m过点(-1,0)时,m=1;
当直线y=x+m与y=1-x2的图象相切时,方程x+m=1-x2有两个相等的实数根,即Δ=1-4(m-1)=0,解得m=.
由“形”定性地确定直线y=x+m与y=|x2-1|的图象有4个交点时的位置,由“数”定量地计算边界直线中m的值.
故|x2-1|-x=m有4个不相等的实数根时,实数m的取值范围是1思想方法　　　在解决函数问题时要注意数形结合思想的运用,利用函数图象直观地研究函数的有关性质,可避免复杂的计算和推理,实现解题快速准确.
3.解析　(1)当a=1时, f(x)=
根据分段函数在不同范围内的函数值分两类讨论求解.
当x≥时, f(x)=4x2-2x+1=4+,
此时f(x)min=f =,无最大值.
当0所以函数f(x)的值域为.
(2)因为x>0,所以当a≤0时,g(x)=4x+-a-1;
当a>0时,g(x)=
设h(x)=4x+(x>0),任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则h(x1)-h(x2)=4x1+-4x2-=4(x1-x2)+=(x1-x2)·,所以当x1>x2>时,h(x1)-h(x2)>0,即h(x1)>h(x2),所以h(x)单调递增;
当0所以函数h(x)=4x+(x>0)在上单调递减,在上单调递增.
根据a在不同范围内的函数值分类讨论求解.
①当a≤0时,应满足解集为空集;
②当0<≤,即0③当<≤,即所以④当<≤2,即所以⑤当>2,即a>6时,g(x)在上单调递减,不符合题意.
综上,实数a的取值范围为.
思想方法　　　在含有参数的函数中,参数的取值不同,函数的图象和性质可能有不同的变化,解题时要依据题意对参数进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值范围对解题的影响.
4.D　列方程组,通过消元求f(x),体现了方程思想.
令x=,则2f(x)+f =4x+,
联立
②×2-①,得3f(x)=2x+,
所以f(x)=x+≥2=,
当且仅当x=,即x=2时,取等号,
所以f(x)的最小值为.故选D.
5.解析　(1)∵f(-1)=-2, f(x)是奇函数,
∴f(1)=2,
根据函数f(x)为奇函数, f(-1)=-2,得到f(1)=2,再结合f(x)=列方程组求解.
∴解得∴f(x)=x+.
经验证,函数f(x)的定义域为{x|x≠0}, f(-x)=-x+=-f(x)成立,满足要求,所以a=1,b=0.
(2)由(1)及题意得,h(x)=x2+-2t,令z=x+,则y=z2-2tz-2,
∵函数z=x+在上单调递减,在[1,2]上单调递增,
∴z∈,
分析二次函数y=z2-2tz-2的图象的对称轴和区间[1,2]的位置关系.
∵函数y=z2-2tz-2的图象的对称轴为直线z=t<0,
∴函数y=z2-2tz-2在上单调递增.
当z=2时,ymin=-4t+2,当z=时,ymax=-5t+,
即h(x)min=-4t+2,h(x)max=-5t+.
又∵ x1,x2∈,都有|h(x1)-h(x2)|≤恒成立,
∴h(x)max-h(x)min≤,即-5t+-(-4t+2)≤,解得t≥-.又∵t<0,∴-≤t<0.
思想方法　　　在函数中,利用函数、方程、不等式三者之间的联系,通过解方程(组)等来解决函数中的相关问题,这是解决函数问题的最基本方法.
6.答案　
解析　作出f(x)的图象,如图.
易知f(x)为奇函数,且在R上单调递减,
∵ x∈R, f(mx2)+4f(4-3x)≤0恒成立,
∴f(mx2)≤-4f(4-3x)=4f(3x-4),
又∵函数f(x)=-x|x|,
∴4f(3x-4)=-4(3x-4)|3x-4|=f(2(3x-4))=f(6x-8),
将不等式转化为f(x1)≤f(x2)的形式,进而利用单调性解不等式.
则f(mx2)≤f(6x-8),∴mx2≥6x-8,
即mx2-6x+8≥0恒成立,
当m=0时,不等式为-6x+8≥0,不恒成立,故m≠0,
一元二次不等式恒成立转化为二次函数的函数值恒大于或等于0,即其图象均在x轴及其上方.
当m≠0时,需∴m≥.
综上,实数m的取值范围为.
7.答案　
解析　由f(x)=2f(x+2),得f(x+2)=f(x),
则f(x)=f(x-2).
当x∈[-2,0)时, f(x)=-2x(x+2)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.
当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0), f(x)=×f(x-2)=×[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+1,其最大值为1,
将x∈[0,2)转化为已知解析式的自变量的取值范围,根据条件求出解析式.
同理,当x∈[2,4)时, f(x)max=, f(x)≤恒成立.依此类推,可知当x≥2时, f(x)≤恒成立.
当x∈[0,2)时,由f(x)=得-(x-1)2+1= (x-1)2= x=或x=.
结合图象(图略)知,若对任意的x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m≥.
综上所述,m的取值范围是.
思想方法　　　转化与化归思想在函数中常见的运用:利用函数的奇偶性对自变量的范围进行转化,将不等式恒(能)成立等问题转化为最大(小)值问题,构造函数,利用函数的性质进行适当的转化等.
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